专题16 创新函数图像综合训练- 2024年中考数学压轴专题重难点突破

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1．某同学根据学习函数的经验，探究了函数的图像和性质，下面是他的探究过程，请补充完整．
(1)写出函数的自变量的取值范围______；
(2)下表是函数与自变量的几组对应值：则______，______；
(3)在平面直角坐标系中，补全此函数的图像；
(4)根据函数图像，写出函数的性质（至少两条）．
【答案】(1)
(2)，3
(3)补全图像见解析
(4)①图像关于对称；②图像全部在轴上方（答案不唯一）
【分析】（1）根据分式分母不为零列式求解即可；
（2）把和3分别代入即可求得；
（3）画出函数图像即可；
（4）根据图像得出结论．
（1）
解：根据分式分母不能为零可知，函数的自变量的取值范围是：；
（2）
解：把，代入得，；
把，代入得，，
故答案为，3；
（3）
解：如图所示：
（4）
解：由图像得可得①图像关于对称；②图像全部在轴上方（答案不唯一）．
【我思故我在】本题考查反比例函数图像和性质，涉及的知识有：自变量的取值范围、画图像、熟练掌握数形结合的思想是解本题的关键．
2．有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行研究，已知当时，；当时，．下面是小童探究的过程，请补充完整：
(1)该函数的解析式为______，______，______．
根据图中描出的点，画出函数图象．
(2)根据函数图象，下列关于函数性质的描述正确的是______；
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．
②该函数既无最大值也无最小值．
③在自变量的取值范围内，随的增大而减小．
(3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于的不等式的解集．（保留1位小数）
【答案】(1)，，
(2)②
(3)或
【分析】（1）待定系数法可求函数解析式，将，代入解析式得的值，描点、连线画出图象即可；
（2）依据函数图象，即可判断；
（3）依据函数图象．即可得到．
（1）
解：把x＝2，y＝9；x＝0，y＝﹣3代入，
得
解得，
∴函数的解析式为（x≠1）；
将代入解析式得，
将代入解析式得
描点、连线，画出函数图象如图：
故答案为， ，6．
（2）
由图象可知：①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是（1，3），错误，不符合题意；
②该函数既无最大值也无最小值，正确，符合题意；
③当x＞1，或时，y随x的增大而减小，错误，不符合题意；
故答案为：②．本题考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数图象．解题的关键在于数形结合．
（3）
由图象可知，关于x的不等式的解集为：或．
【我思故我在】本题考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数图象．解题的关键在于数形结合，利用函数图象获取信息．
3．某班“数学兴趣小组”对函数y=﹣2|x|﹣3的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
其中，m= ．
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分．
(3)观察函数图像，写出两条函数的性质． ．
(4)进一步探究函数图像发现：
①函数图像与x轴有 个交点，所以对应的方程﹣2|x|﹣3=0有 个实数根；
②方程﹣2|x|﹣3=﹣3有 个实数根；
③关于x的方程﹣2|x|﹣3=a有4个实数根时，a的取值范围是 ．
【答案】(1)-3
(2)图见解析
(3)①函数图像关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大
(4)①2，2；②3；③﹣4＜a＜﹣3
【分析】（1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图像；
（3）根据函数图像得到函数y=﹣2|x|-3的图像关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图像与x轴的交点个数，即可得到结论；②根据y=﹣2|x|﹣3的图像与直线y=﹣3的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图像即可得到a的取值范围．
（1）
当x=-2时，
y=-2×|-2|-3
=-3，
∴m=-3，
故答案为：-3．
（2）
根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示：
（3）
观察函数图像，可得出：①函数图像关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：①函数图像关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大．
（4）
①观察函数图像可知：当x=-3、3时，y=0，
∴该函数图像与x轴有2个交点，
即对应的方程﹣2|x|﹣3＝0有2个实数根．
故答案为：2；2．
②观察函数图像可知：函数y=-2|x|-3的图像与y=-3只有3个交点．
故答案为：3．
③观察图像可知：关于x的方程-2|x|-3=a有4个实数根时，a的取值范围是﹣4＜a＜﹣3．
故答案为﹣4＜a＜﹣3．
【我思故我在】本题为函数图像探究题，考查了根据函数图像判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．
4．如图，在等腰直角三角形中，，点从点出发，沿边运动到，连接，设的长为，的长为．请你根据学习的变量间关系的知识进行探究活动．
(1)通过取点，作图，测量等到了几组，的对应值，如下表所示：
表格中__________；
(2)如图，在平面直角坐标系中，已描出了部分图像，请你根据补全后的上表中各组对应值，画出剩下的图像；
(3)当__________时，取得最小值；当的取值范围是__________时，．
【答案】(1)4.5；
(2)见解析；
(3)4，．
【分析】（1）由等腰三角形的性质知，当x=2和x=6时，y的值相等；
（2）通过描点，连线即可画出；
（3）根据函数图像即可得到答案．
（1）
由等腰三角形的性质知，当x=2和x=6时，y的值相等，
m=4.5，
故答案为：4.5；
（2）
如图：
（3）
由图像知：当时，y有最小值为4，
当时，，
故答案为：4，．
【我思故我在】本题考查等腰三角形的性质，函数图像的性质等知识，能利用描点法化函数图像时关键．
5．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
【答案】（1）一（2）见解析（3）①②；（4）
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解；
（4）运用（3）的相关结论即可．
【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点代入得：
，解得：；
②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立和并整理得：，
时，两个函数有交点，
解得：；
（4）由（3）得：．
6．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：
(1)函数中自变量x的取值范围是 ；
(2)表格是y与x的几组对应值．
直接写出m的值 ；
(3)在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交．
②请再写出此函数的一条性质： ．
(5)已知不等式的解集为或，则的值为 ．
【答案】(1)x≠1
(2)1
(3)见解析
(4)y=-3；y随x的增大而减小
(5)
（1）
由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为x≠1；
（2）
当x=时，m=-3=4-3=1，
即m的值为1，
故答案为1；
（3）
图象如图所示：
（4）
根据画出的函数图象，发现下列特征：
该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=-3越来越靠近而永不相交，
故答案为y=-3．
y随x的增大而减小，
故答案为y随x的增大而减小；
（5）
∵不等式的解集为或，
∴直线y=kx+b过(2,-1)，(4, )两点，
∴，
∴，
∴
故答案为．
【我思故我在】本题考查了函数图象和性质，自变量的取值范围，画函数图象，函数与不等式，熟练掌握由函数有意义的条件求自变量的取值范围，连点成曲线画出函数图象，根据不等式解集确定两个函数图象的交点坐标，是解题的关键．
7．小亮在学习中遇到这样一个问题：
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
操作中发现：
①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是
②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；
将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．
【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；
【详解】解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得：
，
∴△ABD≌△ACD，
∴CD=BD=5.0，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，
∴线段的长度无需测量即可得到；
（2）函数的图象如图所示：
（3）由（1）知，
画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时，
①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm；
②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm；
③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；
综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm．
【我思故我在】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．
8．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究，已知当x＝2时，y＝7，时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：
(1)该函数的解析式为 ，m＝ ，n＝ ．
根据图中描出的点，画出函数图象．
(2)根据函图象，下列关于函数性质的描述正确的是 ；
①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．
②该函数既无最大值也无最小值．
③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．
(3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y＝（x≠7），1，
(2)②
(3)或
【分析】（1）待定系数法可求函数解析式，将，代入解析式得的值，描点、连线画出图象即可；
（2）依据函数图象，即可判断；
（3）依据函数图象．即可得到．
（1）
解：把x＝2，y＝7；x＝0，y＝﹣3代入，得
解得，
∴函数的解析式为（x≠1）；
将代入解析式得
将代入解析式得
描点、连线，图象如图所示
故答案为：（x≠1）；1；．
（2）
解：由图象可知：①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是（1，2），错误，不符合题意；
②该函数既无最大值也无最小值，正确，符合题意；
③当x＞1，或时，y随x的增大而减小，错误，不符合题意；
故答案为：②．
（3）
由图象可知，关于x的不等式的解集为：或．…
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x
…
0
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4
5
…
y
…
m
…
如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
0
2
3
4
…
y
…
m
﹣3
7
n
…