新高考数学圆锥曲线62种题型第九节 圆锥曲线中的定点问题（原卷版）

这是一份新高考数学圆锥曲线62种题型第九节 圆锥曲线中的定点问题（原卷版），共11页。
题型一 直线过定点问题
例1 (2023·烟台一模改编)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，若A(－2，0)，直线l：y＝kx＋m与C交于P，Q两点，且AP⊥AQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，说明理由．
解 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))消去y，
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，
即4k2－m2＋1＞0，
则x1＋x2＝eq \f(－8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－4,1＋4k2).
因为AP⊥AQ，所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))＝0，
而eq \(AP,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1)，eq \(AQ,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2)，
故x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0.
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝k2·eq \f(4m2－4,1＋4k2)＋km·eq \f(－8km,1＋4k2)＋m2＝eq \f(m2－4k2,1＋4k2)，
所以x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝eq \f(4m2－4,1＋4k2)－eq \f(16km,1＋4k2)＋4＋eq \f(m2－4k2,1＋4k2)
＝eq \f(5m2－16km＋12k2,1＋4k2)＝0，
即5m2－16km＋12k2＝0，
解得m＝2k或m＝eq \f(6,5)k.
当m＝2k时，直线l的方程为y＝k(x＋2)，
恒过点A，不满足题意；
当m＝eq \f(6,5)k时，4k2－m2＋1＝4k2－eq \f(36,25)k2＋1＝eq \f(64,25)k2＋1＞0，
直线l的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(6,5)))，过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，0))，符合题意．
综上，直线l恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，0)).
感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
训练1 (2023·佛山质检)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，且过点P(3，eq \r(2))．
(1)求C的方程；
(2)设Q(1，0)，直线x＝t不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过x轴上的一定点．
(1)解 因为渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，
且点P靠近x轴，
所以可设双曲线C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0)，
将点P(3，eq \r(2))代入得eq \f(9,9)－eq \f(2,3)＝λ，解得λ＝eq \f(1,3)，
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)证明 显然直线BQ的斜率不为零，
设直线BQ的方程为x＝my＋1，B(x1，y1)，
D(x2，y2)，A(x1，－y1)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－y2＝1，,x＝my＋1，))
消x整理得(m2－3)y2＋2my－2＝0.
依题意得m2－3≠0且Δ＝4m2＋8(m2－3)＞0，
即m2＞2且m2≠3，y1＋y2＝－eq \f(2m,m2－3)，y1y2＝－eq \f(2,m2－3)，
直线AD的方程为y＋y1＝eq \f(y2＋y1,x2－x1)(x－x1)，
令y＝0，得x＝eq \f(（x2－x1）y1,y2＋y1)＋x1＝eq \f(x1y2＋x2y1,y2＋y1)＝eq \f(（my1＋1）y2＋（my2＋1）y1,y2＋y1)
＝eq \f(2my1y2＋（y1＋y2）,y2＋y1)＝eq \f(2m·\f(－2,m2－3)－\f(2m,m2－3),\f(－2m,m2－3))＝eq \f(\f(－6m,m2－3),\f(－2m,m2－3))＝3.
所以直线AD过x轴上的定点(3，0)．
题型二 其它曲线过定点问题
例2 (2023·湖南三湘名校联考)已知椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b≥1)的离心率为eq \f(\r(2),2)，其上焦点到直线bx＋2ay－eq \r(2)＝0的距离为eq \f(\r(2),3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，0))的直线l交椭圆C于A，B两点．试探究以线段AB为直径的圆是否过定点．若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．
解 (1)由题意得，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，又a2＝b2＋c2，
所以a＝eq \r(2)b，c＝b.
又eq \f(|2ac－\r(2)|,\r(4a2＋b2))＝eq \f(\r(2),3)，a＞b≥1，
所以b2＝1，a2＝2，
故椭圆C的方程为eq \f(y2,2)＋x2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，以线段AB为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(16,9).
当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
可得两圆交点为Q(－1，0)．
由此可知， 若以线段AB为直径的圆恒过定点，则该定点为Q(－1，0)．
下证Q(－1，0)符合题意．
设直线l的斜率存在，且不为0，
其方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))，代入eq \f(y2,2)＋x2＝1，
并整理得(k2＋2)x2－eq \f(2,3)k2x＋eq \f(1,9)k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(2k2,3（k2＋2）)，x1x2＝eq \f(k2－18,9（k2＋2）)，
所以eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋x1＋x2＋1＋k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,3)))
＝(1＋k2)x1x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)k2))(x1＋x2)＋1＋eq \f(1,9)k2
＝(1＋k2)·eq \f(k2－18,9（k2＋2）)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)k2))·eq \f(2k2,3（k2＋2）)＋1＋eq \f(1,9)k2＝0，
故eq \(QA,\s\up6(→))⊥eq \(QB,\s\up6(→))，
即Q(－1，0)在以线段AB为直径的圆上．
综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(－1，0)．
感悟提升 (1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在．
(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参．
训练2 (2023·深圳调研)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)经过点A(2，0)，且点A到C的渐近线的距离为eq \f(2\r(21),7).
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点(4，0)作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M，N两点，直线x＝4分别交直线AM，AN于点E，F.试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
解 (1)由题意得a＝2，
因为双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,2)x，
所以有eq \f(2b,\r(b2＋4))＝eq \f(2\r(21),7)，解得b＝eq \r(3)，
因此双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－4)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)－\f(y2,3)＝1，,y＝k（x－4），))
得(3－4k2)x2＋32k2x－64k2－12＝0，
Δ＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(－32k2,3－4k2)，x1x2＝eq \f(－64k2－12,3－4k2)，
由直线AM的方程为y＝eq \f(y1,x1－2)(x－2)，
令x＝4，得点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2y1,x1－2)))，
由直线AN的方程为y＝eq \f(y2,x2－2)(x－2)，
令x＝4，得点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2y2,x2－2)))，
则以EF为直径的圆的方程为
(x－4)(x－4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2y1,x1－2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2y2,x2－2)))＝0.
由对称性可知，若以EF为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上．
令y＝0，有(x－4)2＝－eq \f(4y1y2,（x1－2）（x2－2）)，
将y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)代入上式，
得(x－4)2＝－eq \f(4k2[x1x2－4（x1＋x2）＋16],x1x2－2（x1＋x2）＋4)，
则(x－4)2＝－eq \f(4k2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－64k2－12,3－4k2)－4·\f(－32k2,3－4k2)＋16)),\f(－64k2－12,3－4k2)－2·\f(－32k2,3－4k2)＋4)＝9，
解得x＝1或x＝7.
即以EF为直径的圆经过定点(1，0)和(7，0)．
②当直线l的斜率不存在时，点E，F的坐标分别为(4，3)，(4，－3)，
以EF为直径的圆的方程为(x－4)(x－4)＋(y－3)(y＋3)＝0，
该圆经过点(7，0)和(1，0)．
综上可得，以EF为直径的圆经过定点(1，0)和(7，0)．
题型三 齐次化的处理策略
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思．在代数里也有“齐次”的叫法，例如f＝ax2＋bxy＋cy2称为二次齐次式，f中每一项都是关于x，y的二次项．下面研究齐次化在圆锥曲线中的应用．
例 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过原点且互相垂直的两直线OA，OB交抛物线于A，B.求证：直线AB过定点．
证明 设AB：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，kOA＝eq \f(y1,x1)，kOB＝eq \f(y2,x2)，
将直线AB方程变形为eq \f(x－my,n)＝1，
代入到y2＝2px中得y2＝2px·eq \f(x－my,n)
注意到kOA＝eq \f(y1,x1)，kOB＝eq \f(y2,x2)，上式两边同除以x2得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))eq \s\up12(2)＋eq \f(2pm,n)·eq \f(y,x)－eq \f(2p,n)＝0，(*)
kOA，kOB是方程(*)的两根，则
kOA·kOB＝－eq \f(2p,n)＝－1⇒n＝2p，
所以直线AB方程为x＝my＋2p，所以直线AB恒过定点(2p，0)．
训练 已知椭圆的中心为原点O，长轴、短轴长分别为2a，2b(a>b>0)，P，Q分别在椭圆上，且OP⊥OQ.求证：eq \f(1,|OP|2)＋eq \f(1,|OQ|2)为定值．
证明 设P，Q坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线PQ：mx＋ny＝1，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,mx＋ny＝1.))
齐次化有eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝(mx＋ny)2，整理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)－n2))y2－2mnxy＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－m2))x2＝0.
左右两边同除以x2，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)－n2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))eq \s\up12(2)－2mneq \f(y,x)＋eq \f(1,a2)－m2＝0.
由根与系数的关系得eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(\f(1,a2)－m2,\f(1,b2)－n2).
由OP⊥OQ，得kOP·kOQ＝eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(\f(1,a2)－m2,\f(1,b2)－n2)＝－1，
整理得m2＋n2＝eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2).
由于原点O到直线PQ的距离d＝eq \f(1,\r(m2＋n2))，
又S△OPQ＝eq \f(1,2)|OP|·|OQ|＝eq \f(1,2)|PQ|d，
所以eq \f(1,d2)＝eq \f(|PQ|2,|OP|2|OQ|2)＝eq \f(|OP|2＋|OQ|2,|OP|2·|OQ|2)＝eq \f(1,|OP|2)＋eq \f(1,|OQ|2)＝m2＋n2＝eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)为定值．
课时作业
一、单选题
1．已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的右顶点为A，离心率为，若直线与椭圆交于两点(不是左、右顶点)且满足，则直线在轴上的截距为( )
A．B．C．或D．
3．已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
4．定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则
A．B．C．D．
二、解答题
6．已知圆A：，直线过点且与轴不重合，交圆于C，D两点，过作AC的平行线交AD于点E.
(1)求点E的轨迹的方程；
(2)设轨迹的上、下顶点分别为G、H，过点的直线交轨迹于M、N两点（不与G、H重合），直线GM与直线交于点，求证：P、H、N三点共线.
7．已知椭圆经过点，离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若以P，Q为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标.
8．已知圆锥曲线E上有两个定点、，P为曲线E上不同于M，N的动点，且当直线PM和直线PN的斜率，都存在时，有．
(1)求圆锥曲线E的标准方程；
(2)若直线l：与圆锥曲线E交于A、B两点，交x轴于点F，点A，F，B在直线：上的射影依次为点D，K，G
①若直线l交y轴于点T，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；
②连接AG，BD，试探究当m变化时，直线AG与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．
9．如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若椭圆上点处的切线方程是，
①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
10．已知在平面直角坐标系中，椭圆焦距等于，且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，试问直线PQ是否过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由.
11．已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为，
(1)求椭圆C的方程．
(2)若椭圆C下顶点是B，M是C上一点（不与A，B重合），直线AM与直线交于点P，直线BP交椭圆C于点N．求证：直线MN过定点．
12．椭圆的短轴长为2，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在点Q，使得直线MQ，NQ与直线分别交于点A，B，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．
14．如图，点A是椭圆的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为，且满足轴，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点M是直线上的动点，过点M分别做椭圆C的两条切线，切点分别为S，T，求证：直线ST过定点．
15．已知椭圆的一个顶点为，焦距为． 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．
16．已知椭圆E：经过点，且离心率为．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF．
(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；
(2)记△AFM、△BFM的面积分别为和，当取最大值时，求直线AB的方程．
参考结论：点为椭圆上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为．