江苏省南菁高中、常州一中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南菁高中、常州一中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线与直线垂直,则( )
A.-1B.1C.2D.4
2．已知,则( )
A.0B.-3C.2D.3
3．抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
4．设正项等比数列的前n项和为,若,则公比q为( )
A.2或-3B.3C.2D.-3
5．若双曲线的渐近线方程为,且过点,则双曲线的标准方程为( )
A.B.C.D.
6．已知等差数列和的前n项和分别为,,若,则( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆和点,直线l与椭圆C交于A,B两点,若四边形为平行四边形,则直线l的方程为( )
A.B.
C.D.
8．定义在R上的函数的导函数是,对任意R,有,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充要条件
二、多项选择题
9．已知椭圆的上顶点为B,左､右焦点分别为,,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若椭圆C的离心率为,则
C.当时,过点的直线被椭圆C所截得的弦长的最小值为
D.若直线与椭圆C的另一个交点为A,,则
10．已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,以下说法正确的是( )
A.
B.当时,
C.当时,不是数列中的项
D.若是数列中的项,则k的值可能为7
11．若函数,其导函数为,则下列说法正确的是( )
A.函数没有极值点
B.是奇函数
C.点是函数的对称中心
D.,
三、填空题
12．已知,为椭圆的两个焦点,P是椭圆C上的点,且,则三角形的面积为__________.
13．数列满足：,,;令,则数列的前n项和为__________.
14．过点可以作函数两条互相垂直的切线,则实数a的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为,且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）已知,求数列的前n项和为.
16．回答下列问题.
（1）已知函数,在区间上存在减区间,求a的取值范国;
（2）已知函数.讨论函数的单调性;
17．已知正项数列满足.
（1）证明：数列是等比数列;
（2）若,数列的前n项和为.证明：.
18．已知函数.
（1）若函数在点处的切线方程为,求函数的极值;
（2）若,对于任意,当时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
19．如图,已知椭圆与椭圆有相同的离心率,点在椭圆上.过点P的两条不重合直线,与椭圆相交于Q,H两点,与椭圆相交于A,B和C,D四点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）求证：;
（3）若,设直线,的倾斜角分别为,求证：为定值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为直线与直线垂直,
所以,即.
故选：B.
2．答案：D
解析：已知,得,
由导数的定义可得,
故选：D.
3．答案：D
解析：
4．答案：B
解析：,
,
,
,即,
解得或(舍去),
,
故选：B.
5．答案：C
解析：已知双曲线的渐近线方程为,
则,,
又双曲线过点,
则,
则,
则,
则双曲线的标准方程为,
故选：C.
6．答案：A
解析：
7．答案：C
解析：由于,所以P在椭圆C上,
设的中点为D,则,
则直线过点D,且D是的中点,
设,
则：,,
两式相减并化简得,所以,
即直线的斜率为,所以直线也即直线l的方程为,,
故选：C.
8．答案：A
9．答案：ABD
解析：对于A项,若,因,可得,则,故A项正确;对于B项,由可解得：,故B项正确;
对于C项,时,椭圆,因过点的直线被椭圆C所截的弦长的最小值为通径长,即,故C项错误;
对于D项,如图,因为,,设点,
由可得,
解得：,代入椭圆中,可得,
即,解得：,D项正确.
10．答案：ABD
解析：对于A,由题意得,A正确;
对于B,新数列的首项为2,公差为2,故,B正确;
对于C,由B选项知,令,则,即是数列的第8项,C错误;
对于D,插入k个数,则,,,,
则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项,为公差的等差数列,
于是,而是数列的项,令,当时,,D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：4
解析：根据椭圆定义可知,
由勾股定理可得,
所以可得,
因此可得三角形的面积为.
故答案为：4.
13．答案：
解析：数列满足：,
即为,所以是等差数列,
设公差为d,由,,可得,解得,
则,,
数列的前n项和为,,
上面两式相减可得,
化简可得.
14．答案：或者
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,①,解得,
当时,②,式子①-②得,故,
因为,所以,所以,所以是以1为首项,2为公比的等比数列,所以;
（2）,
.
16．答案：（1）
（2）当时,在单调递减,在,上单调递增,
当时,在R上单调递增：
当时,在上单调递减,在,上单调递增
解析：（1）,,若函数在区间上存在减区间,
等价于,使得成立,可得）使得成立,构建,可知开口向上,对称轴,,故,解得,则a的取值范围为.
（2）定义域为R,,
令得或
①当即时,令得或,令得;
故在单调递减,在上单调递增;
②当即时,恒成立,故在R上单调递增;
③当即时,令得或,令得,在上单调递减,在,上单调递增;
综上,当时,在单调递减,在,上单调递增,
当时,在R上单调递增：
当时,在上单调递减,在,上单调递增.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：因为,可得,
即,
且,可得,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.
（2）证明：由（1）可知,则,
可得,
则,
因为,则,所以.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由题意得函数的定义域为,
由函数在点处的切线方程为,得,解得
此时,.
令,得或.
当和时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,（此处列表）
则当时,函数取得极小值,为,
当时,函数取得极大值,为.
（2）由得.
不等式可变形为,
即因为,,且,
所以函数在上单调递减.
令,
则在上恒成立,
即在上恒成立
设,则.
因为当时,,所以函数在上单调递减,
所以,所以,
即实数m的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知,两椭圆有相同的离心率,则有,,
又点在椭圆上,有,解得,
所以椭圆的标准方程为.
（2）要证,即证,
设,,,,
当直线斜率不存在时,由椭圆对称性可知成立,
当直线斜率存在时,设斜率为,则方程为,
由得,
,,
由得,
,
得,,
,,则有.
所以与等底等高,有.
（2）由（2）可知,同理有,
由,可得,则有,
设直线的斜率为,直线方程为,
设,,
由得,
,,
,,
所以,
即,
化简得,即,由题意,所以,所以.