新高考数学圆锥曲线62种题型第十三讲 圆锥曲线在高考小题中的考法探究(教师版)

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已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】如图，由题可知，，则，
又，，，又，
作，可得，，则在，，即，又，化简可得，同除以，得
解得双曲线的离心率为
[题型二] 三曲线定义法
已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】如图，由题可知，，则，
又，，，又，
作，可得，，则在，，即，又，化简可得，同除以，得
解得双曲线的离心率为
[题型三]双曲线渐近线
已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题首先可以结合题意绘出双曲线的图像，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果.
【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，
如图，过点作于点,
因为，
所以，，
因为，所以，
因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，
所以，，
故，，
因为，所以，，
将代入双曲线中，
即，化简得，，
，，，
解得或（舍去），，，
则该双曲线的渐近线方程为，故选：A.
[题型四] 三大曲线焦半径
已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________．
【答案】
【详解】方法一：
方法二：抛物线的焦点的坐标为 斜率为且过焦点的直线方程为
联立抛物线方程，得，化简得 设两个交点坐标分别为
所以则
所以
[题型五] 三大曲线焦点弦
双曲线，，方向向量为的直线过点且与双曲线交于两点，,，，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A【解析】
如图，由题意知D为BC的中点，且，所以．过点D作轴于，则．在中，，根据三角形的相似可得
，∴．又，∴，∴，
∴．故点D的坐标为．设，由点差法可得，即，∴． ∴．选A．
[题型六] 焦点三角形
已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答.
【详解】依题意，，而，
则有，由椭圆定义知：，
当且仅当，即时取“=”，
于是有，则，又，即有，
所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：A
[题型七]中点弦
抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A.1B.C.2D.
【答案】D如图所示，设| 连接 由抛物线定义，得| 在梯形 中， 由余弦定理得， 配方得 又 得到| 所以 ，即的最大值为
[题型八]焦点圆
已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，，左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可求得的方程，设出点坐标，代入的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案.
【详解】解：依题意，作图如下，，，，直线的方程为：，整理得：，设直线上的点，则，，，
，令，
则，由得：，于是，
，整理得：，又，，
，，又椭圆的离心率，，
椭圆的离心率为.故选：A.
[题型九]双余弦定理
如图所示，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于B．D两点且，E为线段上靠近的四等分点．若对于线段上的任意点P，都有成立，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【分析】取的中点Q，连EQ．PQ．根据向量的加法和减法转化，
同理，等价于，由点的任意性判断，得到，根据几何关系和椭圆定义得到边长，根据余弦定理建立方程求椭圆的离心率.
【详解】解：取的中点Q，连EQ．PQ．，
同理，恒成立等价于，因为点是线段上的任意一点，故，得到，设，则，，
由，得，，，在中，，
在中，又所以，解得．
故答案为：
[题型十]双角度
已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 __．
【答案】
【分析】由题意得到，即，进而求得，结合，得到，即可求得椭圆的离心率.
【详解】因为，，则，所以,
且，所以，
又由，即，即，所以.故答案为：
[题型十一] 四心与曲线.
已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.
【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，
设点，，则，
因为为的重心，所以，因为轴，所以点横坐标也为，，
因为为的角平分线，则有，
又因为，所以可得，又由角平分线的性质可得，，而所以得，所以，，
所以，即，因为
即，解得，所以答案为A.
[题型十二] 切线
两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于，可得，所以椭圆的离心率为；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.
【详解】法一：设内椭圆方程为，外椭圆为，
切线的方程为，
联立消去可得：，
因为直线为椭圆的切线，所以，
化简可得：，设直线的方程为：，同理可得，
因为两切线斜率之积等于，所以，所以椭圆的离心率为.
故选：B.
法二；设内层椭圆：，外层椭圆：.
设切点，，，，
切线：，切线：，
∴①，②，
又∵，即，即，即，
∴，同理，∴，∴，
将，代入椭圆中得：，经分析得：，
由①②可知，∴，∴，∴.
故选：B.
[题型十三] 小题大做: 坐标运算
已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.
【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.
课时训练
1．已知曲线：，为上一点，
①的取值范围为；
②的取值范围为；
③不存在点，使得；
④的取值范围为.
则上述命题正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】对于①，分段化简方程，得到图形，数形结合得到①错误；对于②，数形结合，结合椭圆性质得到②正确；对于③，根据渐近线性质及图形可得③正确；对于④，利用的几何意义，结合三角换元得到的取值范围.
【详解】对于①，曲线得到，
画出图形如下：其中为渐近线，

由曲线和图形可知，故①错误；
对于②，可看做曲线上的点到原点的距离，显然无最大值，
当点位于椭圆上时，距离原点的距离取得最小值，
则，故当时，取得最小值，最小值为1，
则的取值范围为，②正确；
对于③，因为直线与渐近线平行，故不存在点，使得，③正确；
对于④，表示点到直线的距离的倍，
又直线与渐近线平行，且距离为，
故，
由图形可知，在上时，到直线的距离取得最大值，
设，则到直线的距离为
，
当且仅当时等号成立，
故的取值范围为，④正确.
故选：C
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
2．已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为，
则，
所以，
设，则，
所以，，即，
所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后利用点差法得，根据基本不等式即得.
3．设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】先设直线AB的方程，与抛物线方程联立求得A，B两点纵坐标之间的关系，再写出切线方程，联立，根据条件求出P点坐标，再带回到切线方程求出A，B两点的坐标即可.
【详解】
，设直线AB的方程为 ，显然m是存在的，
设 ，显然 ，求导： ，
在A点处的切线方程为…①，
同理可得在B点处的切线方程为：；
联立方程 ，解得 ， ， ，
联立方程 解得 ， ，
即P点在准线 上，设 ， ，
考虑抛物线关于x轴对称，不妨取 ，代入①得： ，解得 或 ，
由图可知 ，再代入抛物线方程得 ， ；
故选：D.
4．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可知锐角二面角，利用双曲线的定义与性质结合余弦定理运算求解.
【详解】设双曲线的半焦距为，
由题意可得：，
则，
且，则锐角二面角，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
因为，即，
可得，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
5．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得，即可得到，从而表示出，再利用点差法得到，即可得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
又，
所以，则，
所以，
设，，则，，
所以，即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
即直线斜率的最小值是.

故选：C
【点睛】关键点睛：根据解答的关键是用含的式子表示，再利用点差法得到，从而表示出，最后利用基本不等式求出最小值.
6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件证明为线段的中点，由此可得，结合双曲线的定义可得，由勾股定理可得的关系，由此可求曲线的离心率.
【详解】因为，为双曲线的左､右焦点，
所以，
因为
所以，又为线段的中点，
所以为线段的中点，且，
又为线段的中点，
所以，
在中，，，
所以，
所以，
因为点在双曲线的右支上，
所以，
故，
在中，，，，
由勾股定理可得：，
所以，即，
所以，又，
故，
所以，
故选：D.
【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，
然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
7．若椭圆上存在一点，使得函数图象上任意一点关于点的对称点仍在的图象上，且椭圆的长轴长大于2，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的对称中心，即可得到椭圆经过点，从而得到，再根据，即可得到关于离心率的不等式，解得即可.
【详解】因为，
所以的图象可由奇函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
所以的图象关于点对称，
所以椭圆经过点，则，即，
即，
所以，又因为，所以，解得，
又，所以，即.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是求出的对称中心，得到关于离心率的不等式，从而求出离心率的取值范围.
8．已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线：上． 当取最大值时，比的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由米勒最大张角定理确定P点位置，利用正弦定理计算即可.
【详解】补充：米勒最大张角定理，已知点AB是∠MON的边ON上两定点，点P为边OM上一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大.
证明：如下图所示，当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时(圆心为Q)，取OM上任一点，连接交圆Q于C，显然∠APB=∠ACB≥∠，当且仅当重合时∠取得最大值.
如图所示，由题意易得，根据米勒最大张角定理可知：当的外接圆与直线相切于P时，此时夹角最大，设其圆心，
则，解之得或，由圆的性质知：，
显然时，张角最大为60°，
而此时则.
故选：D
9．在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点垂直于的正四棱柱的截面即可计算作答.
【详解】在正四棱柱中，连接，如图，，平面，
因为平面，则，又平面，
，则平面，又平面，则，
取中点，连接，在平面内过作，交于，显然，
而平面，则平面，有，
又平面，，于是平面，而平面，因此，
因为平面，，从而平面，
连接，则点的轨迹为平面与四棱柱的交线，即，
因为，即有，又，
于是，有，，
所以点的轨迹长为.
故选：A
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
10．已知双曲线（）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得为线段的中点，为线段的中点，设，从而可得出的坐标，再根据点在渐近线上，求出，再根据点在双曲线，得出的齐次式即可得解.
【详解】由题意，点在渐近线上，点在渐近线上，
设，
因为P，M恰为线段FN的三等分点，
所以为线段的中点，为线段的中点，
则，则，即，
又点在渐近线上，
所以，所以，
故，
因为点在双曲线，
所以，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：设，由为线段的中点，为线段的中点，得出的坐标，再根据点在渐近线上，求出，是解决本题的关键.
11．已知椭圆为椭圆的右焦点，曲线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直线与椭圆的两个交点且，其中与关于x轴对称，设直线为代入椭圆，应用韦达定理结合求参数a，即可求离心率.
【详解】由题设，椭圆右焦点，且曲线恒过，不妨令，
对于直线与椭圆的两个交点，其中与关于x轴对称，
所以，即，故，
令直线为代入椭圆方程整理得：，
则，，而，
，则，可得（负值舍），
所以.
故选：A
12．已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点.设的内切圆圆心为轴，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】利用M在渐进线和圆上，可得M坐标，利用M坐标结合可得直线方程，后利用韦达定理可得点P坐标，后利用可得答案.
【详解】设M，因M在渐进线上，则，又M在圆上，则，则.
又由题可得，则直线方程为：，
将其与双曲线方程联立，消去得：.
由题，其判别式大于0，设，由韦达定理，，
则，.
又，则，又，
则，.
即.
故选：B
13．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
14．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且位于第一象限，于点，过点作QF的平行线交轴于点，若，且四边形PQKR的面积为，则直线QR的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据几何关系可判断出PQFR为菱形，其可判断与均为正三角形，由此得到p与菱形边长关系，再根据面积得到p值，最终根据点斜式得到方程.
【详解】如图，因为，，所以四边形PQFR为平行四边形．
又因为，所以四边形PQFR为菱形，所以．
由抛物线的定义知，则，
即与均为正三角形，设，
则在中，，即，即．
因为四边形PQKR的面积为，所以，
解得，则，又直线QR的斜率，
所以直线QR的方程为，即.
故选D．
15．已知空间中两条直线、异面且垂直，平面且，若点到、距离相等，则点在平面内的轨迹为（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】C
【分析】设在内的射影为，以与的交点为原点，为轴，为轴，与的公垂线为轴，建立空间直角坐标系. 设，利用空间向量坐标法表示距离，列出方程，求解结果.
【详解】设在内的射影为，到的距离为，
以与的交点为原点，为轴，为轴，与的公垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则到的距离为.
过点作于点，过点作于点，
又在内的射影为，则，连结,
又，，
所以平面，又平面，
所以，所以，
所以则到的距离为,
因为点到、距离相等，
所以，即，
所以点在平面内的轨迹为双曲线.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
关于立体几何中的轨迹问题，一般要建立适当的空间直角坐标系，根据已知信息列出的等量关系，化简得出轨迹方程，结合方程特征找到轨迹曲线.
16．已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用三角换元设，，代入椭圆方程可得，再根据三角形面积的向量公式及斜率之积计算即可.
【详解】先证三角形面积公式的向量形式：在中，，
则 ，而
设，，由题意可知;，
所以，
将坐标代入椭圆方程有
，
则
所以四边形的面积为，
即，又根据和的斜率乘积为知，
所以，解之得：，．
故选：B
17．已知双曲线的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过作的一条浙近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值．
【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，，
在中，，，，
，
由余弦定理得，
化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，
故选：C．
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：
①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；
③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．
18．已知长方体的外接球的表面积为，，点P在四边形内，且直线BP与平面所成角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由题意得到长方体体积最大时，得到几何体的棱长，设，相交于点，由平面，确定线面角，从而确定点的轨迹，从而得解.
【详解】因为长方体的外接球的表面积为，设外接球的半径为，
所以，解得或（舍去），即外接球的直径为，
设，，则，可得，
所以，当且仅当时，等号成立．
如图，设，相交于点，
因为，，平面，
所以平面，直线与平面所成角为，
所以，故，则点的轨迹是以为圆心，半径的半圆弧，
所以动点的轨迹长为．
故选：C
19．如图，线段与平面斜交于点，且直线与平面所成的角为，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线一支
【答案】C
【分析】根据题意，为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面的交线，由圆锥曲线的定义可求.
【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，且平面与轴线所成角大于母线与轴线所成角时得到椭圆；当平面与轴线所成角小于母线与轴线所成角时得到双曲线，当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
平面上的动点P满足，则P在以AB为轴的圆锥的侧面上，可构造如图所示的圆锥，
母线与AB所在直线(中轴线)的夹角为，然后用平面去截圆锥，使直线AB与平面的夹角为，则平面与圆锥侧面的交线为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆.
故选：C
【点睛】思路点睛：空间中的轨迹问题，结合圆锥曲线的定义求解.
20．如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．四边形的面积为100C．D．的取值范围为
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义可得判断选项A，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断选项B，利用抛物线的定义结合条件可得可判断选项C，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断选项D.
【详解】对于A，设直线与直线分别交于，由题可知，
所以，，故A正确；
对于B，如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，所以抛物线的方程为，
连接，由抛物线的定义可知，
又，所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故B错误；
对于C，连接，因为，所以，
所以，故，故C正确；
对于D，根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，
当，即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故D正确．
故选：B．
【点睛】抛物线的焦点弦长问题方法点睛：
若抛物线，过焦点的弦 AB 的端点坐标为，则弦长为，可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
21．设为坐标原点，，是双曲线：的左、右焦点．过作圆：的一条切线，切点为，线段交于点，若，的面积为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线定义，的面积，直角中的锐角三角函数和中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可.
【详解】
由圆的方程知，，
又∵，∴在直角中，，
且.
在中，，的面积，
∴.
在中，，
由正弦定理，，
∴，
∴由双曲线定义，，
又∵，，∴，
∴，即.
∵为直角，∴易知为钝角，∴由知，，
在中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又∵，将代入，解得.
∴双曲线的方程为：.
故选：D.
【点睛】本题的解题关键，是建立起，，之间的关系，通过方程组进行求解.作为选择题，可以适当运用解题技巧：当得到，之间的第一个关系时，可以通过将选项中的，依次代入检验，快速选出正确选项.
22．人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先确定的两条渐近线分别为，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线且，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.
【详解】由的两条渐近线分别为，
所以该函数对应的双曲线焦点在夹角（锐角）的角平分线上，
设且，若分别是，的倾斜角，故，
故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
由，即，
整理得，可得（负值舍去），
所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线斜率为，
故.
故选：D
【点睛】关键点点睛：求出的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键.
23．已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆的切线长相等的性质，结合双曲线定义可求得两内切圆与轴均相切于点，由∽可求得，结合双曲线渐近线斜率可确定直线倾斜角的范围，结合可求得的范围；由对勾函数单调性可确定所求面积之和的取值范围.
【详解】
由双曲线方程得：，，则，
设内切圆与三边相切于点，
，，，
，
又，，，
设，则，解得：，即；
同理可知：内切圆与轴相切于点；
分别为的角平分线，，
又，∽，则，
设内切圆半径分别为，
，，即，
，
双曲线的渐近线斜率，直线的倾斜角，
，则，
，解得：，
又在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线中三角形面积相关问题的求解，解题关键是能够利用相似三角形的知识求得两内切圆半径之间满足的等量关系，从而将所求面积之和转化为关于一个变量的函数的形式，利用函数单调性求得结果.
24．椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据重心性质可得，由点差法可得，结合关系和基本不等式可求直线的斜率取值范围
【详解】设椭圆的半焦距为，
由已知，，
设，
因为重心为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以直线的斜率，
当且仅当时等号成立，
又，
所以直线的斜率取值范围是，
故选：B.
【点睛】结论点睛，涉及椭圆的弦的中点问题常用到结论：
若点为椭圆上的点，
的中点坐标为，点为坐标原点，
则.
25．已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，进而可得，利用垂径定理求，结合面积运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
可得，整理得，
过点分别作的垂线，垂足分别为，
则为的中点，为的中点，则，
所以，
由题意可得：，
因为圆的半径为，
可得，
所以四边形的面积
，
可得，则，整理得，
所以的离心率.
故选：A.
【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
26．已知抛物线C：的焦点为F，直线m与抛物线C切于点P，交x轴于点A．直线n经过点P，与x轴交于点B，与C的另一个交点为Q，若，则下列说法错误的是（ ）
A．PA的中点在y轴上B．
C．存在点P，使得D．的最小值为
【答案】C
【分析】直线m斜率存在，令且，利用导数几何意义求切线的方程，即可得直线的方程，进而求坐标，可判断A、B；数形结合易知，在△中应用边角关系判断C；联立直线与抛物线，应用韦达定理及弦长公式得，应用换元法、导数求最值判断D.
【详解】直线m斜率存在，令且，而，则，故，
所以过的切线为，故，易知：，
所以中点横坐标为0，PA的中点在y轴上，A对；
由上，直线为，故，易知：，
所以中点为，即为的焦点，又，
在中，B对；
由B分析知：，且，则，
在△中，，即，C错；
联立直线与抛物线得：，则，
所以，则，，
，令，则，
若，则，
所以时，递减；时，递增；
故，即，D对.
故选：C
【点睛】关键点点睛：首先应用导数几何意义、直线的垂直关系写出切线、直线方程并求坐标，再利用三角形边角关系比较边的大小，最后应用导数求弦长最值.
27．已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，
再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.
【详解】
设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.
根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，
所以MO是的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.
所以，，双曲线C的渐近线方程为，
设，T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，即，
又T在上，则，即，解得，，
由，故，即距离之和为.
故选：A.
【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.
28．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（O为坐标原点）.下列四个结论正确的是（ ）
①；
②若，则双曲线的离心率；
③；
④.
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
【答案】C
【分析】对于①：根据可得，根据勾股定理分析判断；对于②：根据向量共线可得，代入双曲线方程可得离心率；对于③：根据双曲线的定义及三角形的三边关系分析判断；对于④：根据两点间距离以及A的横坐标的范围分析判断.
【详解】对于①：因为，且为的中点，则，
所以，故①正确；
对于②：由题意可知：直线，
设，则，可得，
即，
设，由，可得，
因为，则，解得，
即，由点A在双曲线上可得，
整理得，解得或（舍去），故②正确；
对于③：设直线与双曲线的右支交于点，
由双曲线的定义可得：，
在中可得，即，
所以，
即，故③错误；
对于④：设，则，可得，
则，
因为，则，可得，
所以，即，故④正确；
故选：C.
【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
29．已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】A
【分析】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，即可得到点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦的方程为，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦方程．
【详解】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，
①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为，
联立方程，得，
，即，
，
又，
把代入中，得，
，
化简得.
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式.
综上，椭圆上一点的切线方程为：.
再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，
切点分别为，，则切点弦的方程为．
这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．
两切线都过点，所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
因为椭圆，离心率为，
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为；
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为，即；
综上可得直线方程为或.
故选：A
30．已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点C和点A在点B的两侧），则下列命题中正确的有
①若BF为的中线，则；②若BF为的平分线，则；
③存在直线l，使得；④对于任意直线l，都有.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】设直线，，都在第一象限，如图，联立抛物线方程，利用韦达定理表示、、、.根据中线的性质可得，求出A、B的坐标即可判断①；根据角平分线的性质和相似三角形的性质，结合抛物线的定义计算求出，即可判断②；根据题意可得，列出方程求出即可判断③；根据抛物线的定义和，即可判断④.
【详解】由题意，设直线，令，都在第一象限，
由，得，如图所示.
，得，且，即，
所以，，则，.
①若BF为的中线，则，所以，所以，故，
所以，则，故①正确；
②若BF为的平分线，则，
分别作AD，BE垂直准线于点D，E，则且，
所以，即，则，
将代入整理，得，即，
则，所以，故②正确；
③若，即，即为等腰直角三角形，
此时，则，所以，所以，
所以，所以，此时A，B为同一点，不合题设，故③错误；
④，
而，结合，得，
即恒成立，故④正确.
故选：C.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；涉及有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
方法总结
(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数)
(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).
(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
方法总结
(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数)
(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).
(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
方法总结
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ (λ≠0)．
方法总结
圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言
对于抛物线，则
常见抛物线的（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.