四川省成都市蓉城联盟2023-2024学年高一下学期入学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出集合A，再由补集的概念求即可.
【详解】由题意得，
又因为，所以，
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“”的否定是“”.
故选：B.
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可求出结果.
【详解】，
.
故选：C.
4. 已知幂函数偶函数，则（ ）
A. B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数为偶函数求出的值，再求即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
又因为是偶函数，所以，故，
所以，
故选：C.
5. 函数的零点所在的一个区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】因为函数与均在定义域上单调递减，
所以在上单调递减，
又，，
所以，所以在区间上存在唯一零点.
故选：A
6. 函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ）
A. B. 9C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的性质求出定点的坐标，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】对于函数，令，即时，
所以函数恒过定点，
又定点的坐标满足方程，所以，即，
又，，所以，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
故选：B．
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，即，
所以，则.
故选：A
8. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】因为，，
又，即，
，即，
又，，
又，即，所以，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、C，根据指数函数的性质判断B，利用作差法判断D.
【详解】对于A：令，，满足，此时，故A不正确；
对于B：因为指数函数在上单调递增，且，所以，故B正确；
对于C：令，，，，满足，，
此时，不满足，故C不正确；
对于D：因为，，所以，，
所以，
所以，故D正确．
故选：BD．
10. 下列式子中，计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算A，利用诱导公式及特殊角的三角函数值判断B，根据对数的运算性性质判断C、D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：
，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：AD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为B. 函数的值域为
C. 函数是定义域上的奇函数D. 函数是定义域上的偶函数
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意，由，可求得函数的定义域与值域，可判断A与B；利用函数的奇偶性的定义可判断C与D，即可得解．
【详解】对于函数，
令，解得，
函数的定义域为，故A正确；
因为在上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，
所以在上单调递增，
同理可得在上单调递增，
所以为上的增函数，
又，
其中，
因为，所以，所以，所以，
则，所以，即，又的值域为，
函数的值域为，故B错误；
又，
函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误．
故选：AC．
12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在上单调递减
C. D. 函数恰有8个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用周期定义求出周期可判断A；求出函数在上的解析式，结合周期性画出的部分图象可判断B；利用周期性计算可判断C；首先判断为偶函数，再画出函数、的图象可判断D．
【详解】对于A，由，可得，
即的周期为，故A正确；
对于B，当时，，
则，
所以，，结合周期性画出的部分图象如图所示：
由图可得在上单调递增，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，函数的定义域为，
又，
所以为偶函数，当时，令，
得，即，画出函数的图象，
又，
因为，，
所以与在上的图象只有个交点，
即在上只有个零点，
根据函数偶函数的对称性可得恰有个零点，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：D选项解题关键点是画出函数与的图象，数形结合得到零点个数.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知一扇形的圆心角为弧度，半径为，则该扇形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式计算可得.
【详解】因为扇形的圆心角弧度，半径，
所以扇形的面积.
故答案为：
14. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为，则.
故答案为：
15. 函数的单调递减区间为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性计算可得.
【详解】函数的定义域为，
又二次函数，开口向下，对称轴为，
所以上单调递增，在上单调递减，
又在定义域上单调递减，
所以的单调递增区间为.
故答案为：
16. 已知定义在上的奇函数满足，且．若，，，，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】令，，即可得到在上单调递减，再判断的单调性，然后求出的值，则不等式等价于，结合奇偶性与单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】令，，
因为，，，，
即，，，，
所以在上单调递减，
又为定义在上的奇函数，
所以，所以，
所以为偶函数，
所以在上单调递增，
又，且，
所以，所以，
不等式（依题意，则）等价于，
即，所以，则且，
解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得；
（2）分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），求出参数的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
当时，
又或，所以，
所以.
【小问2详解】
因为，又且，
当，即时符合题意；
当时，则，解得，
综上可得，即实数的取值范围是.
18. 已知．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）若，求的值域．
【答案】（1）；单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦函数的性质可求得的最小正周期及单调递增区间；
（2）由得，利用余弦函数的性质可求得的值域．
【小问1详解】
，
的最小正周期；
令，
解得，，
函数的单调递增区间为；
【小问2详解】
若，则，
，
的值域为．
19 已知函数．
（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
【答案】19. ,
20. 答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知，进而求出实数的取值范围；
（2）根据和两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
若不等式的解集为R，
则，
解得，
即实数的取值范围,；
【小问2详解】
不等式，
①当时，即时，不等式的解集为，
②当时，即或时，
由，解得或，
所以不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为．
20. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离．在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时，）的一些数据如下表．为了描述汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系，现有三种函数模型供选择：
①，②，③．
（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）如果要求刹车距离不超过13米，求行驶的最大速度．
【答案】20. 最符合实际的函数模型；解析式为；
21. 行驶的最大速度为千米/时．
【解析】
【分析】（1）结合表格数据选出最符合实际的函数模型，然后列方程组求解即可；
（2）令，结合二次不等式的解法求解，再结合，即可求出的取值范围，即可得解．
【小问1详解】
结合表格数据可得最符合实际的函数模型，
将，；，；，分别代入上式可得，解得，
即所求的函数解析式为，；
【小问2详解】
令，即，解得，
又，所以，
即要求刹车距离不超过米，则行驶的最大速度为千米时．
21. 若函数为定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值，并判断函数的单调性；
（2）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】21. ；增函数.
22.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质得，解得的值；最后代入验证；利用单调性的定义判断证明；
（2）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.
【小问1详解】
根据题意，可得，
即，解得，有，
又，符合函数为奇函数.
在R上为增函数，证明如下：
设，且，
，
，，即，，，
，即，
所以函数为R上的增函数.
【小问2详解】
因为对任意的，恒成立，
所以，任意恒成立，
因为为R上的奇函数，所以，
又为R上的增函数，所以上式转化为，任意的恒成立，
即，令，，
又，当且仅当时等号成立，
.
所以实数的取值范围为.
22. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围．
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案.
（2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案.
【小问1详解】
函数，定义域，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
即，即，
又函数的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是为“自均值函数”.
【小问2详解】
依题意，存在，对于，存在，有，
即，
当时，的值域是，
因为在值域包含，
当时，，则，
若，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得，，
要使在的值域包含，
则在的最小值小于等于，
又时，递减且，而有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握.
x
0
40
60
80
y
0
8.4
18.6
32.8