湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复平面内坐标原点为O,复数Z对应点Z,z满足,则( )
A.B.C.1D.2
3．已知正方形的边长为2,若,则( )
A.2B.-2C.4D.-4
4．已知椭圆,则“”是“椭圆C的离心率为”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．过点的直线l与圆交于A,B两点,则的最小值为( )
A.B.C.D.2
6．已知公差为负数的等差数列的前n项和为,若,,是等比数列,则当取最大值时,( )
A.2或3B.2C.3D.4
7．若,,则( )
A.B.C.D.
8．能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知A,B为随机事件,,则下列结论正确的有( )
A.若A,B为互斥事件,则
B.若A,B为互斥事件,则
C.若A,B相互独立,则
D.若,则
10．如图,棱长为2的正方体中,E为棱的中点,F为正方形内一个动点（包括边界）,且平面,则下列说法正确的有( )
A.动点F轨迹的长度为
B.三棱锥体积的最小值为
C.与不可能垂直
D.当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为
11．我们知道,函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数,则下列结论正确的有( )
A.函数的值域为
B.函数的图象关于点成中心对称图形
C.函数的导函数的图象关于直线对称
D.若函数满足为奇函数,且其图象与函数的图象有2024个交点,记为,则
三、填空题
12．已知函数满足恒成立,且在区间上无最小值,则__________.
13．已知函数有零点,当取最小值时,的值为__________.
四、双空题
14．已知双曲线的左右顶点分别为A,B,点P是双曲线C上在第一象限内的点,直线,的倾斜角分别为,,则__________;当取最小值时,的面积为__________.
五、解答题
15．如图,四棱锥的底面是矩形,,,是等边三角形,平面平面,O,F分别是,的中点,与交于点E.
（1）求证：平面;
（2）平面与直线交于点Q,求直线与平面所成角的大小.
16．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况,统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数,现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据,结果如下表：
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的,称为“经常锻炼”,其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下列联表,并依据小概率值的独立性检验,能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”,“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率,在全校抽取20名同学,其中“极度缺乏锻炼”的人数为X,求和;
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”,为进一步了解他们的生活习惯,在样本的10名“运动爱好者”中,随机抽取3人进行访谈,设抽取的3人中男生人数为Y,求Y的分布列和数学期
望.
附：
17．已知各项均不为0的数列的前n项和为,且,.
（1）求的通项公式;
（2）若对于任意,成立,求实数的取值范围.
18．如图,O为坐标原点,F为抛物线的焦点,过F的直线交抛物线于A,B两点,直线AO交抛物线的准线于点D,设抛物线在B点处的切线为l.
（1）若直线l与y轴的交点为E,求证：;
（2）过点B作l的垂线与直线交于点G,求证：.
19．微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数,在区间上的图像连续不断,从几何上看,定积分便是由直线,,和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积,根据微积分基本定理可得,因为曲边梯形的面积小于梯形的面积,即,代入数据,进一步可以推导出不等式：.
（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法,证明：;
（2）已知函数,其中a,.
（i）证明：对任意两个不相等的正数,,曲线在和处的切线均不重合;
（ii）当时,若不等式恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,,
则,
故.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题意得,
所以,
故选：C.
3．答案：B
解析：
.
故选：B.
4．答案：A
解析：椭圆C的离心率为,即,若椭圆焦点在x轴上,
则,得,若椭圆焦点在y轴上,
则,得,故“”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件.
故选：A.
5．答案：A
解析：圆C的标准方程为,
所以圆心为,半径为,所以,
所以的最小值为.
故选：A.
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：由,
得,
即,
所以,
即.
因为,
所以,
所以,
,
,
故选：D.
8．答案：C
解析：
9．答案：ACD
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：BCD
解析：
12．答案：
解析：由题意可知, 是函数的最大值,
则,,
得,,
且在区间上无最小值,所以,
所以,
所以,
故答案为：.
13．答案：
解析：设的零点为t,则,即,
设为直线上任意一点,
坐标原点O到直线l的距离为,因为到原点的距离,
下求h的最小值,令,则,
在为减函数,在为增函数,即,
此时,所以l的斜率为,
（此时,）.
14．答案：;
解析：
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：因为为正三角形,O是BC中点,所以,
又因为平面平面,所以平面,,
,
又,在平面内且相交,故平面.
（2）E,O分别为,的中点,,又平面过且不过,
平面.
又平面交平面于,故,进而,
因为F是中点,所以Q是的中点.
方法1：以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,
则,
设平面法向量为,由,
取,
所以
方法2：过点O作的垂线,垂足为H,连接.
因为且平面,,故有平面,
平面与平面垂直且交线为,
故平面,故直线与平面所成角
在直角三角形巾,,,
所以
因为半面,故,又,
所以.任直角三角形中,,,所以
在直角三角形中,所以
16．答案：（1）犯错误的概率不超过0.1
（2）
（3）2.1
解析：（1）列联表
零假设为：性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关;
根据列联表的数据计算
根据小概率值的独立性检验,推断不成立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1.
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率.
故
.
（3）10名“运动爱好者”有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布：
,
,
故所求分布列为
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
两式相减得
因为,故.
所以,,及,,均为公差为4的等差数列：
当时,由及,得.
所以
（2）由已知,
即恒成立,设,则
当,即,2时,
当,即,时,
所以,故,所以
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设直线的方程为,,
联立得：.
不妨设A在第一象限,B在第四象限,对于,
l的斜率为
l的方程为,即为.
令得
直线的方程为：,令得.
又,所以
即得证.
（2）方法1：过点B的l得垂线的方程为：,
即
则,解得G的纵坐标为
要证明,因为A,O,D,G三点共线,
只需证明：（*）.
.
所以（*）成立,得证
方法2：由,知与x轴平行
①
又的斜率为,的斜率也为,所以与平行
②
由①②得,即得证
19．答案：（1）
（2）（i）对任意实数a,b及任意不相等的正数,,与均不重合
（ii）
解析：（1）在曲线取一点.
过点作的切线分别交,于,
囚为
即.
（2）方法1：（i）由题意得：
不妨设,曲线在处的切线方程为：,
即
同理曲线在处的切线方程为：
假设与重合,则,
代入化简可得：
两式消去a可得：,得到
由（1）的结论知,与上式矛盾
即：对任意实数a,b及任意不相等的正数,,与均不重合.
方法2：同方法1得到
设,即,
在为增函数,,矛盾.
即：对任意实数a,b及任意不相等的正数,,与均不重合
（ii）即：当时,不等式恒成立,
在恒成立,,
下证：当时,恒成立.
因为,所以
设,
①当时,由,,知恒成立,
即在为增函数,成立;
②当时,设,
由知恒成立,即在为增函数.
,即在为减函数,成立.
综上所述：实数a的取值范围是.
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
Y
0
1
2
3
P