专题08 与反比例有关的面积问题- 2024年中考数学压轴专题重难点突破

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如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差________．
【答案】3
【分析】妙解1：已知反比例函数的解析式为y=，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可；
妙解2：利用反比例函数系数k的几何意义，围绕点B构造矩形求解即可；
妙解3：利用反比例函数系数k的几何意义，围绕点B构造直角三角形求解即可．
【详解】妙解1：
如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数y=的图象上，所以设点B(m，)．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)，
由AD=BD，得n−=m−n，化简整理得m2−2mn=−6．
∴SΔOAC−SΔBAD=n2−(m−n)2=−m2+mn=−(m2−2mn)，
即S△OAC−SΔBAD=3．
妙解2：
如图，作轴于点F，延长交于点H，交y轴于点G，延长交x轴于点E．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴矩形的面积为6．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴，，
∴．
妙解3：
如图，作轴于点F，延长交于点H，连接．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴的面积等于3．
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴，，．
∵，
，
所以．
2．如图，矩形OABC被三条直线分割成六个小矩形，若D、E是CO边上的三等分点，反比例函数刚好经过小矩形的顶点F、G，若图中的阴影矩形面积，则反比例系数k的值为__．
【答案】10
【分析】根据题意求得，进而即可根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值．
【详解】是CO边上的三等分点，
，
，
反比例函数刚好经过小矩形的顶点，
，
故答案为：10．
【我思故我在】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的面积，求得矩形OAGD的面积是关键．
3．如图，在x轴上有一点A（3，0），点D是点A关于y轴的对称点，点B在反比例函数的图象上，连接BD，交反比例函数图象于点C，若，的面积是24．则k的值是_________．
【答案】
【分析】作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，由S△ABD=BE•AD=24可得BE长度，根据△DCO∽△DBA，△OCF∽△ABE可得CF=BE=4，，用含k代数式表示OF，AE，进而求解．
【详解】解：作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∵点D为点A关于y轴对称点，
∴D坐标为（-3，0），
∴AD=6，
∵S△ABD=BE•AD=24，
∴BE=8，
∵OC∥AB，
∴△DCO∽△DBA，
∴，，
∵△OCF∽△ABE，
∴，
∴CF=BE=4，
∵B，C在图象上，
∴，
∵，
∴，
解得k=-8．
故答案为：-8．
【我思故我在】本题考查反比例函数与三角形的综合应用，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握相似三角形的判定与性质，通过添加辅助线求解．
4．如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交x轴于C点，且点B是AC的中点，则的面积=________．
【答案】12
【分析】作，设，即可表示的面积，再利用中点坐标公式表示B点坐标，利用B点在反比例图像上即可求解．
【详解】解：作，设，，
，
，
B点是AC中点，
B点坐标，
B点在反比例图像上，
，
又，
，
∴，
故答案是：．
【我思故我在】本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想，属于中档难度的题型．解题的关键是设而不解的方程思想．此外设有两点，则的中点坐标是：．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，DB交x轴于点Q，轴，点C的坐标为（9，6），反比例函数的图像经过A，P两点，则△OPQ的面积是______．
【答案】##
【分析】根据菱形的性质可得对角线与互相垂直且平分，再过点和点作轴的垂线，证明，根据相似三角形的性质求出，，再证明，求出，最后利用三角形的面积公式求出△OPQ的面积即可．
【详解】解：在菱形中，对角线与互相垂直且平分，
，
经过原点，且反比例函数的图象恰好经过A，两点，
由反比例函数图象的对称性知：
，
，
过点和点作轴的垂线，垂足为和，如图所示：
∵轴，轴，
∴，
，
，
点的坐标为，
，，
，，
∴，
∵四边ABCD为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求出，，．
6．如图，过点作轴，轴，点，都在直线上，若反比例函数的图像与总有公共点，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由已知点C与直线，则是确定的，故要考虑反比例函数图像与有公共点，分两个方面讨论：①反比例函数图像过点C或在点C上方；②反比例函数图像与直线有公共点；①、②两个方面同时满足，即可得解．
【详解】根据题意，若反比例函数的图像与总有公共点，则反比例函数的图像经过点C或在点C上方，且反比例函数图像与直线有公共点；
①当反比例函数的图像经过点C或在点C上方时，则，
；
②当反比例函数图像与直线有公共点时，
由消去y元整理得，一元二次方程有实数根，
，
由①②可知，k的取取值范围是．
故答案为：．
【我思故我在】此题考查了反比例函数的图像与点、直线的位置关系的问题，熟练运用方程组的思想与方法是解此题的关键．
7．如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转，交y轴于C点，则△ABC面积为_____．
【答案】20
【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得，可得F（3，1），进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【详解】解：∵点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，
∴A（4，4），
过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，
∵，则△ABF为等腰直角三角形，
∴
在△AEF与△FDB中
∴△AEF≌△FDB（AAS），
设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（4，4）和点B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，
∴20，
故答案为：20．
【我思故我在】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键．
8．如图，己知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则____________．
【答案】
【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=A6A7=1可知B1点的坐标为（1，），B2点的坐标为（2，），B3点的坐标为（3，）…B6点的坐标为（6，），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S6的值，故可得出结论．
【详解】∵OA1=A1A2=A2A3=…= A6A7=1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B6（6，y6），
∵B1，B2，B3…B7在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴，，，
；
；
，
…
，
∴S1+S2+S3+…+S6==，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．如图，点A为函数y＝(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为______.
【答案】6
【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S△AOD=, S△BOE=，再证明△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．
【详解】如图，分别作BE⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为点E、D，
∴BE∥AD，
∴△BOE∽△AOD，
∴，
∵OA=AC，
∴OD=DC，
∴S△AOD=S△ADC=S△AOC，
∵点A为函数y=（x＞0）的图象上一点，
∴S△AOD=，
同理得：S△BOE=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为6．
10．点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为_______．
【答案】
【分析】利用反比例函数系数的几何意义，及OE＝ED＝DC求解，然后利用列方程求解即可得到答案．
【详解】解：由题意知：矩形的面积


同理：矩形，矩形的面积都为，







故答案为：
【我思故我在】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在函数（x＞0）的图象上，点C在y轴正半轴上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若点B的横坐标是点A横坐标的2倍，则△ABC的面积为 _____．
【分析】过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，设点A的坐标为 ，C（0，c），则B，可证△CAM≌△BCN，根据全等三角形的性质得出a、c的方程组，求得a、c，由勾股定理可求AC的长，即可求△ABC的面积．
【详解】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
设点A的坐标为，C（0，c），则B，
∴AM＝a，BN＝2a，OC＝c，CM＝，CN＝，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAM+∠ACM＝90°，∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠CAM＝∠BCN，
∵∠CMA＝∠BNC＝90°，
∴△CAM≌△BCN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝CN，
即，
解得或（舍），
∴AM＝1，CM＝3，
∴，
∴．
故答案为：2.5
【我思故我在】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是本题的关键．
12．如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，连接交于P，连接，则图中是_________
【答案】8
【分析】先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，过点B作于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵和均为正三角形，
∴，
∴，
∴，
过点B作于点E，则，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故答案为：8．
【我思故我在】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
13．如图，若点M是x轴正半轴上一点，过点M作轴，分别交函数和函数的图像于两点，连接，则的面积为___________。
【答案】2.5
【分析】由轴可知，拆分即可得出结论．
【详解】解：∵轴，
∴轴，轴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：2.5
【我思故我在】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是通过拆分三角形求出的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由反比例函数系数k的几何意义得出和，再根据三角形之间的关系得出结论．
14．如图，点、分别是轴上的两点，点、分别是反比例函数，图像上的两点，且四边形是平行四边形，则平行四边形的面积为 ________．
【答案】8
【分析】连接OC、OD，根据反比例函数系数k的几何意义求出和的面积，从而求出平行四边形的面积．
【详解】解：如图，连接OC、OD，CD交y轴于E，
∵点C，D分别是反比例函数，图象上的两点，
，，
，
．
故答案为：8．
【我思故我在】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
15．如图，点、、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4……，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为、、……，则______．
【分析】根据反比例函数的几何意义，求出的坐标，再用平移法和反比例函数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：当，
∴，
由图象可知：
∴，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查反比例函数与几何的面积问题．熟练掌握反比例函数的几何意义，利用平移法解决面积问题是解题的关键．
16．如图，平行四边形OABC的顶点O，B在y轴上，顶点A在y＝（k1＜0）上，顶点C在y＝（k2＞0）上，则平行四边形OABC的面积是_____．
【答案】
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，依据平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义解题即可．
【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠AEB=∠CDO=90°，
∵平行四边形OABC，
∴AE=CD，AB=CO，
∴，
在反比例函数y＝中，△COD的面积=，
∴△ABE的面积=△COD的面积=，
同理得△AOE的面积=△CBD的面积=，
综上平行四边形OABC的面积为．
故答案为．
【我思故我在】本题主要考查反比例函数中k的几何意义，能够熟练运用平行四边形的性质得到面积之间的关系并结合几何意义解题是解题关键．
17．如图，A、B两点分别在反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象上，且ABx轴，C为x轴上任意一点，则△ABC的面积为 _____．
【答案】1
【分析】根据反比例函数k的几何意义，得出-1=1，进而求解即可．
【详解】解：如图，延长BA交y轴于点M，连接OA，OB，
∵直线AB与x轴平行，
∵
∴，
故答案为：1．
【我思故我在】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k的几何意义，理解反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．
18．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，的面积为6，则______________．
【答案】8
【分析】如图作EF⊥BC，由矩形的性质可知，设E点坐标为（a，b），则A点坐标为（c，2b），根据点A，E在反比例函数上，根据反比例函数系数的几何意义可列出ab=k=2bc，根据三角形OEC的面积可列出等式，进而求出k的值．
【详解】解：如图作EF⊥BC，则，
设E点坐标为（a，b），则A点的纵坐标为2b，
则可设A点坐标为坐标为（c，2b），
∵点A，E在反比例函数上，
∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，
∴OC=3c，
故，解得：bc=4，
∴k=2bc=8，
故答案为：8．
【我思故我在】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形，反比例函数系数k的几何意义，能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键．
19．如图，是函数图象上的一点，是轴上任意一点，过点作轴的垂线，交函数在第一象限内的图象于点，交轴于点，连接，，则的面积为_________．
【答案】
【分析】连接OP，OB，根据PB⊥y轴，可知PB∥x轴，推出．
【详解】连接OP，OB，
∵PB⊥y轴，
∴PB∥x轴，
∴
．
故答案为：．
【我思故我在】本题主要考查了反比例函数，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，反比例系数k的几何意义．
20．如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是___________．
【答案】4
【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,进而可得S△ABD = S△OBD,根据点B在双曲线上，BD⊥ y轴，可得S△OBD=4，进而即可求解．
【详解】点C是OA的中点，
∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,
∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB,
∴S△ABD = S△OBD,
点B在双曲线上，BD⊥ y轴，
∴S△OBD=×8=4,
∴S△ABD =4,
答案为：4.
【我思故我在】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
21．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．
【答案】或
【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．
【详解】解：根据题意，
∵点称为点的“倒数点”，
∴，，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数的图像上，
设点A为，则点B为，
∵点C为，
∴，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
故答案为：或．
【我思故我在】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．
22．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是_____．
【答案】
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【详解】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×k＝2+2+k，
∴k＝，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．