广东省广州市天河区新昌学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(原卷版+解析版)
展开A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程,根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程,逐一判断即可求解,掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
【详解】解:、中未知数的最高次数是,不是一元二次方程,不合题意;
、中含有两个未知数,不是一元二次方程,不合题意;
、不是整式方程,故不是一元二次方程,不合题意;
、是一元二次方程,符合题意;
故选:.
2. 下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将一个图形沿着某一点旋转后能与自身完全重合的图形是中心对称图形,根据定义判断.
【详解】解:A、不符合定义,故该选项不符合题意;
B、符合定义,故该选项符合题意;
C、不符合定义,故该选项不符合题意;
D、不符合定义,故该选项不符合题意;
故选:B.
【点睛】此题考查了中心对称图形的定义,熟记定义是解题的关键.
3. 若a、b是菱形的两条对角线的长,且a、b是一元二次方程的两个根,则菱形的边长为( )
A. 4B. 5C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程,菱形的性质,勾股定理,先求出方程的解,根据菱形的性质得出,,,再根据勾股定理求出即可.能熟记菱形的性质是解此题的关键,注意:菱形的对角线互相垂直平分.菱形的四条边都相等.勾股定理:若三角形的两条直角边为a和b,斜边为c,则.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
【详解】解:解方程,
∴或
解得或8,
所以菱形的对角线为6和8,
设菱形的对角线和交于O,
所以,,,
由勾股定理得:,
即菱形的边长是5.
故选:B.
4. 将抛物线先向下平移4个单位,再向左平移5个单位,得到的新抛物线的函数关系式为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
【详解】解:将抛物线先向下平移4个单位,再向左平移5个单位,得到的新抛物线的函数关系式为,故C正确.
故选:C.
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键.
5. 若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+4=0有两个相等实数根,则a的值是( )
A. 4B. ﹣4C. 1D. ﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式=0,即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程,解之即可得出a的值.
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+4=0有两个相等实数根,
∴
∴a=1
故选:C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2﹣bx+c=0(a≠0)的根的判别式= b2﹣4ac;当>0,方程有两个不相等的实数根;当=0,方程有两个相等的实数根;当<0,方程没有实数根;也考查了一元二次方程的定义.
6. 如图,在中,以C为中心,将顺时针旋转得到,边,相交于点F,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将绕点C顺时针旋转得到,得,,于是得到结论.
【详解】解:∵将绕点C顺时针旋转得到,
∴,,
∴,
故选:C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质,三角形外角的性质等知识,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
7. 已知抛物线,若点,都在该抛物线上,则大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质,开口方向向下自变量离对称轴越近则函数值越大.
【详解】解:,
,
,
,
且二次函数图像开口方向向下自变量距离对称轴越近函数值越大,
.
故选:C.
8. 由于疫情得到缓和,餐饮行业逐渐回暖,某家餐厅重新开张,开业第一天收入约为3020元,之后两天的收入按相同的增长率增长,第三天收入约为4350元.设每天的增长率为x,根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设每天的增长率为x,则第二天收入3020(1+x)元,第3天收入为3020(1+x)(1+x),再根据条件“第3天收入约为4350元”列出方程即可.
【详解】解:设每天的增长率为x,由题意得:
,
故选:C.
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,再设出未知数,列出方程.
9. 当ab<0时,y=ax与y=ax+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意,ab<0,分a>0与a<0两种情况讨论,分析选项可得答案.
【详解】解:根据题意,ab<0,
当a>0时,b<0,y=ax2开口向上,过原点,y=ax+b过一、三、四象限;
此时,A选项符合,
当a<0时,b>0,y=ax2开口向下,过原点,y=ax+b过一、二、四象限;
此时,没有选项符合.
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质,要求学生理解系数与图象的关系.
10. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,3),点B在第一象限内,AO=AB,∠OAB=120°,将△AOB绕点O逆时针旋转,每次旋转60°,则第2021次旋转后,点B的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出B1~B5的坐标,探究规律,利用规律解决问题即可.
【详解】解:过点B作BH⊥y轴于H.
在Rt△ABH中,∠AHB=90°,∠BAH=180°-120°=60°,AB=OA=3,
∴∠ABH=30°,
∴AH=AB=,
∴由勾股定理得:BH=,
∵AO=AB,∠OAB=120°,
∴∠BOH=30°,
∴OB=2BH=,
∴B(,),
由题意B1(-,),B2(-,0),B3(-,-),B4(,-),B5(,0),…,6次一个循环,
∵2021÷6=336…5,
∴B2021(,0),
故选:A.
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转,含30度角的直角三角形性质等知识,解题的关键是学会探究规律的方法.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11. 若函数,则自变量x的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围,根据分母不能为0即可作答.
【详解】解:若函数有意义,则.
故答案为:.
12. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1,则另一个根为________.
【答案】-2
【解析】
【详解】试题解析:由韦达定理可得,
故答案为
13. 如图,抛物线与x轴交于A、B两点,且点A、B都在原点右侧,抛物线的顶点为点P,当为直角三角形时,m的值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】设点,,则,求出点,由抛物线的对称性知为等腰直角三角形,建立方程,根据根与系数关系可求得m值.
【详解】解:设点,,则,
令得 ,
∴,,则,
由抛物线得顶点坐标为,
抛物线的对称性知为等腰直角三角形,
∴,
即,
解得: 或或,
∵抛物线与x轴交于A、B两点,且点A、B都在原点右侧,
∴且且,即且,
∴,
故答案为:2.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、解高次方程等知识,熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.
14. 等腰三角形的一边为9,另两边恰好是关于的一元二次方程的两根,则的值是__________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得,,根据题意可得或,进而求解即可.
【详解】解:设的两个根分别为,
∴,,
∵等腰三角形的一边长为9,另两边的长是关于x的方程的两根,
∴或,
当时,三边为9,9,1,满足三角形的三边关系,此时;
当时,三边为9,3,3,不满足三角形的三边关系,舍去;
∴,
故答案为:10.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,等腰三角形的性质,掌握以上知识是解题的关键.
15. 如图,△ABC中,∠BAC=20°,△ABC绕点A逆时针旋转至△AED,连接对应点C、D,AE垂直平分CD于点F,则旋转角度是_____°.
【答案】40
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出AD=AC,∠DAE=∠BAC=20°,求出∠DAE=∠CAE=20°,再求出∠DAC的度数即可.
【详解】解:∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED,∠BAC=20°,
∴AD=AC,∠DAE=∠BAC=20°,
∵AE垂直平分CD于点F,
∴∠DAE=∠CAE=20°,
∴∠DAC=20°+20°=40°,
即旋转角度数是40°,
故答案为:40.
【点睛】本题主要考查了图像旋转性质以及垂直平分线的性质,从而得到边相等与角相等的条件.
16. 在直角坐标系中,已知线段的端点是,,若抛物线与线段有两个交点,则a的取值范围是________.
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用,二次函数的图象上的点的特征等知识,解题的关键是正确画出图形,熟练掌握二次函数的图像和性质.根据题意得出,,,抛物线对称轴为直线,然后进行分类讨论:当时,,当时.
【详解】解:如图,轴,与y轴交于P.
,,,
∴的中点坐标为,的中点坐标为,
由,得,.
抛物线对称轴为直线.
当时,.
∴.
当时,,
∴,
综上,满足条件的a的值为或.
故答案为:或.
三.解答题(共9小题,满分72分)
17. 解下列方程:(1) (2)
【答案】(1)x1=﹣1,x2=3;(2)x1=﹣3,x2=
【解析】
【分析】(1)根据因式分解法解一元二次方程即可解答;
(2)根据十字相乘法解一元二次方程即可解答.
【详解】解:(1)原方程可化为:,
∴x+1=0或x﹣3=0,
解得:x1=﹣1,x2=3;
(2)原方程可化为:,
∴(x+3)(2x﹣1)=0,
∴x+3=0,2x﹣1=0,
解得:x1=﹣3,x2=.
【点睛】本题考查了解一元二次方程,属于基础题型,掌握并灵活选用解一元二次方程的方法是解答的关键.
18. 如图,在中,,将绕点逆时针旋转得到,且于点,求的度数.
【答案】.
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质,垂直的定义和直角三角形的两锐角互余,由旋转的性质可知:,,由得,则,最后根据角度和差即可求解,解题的关键是熟练掌握旋转的性质及应用.
【详解】解:由旋转的性质可知:,,
∵,
∴,
∴,
∴.
19. 在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为.(每个方格的边长均为1个单位长度)
(1)画出关于原点对称的图形,并写出点的坐标;
(2)画出绕点O逆时针旋转后的图形,并写出点的坐标;
(3)写出经过怎样的旋转可直接得到.(请将20题(1)(2)小问的图都作在所给图中)
【答案】(1)见解析,;
(2)见解析,
(3)绕点O顺时针时针旋转
【解析】
【分析】(1)根据题意得:关于原点的对称点为 ,再顺次连接,即可求解;
(2)根据题意得:绕点O逆时针旋转后的对称点为 ,再顺次连接;
(3)根据题意得:绕点O顺时针时针旋转后可直接得到,即可求解.
【小问1详解】
解:根据题意得:关于原点的对应点为 ,画出图形如下图所示:
小问2详解】
解:根据题意得:绕点O逆时针旋转后的对应点为 ,画出图形如下图所示:
【小问3详解】
解:根据题意得:绕点O顺时针时针旋转后可直接得到.
【点睛】本题主要考查了图形的变换——画关于原点对称,绕原点旋转后图形,得到图形关于原点对称,绕原点旋转后对应点的坐标是解题的关键.
20. 已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若该方程有一实数根大于2,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式,即可求证;
(2)利用因式分解法,求出方程的两个根为,再由该方程有一实数根大于2,即可求解.
【小问1详解】
解:,
根据题意得:,
∴方程总有两个实数根;
【小问2详解】
解:,
∴,
解得:,
∵该方程有一实数根大于2,
∴,
解得:.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的解法,一元二次方程根的判别式是解题的关键.
21. 康辉旅行社推出了一则红色旅游促销广告如下:
我社推出去广安小平故里红色旅游,收费标准为:
①组团人数不超过30人,人均收费800元;
②组团人数超过30人,每增加1人,人均收费降低10元.但人均收费不得低于500元.
在“不忘初心,牢记使命”主题教育活动期间,某单位决定分批组织全体职工参观学习,缅怀改革开放总设计师邓小平同志.
(1)如果该单位第一批组织40人去参观学习,则公司应向旅行社交费多少元?
(2)如果该单位计划用29250元组织第一批职工去学习,问这次参观学习应安排多少人参加?
【答案】(1)28000元
(2)45人
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算,解题的关键是根据题意列出算式或方程.
(1)根据各数量之间关系,列式计算;
(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.
【小问1详解】
解:
(元.
答:公司应向旅行社交费28000元.
【小问2详解】
解:设这次参观学习应安排人参加,则人均费用为元,
依题意得:,
整理得:,
解得:,.
当时,,符合题意;
当时,,不符合题意,舍去.
答:这次参观学习应安排45人参加.
22. 已知,是一元二次方程两实数根,求下列各式的值:
(1);
(2).
【答案】(1)16 (2)2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是熟知:的两根满足.
(1)根据一元二次方程根与系数的关系,对展开式进行代入计算即可.
(2)先将根代入原方程,得到,移项后得,再代入,最后利用两根之和再代入即可求得结果.
【小问1详解】
解:根据题意,得,.
;
【小问2详解】
∵,是一元二次方程的两实数根,
∴,
∴.
∴
1
.
23. 【阅读材料1】
为解方程,我们可以将看作一个整体,然后设,那么原方程可化为,经过运算,原方程的解是,,,.
我们将上述解题的方法叫换元法.
【阅读材料2】
已知实数,满足,且,显然m,n是方程两个不相等的实数根,由韦达定理可知,.
根据上述材料,解决以下问题:
(1)直接应用:
解方程,可设__________,原方程可化为__________.
经过运算,原方程的解是__________.
(2)间接应用:
已知实数,满足,,且,求的值.
【答案】(1),,,;
(2)
【解析】
【分析】本题考查的是换元法解一元二次方程,一元二次方程根与系数的关系,完全平方公式的应用,掌握以上基础知识是解本题的关键;
(1)设,原方程可化为,再解方程求解y,再分类求解x的值即可;
(2)先判断,可得,是方程的两个根,可得,,再利用完全平方公式的变形进行求解即可.
【小问1详解】
解:解方程,可设,原方程可化为,
∴,
解得:,,
当,则,
解得:,
当时,则,方程无解,
∴原方程的解为:,;
【小问2详解】
∵的两个根为,,则,
∴,不互为相反数,
∴,
∵实数,满足,,且,
∴,
∴,是方程的两个根,
∴,,
∴.
24. “玩转数学”实践活动,是一种非常有效的学习方式.我们一起来动手、动脑玩转数学吧.
(1)折一折:将正方形纸片折叠,使边,都落在对角线上,展开得折痕,,连接,如图1.
(2)转一转:将图1中的绕点A旋转,使它的两边分别交边,于点P,Q,连接,如图2.证明:;
(3)若正方形的边长为6,且,求的长.
【答案】(1)45 (2)见解析
(3)3
【解析】
【分析】(1)由翻折的性质可知:,,根据正方形的性质:,则;
(2)如图:将顺时针旋转,通过旋转的性质以及等量代换证明,即可得出结论;
(3)正方形的边长为,可得,,由勾股定理可得:,再解方程并检验即可.
【小问1详解】
解:由翻折的性质可知:,,
∵四边形为正方形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴.
故答案为:45;
【小问2详解】
证明:如图2中,延长到T,使得.
∵四边形为正方形,
∴,,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴;
【小问3详解】
解:∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,,
即,
解得或,
当时,,(不符合题意,舍去),
当时,,,
∴,
∴.
【点睛】本题是四边形的综合题,考查了正方形的性质,折叠的性质,旋转变换的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,一元二次方程的解法等知识,能够综合运用这些性质是解题关键.
25. 已知抛物线.
(1)当时,求抛物线的顶点坐标;
(2)经探究发现:随着的变化,抛物线的顶点纵坐标与横坐标之间存在函数关系,求这个函数关系式;
(3)已知点,,当抛物线与线段有交点时,求的取值范围.
【答案】25.
26.
27.
【解析】
【分析】题目主要考查二次函数的综合问题,
(1)将代入函数解析式,然后化为顶点式即可;
(2)将函数直接化为顶点式,得出顶点坐标为,即可确定相应的函数关系式;
(3)根据题意得出轴,再考虑极端情况:当抛物线经过最低点时,当抛物线经过最高点时,分别求出相应的值,结合题意即可求解;
理解题意,熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键.
【小问1详解】
解:当时,
抛物线,
∴抛物线的顶点坐标为;
【小问2详解】
∴抛物线的顶点坐标为,
∴,
∴,
∴;
【小问3详解】
∵,,
∴轴,
当抛物线经过最低点时,
,
解得:或,
当抛物线经过最高点时,
,
解得:或,
∵抛物线与线段有交点,
∴.
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