山东省部分名校2024届高三下学期2月大联考数学试卷(含答案)

这是一份山东省部分名校2024届高三下学期2月大联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则的虚部为( )
A.B.C.D.
3．若的展开式中常数项的系数是15,则( )
A.2B.1C.D.
4．已知在中,,,,则( )
A.1B.C.D.
5．椭圆与双曲线的离心率分别为,,若,则双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
6．数列的前n项和满足,设甲：数列为等比数列;乙：,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
7．圆和圆的公切线方程是( )
A.B.或
C.D.或
8．若,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知一组样本数据满足,下列说法正确的是( )
A.样本数据的第80百分位数为
B.样本数据的方差,则这组样本数据的总和等于120
C.若样本平均数恰是该组数据中的一个数,去掉这个数,则样本数据的方差不变
D.若数据的频率分布直方图为单峰不对称,且在右边“拖尾”,则样本数据的平均数大于中位数
10．函数满足：对任意实数x,y都有,且当时,,则( )
A.B.关于对称
C.D.减函数
11．如图,在棱长为1的正方体中,M为平面ABCD所在平面内一动点,则( )
A.若M在线段AB上,则的最小值为
B.过M点在平面ABCD内一定可以作无数条直线与垂直
C.若平面,则平面截正方体的截面的形状可能是正六边形
D.若与AB所成的角为,则点M的轨迹为双曲线
三、填空题
12．已知函数的图象关于直线对称,则实数____________．
13．已知函数与相切,则____________．
14．抛物线与椭圆有相同的焦点,,分别是椭圆的上、下焦点,P是椭圆上的任一点,I是的内心,交y轴于M,且,点是抛物线上在第一象限的点,且在该点处的切线与x轴的交点为,若,则____________．
四、解答题
15．某小区在2024年的元旦举办了联欢会,现场来了1000位居民．联欢会临近结束时,物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节,这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示,且．
（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）;
（2）奖品分为一等奖和二等奖,已知每个人摸到一等奖的概率为40%,摸到二等奖的概率为60%,每个人摸奖相互独立,设恰好有个人摸到一等奖的概率为,求当取得最大值时n的值．
附：若,则．
16．如图,在圆锥SO中,若轴截面SAB是正三角形,C为底面圆周上一点,F为线段OA上一点,D（不与S重合）为母线上一点,过D作DE垂直底面于E,连接OE,EF,DF,CF,CD,且．
（1）求证：平面平面DEF;
（2）若为正三角形,且F为AO的中点,求平面CDF与平面DEF夹角的余弦值．
17．已知．
（1）若在恒成立,求a的范围;
（2）若有两个极值点s,t,求的取值范围．
18．已知圆,与x轴不重合的直线l过点,且与圆交于C、D两点,过点作的平行线交线段于点M．
（1）判断与圆的半径的大小关系,求点M的轨迹E的方程;
（2）已知点,,直线m过点,与曲线E交于两点N、R（点N、R位于直线PQ异侧）,求四边形PRQN的面积的取值范围．
19．在无穷数列中,令,若,,则称对前n项之积是封闭的．
（1）试判断：任意一个无穷等差数列对前n项之积是否是封闭的？
（2）设是无穷等比数列,其首项,公比为q．若对前n项之积是封闭的,求出q的两个值;
（3）证明：对任意的无穷等比数列,总存在两个无穷数列和,使得,其中和对前n项之积都是封闭的．
参考答案
1．答案：D
解析：由题可得,或
因此．
故选：D．
2．答案：A
解析：由,
所以,即虚部为．
故选：A．
3．答案：C
解析：二项展开式通项为
则时常数项为,．
故选：C．
4．答案：D
解析：由余弦定理得,
所以．
故选：D．
5．答案：C
解析：依题意,,,,解得,
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：C.
6．答案：A
解析：当时,,
当时,,
因为数列为等比数列,所以,
即,解得且,即且．
因此充分性成立;
若,当且时,,甲不成立,故必要性不成立．
故选：A．
7．答案：A
解析：,圆心,半径,
,圆心,半径,
因为,
所以两圆相内切,公共切线只有一条,
因为圆心连线与切线相互垂直,,
所以切线斜率为-1,
由方程组解得,
故圆与圆的切点坐标为,
故公切线方程为,即．
故选：A.
8．答案：C
解析：由,
由,
．
故选：C
9．答案：BD
解析：对于A中,由,可得第80百分位数为,所以A错误;
对于B中,由,则,
所以,故这组样本数据的总和等于,所以B正确;
对于C中,去掉等平均数的数据,n变为,平方和不变,分母变小,
所以方差变大,所以C错误;
对于D中,数据的频率分布直方图为单峰不对称,向右边“拖尾”,大致如图所示,
由于“右拖”时最高峰偏左,中位数靠近高峰处,平均数靠近中点处,此时平均数大于中位数,
同理,向“左拖”时最高峰偏右,那么平均数小于中位数,所以D正确．
故选：BD．
10．答案：ABC
解析：由对于任意实数x,y,,
令,则,即,故A正确;
令,则,即,故B正确;
令,,则,
即,故C正确;
对于任意,,则设,当时,,
则,即,
所以单调递增,故D错误．
故选：ABC.
11．答案：ACD
解析：选项A：将平面展开到与ABCD同一平面如图所示,
连接交AB于M,此时为最小值,计算可得,故A正确;
选项B：当M点在D处时,因为平面ABCD,所以过M点可作无数条直线与垂直,
当M点在A处时,过M点只能作一条直线,故B不正确;
选项C：当M与B重合时,平面,分别取,,,AD,DC,的中点E,F,G,H,P,Q,
则六边形EFGHPQ是正六边形,且此正六边形EFGHPQ所在平面与平面平行,
所以当平面为平面EFGHPQ时满足题意,故C正确;
选项D：以D为原点,分别以DA,DC,为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
得,,
,
整理得为双曲线方程,故D正确．
故选：ACD．
12．答案：1
解析：由于函数的图象关于直线对称,
且,得：,
其中,,
得：．
故答案为：1．
13．答案：
解析：显然该函数的定义域为全体正实数,
设切点为,则,
由题知,解得,舍去,
所以切点为,
代入直线方程得．
故答案为：．
14．答案：
解析：焦点在y轴上,故椭圆的焦点在y轴上,
故,
I是的内心,连接,则平分,
在中,由正弦定理得①,
在,由正弦定理得②,
其中,故,
又,
式子①与②相除得,故,
同理可得,
,
由椭圆定义可知,,
,,即焦点坐标为,
所以抛物线方程为,
,故在处的切线方程为,
即,又,故,
所以在点的切线为：,
令,,又,即,
所以是首项16,公比的等比数列,
．
故答案为：．
15．答案：（1）159
（2）取得最大值时n的值为8
解析：（1）因为,所以,
则,
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．
（2）依题意可得,,
设,
所以,
所以
所以,因n为整数,所以,
所以当取得最大值时n的值为8．
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,所以,
因为平面SCO,平面SCO,
所以平面SCO,
因为DE垂直底面于E,SO垂直底面于O,所以,
同理平面SCO,
因为,且平面SCO,平面SCO,所以平面平面DEF．
（2）不妨设圆锥的底面半径为2,
因为轴截面SAB是正三角形,所以,
如图,设平面SDEO与底面圆周交于G,
因为为正三角形,且F为AO的中点,
所以,所以E为OG的中点,
所以DE为的中位线,所以,
如图,在底面圆周上取一点H,使得,以直线OH,OB,OS为x,y,z轴建立空间坐标系,
由已知得,,,,,
设EF的中点为M,则平面DEF的法向量为,
所以,
设平面CDF的一个法向量为,
所以,
,令,则,
则,
所以平面CDF与平面DEF夹角的余弦值为．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由函数,因为在上恒成立,
即在恒成立,
令,可得,
令,可得,
所以在单调递减,所以,
所以恒成立,所以在单调递减,所以,
所以,所以实数a的取值范围为.
（2）因为有两个极值点s,t,
可得s,t是的两不等正根,
即s,t是的两不等正根,则满足,解得,
则
,
所以的取值范围为．
18．答案：（1）,
（2）,且
解析：（1）圆,,
,
,
,,
,
点M的轨迹是以,为焦点的椭圆,其方程为．
（2）设直线,由题意知且,
设,,
,
由,
则,
所以
,
令且,
,
当时,;
当,;
当时,;
,且,
,且．
19．答案：（1）不是
（2）或
（3）证明见解析
解析：（1）不是的,理由如下：
如等差数列,
所以不是任意一个无穷等差数列对前项之积是封闭的．
（2）是等比数列,其首项,公比q,
所以,
所以,
由已知得,对任意正整数n,总存在正整数m,使得成立,
即对任意正整数n,总存在正整数m,
使得成立,
即对任意正整数n,总存在正整数m,使得成立,
①当时,得,所以;
②当时,得,
且,
综上,或.
（3）对任意的无穷等比数列,,
令,,则,
下面证明：是对前项之积是封闭的．
因为,所以,
取正整数得,,
所以对前n项之积是封闭的,
同理证明：也对前n项之积是封闭,
所以对任意的无穷等比数列,总存在两个无穷数列和,
使得,其中和对前n项之积都是封闭的．