+重庆市南开中学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份+重庆市南开中学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）点P（﹣2，6）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
2．（4分）随着新能源汽车的普及，自主汽车品牌逐渐成为市场主流，以下汽车品牌标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）若函数y＝x2m﹣1是正比例函数，则m的值为（ ）
A．1B．C．0D．0或1
4．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如图，将△ABC沿BA方向平移至△A'B'C'，若A'B＝5，AB'=1，则平移距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．平行四边形的邻角相等
B．平行四边形的两条对角线互相垂直
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8．（4分）估计的值在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
9．（4分）如图，直线y＝x+3与y＝ax+b交于点P（1，4），则关于x,y的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）小南家，小开家，学校依次在一条直线上．放学后，小南和小开相约回家取球拍后回学校打球．他们同时从学校出发匀速返回家中，两人同时到家．小南到家取完球拍后立即以另一速度返回学校，小开取完球拍在家休息了2min后按原速返回，且同时到达学校（两人找球拍时间忽略不计）．小南和小开与学校的距离y（m）与两人出发时间x（min）的函数关系如图所示．下列描述中，错误的是（ ）
A．小南家距离学校800m
B．小开速度为62.5m/min
C．小南返回学校的速度为80m/min
D．两人出发12min时，小南与小开相距102m
11．（4分）关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）
A．6B．7C．11D．12
12．（4分）在平面直角坐标系中，A（x1，y1），B（x2，y2），定义：
（1）A，B两点的水平距离l（A，B）＝|x1﹣x2|；
（2）A，B两点的铅垂距离h（A，B）＝|y1﹣y2|；
（3）A，B两点的绝对距离d（A，B）＝|l（A，B）（A，B）|．
则下列说法：
①若A（2，﹣7），B（3，﹣4），则l（A，B）＝1，h（A，B）；
②若A（﹣3，5），B（a，4），d（A，B）＝3，则a＝1或﹣7；
③记A（m，0），B为平面内异于A的一点，当代数式（取得最大值且d（A，B）=0时，所有可能的直线AB与坐标轴围成的封闭图形内（包含边界）共有36个横纵坐标都为整数的点．
正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡
13．（3分）﹣27的立方根是 ．
14．（3分）如果点P（m+3，m﹣2）在y轴上，那么点P的坐标为 ．
15．（3分）如图为一次函数的图象，则m的取值范围为 ．
16．（3分）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝6，则k的值为 ．
17．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b+c|﹣+＝ ．
18．（3分）如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，BD⊥OA，BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为 米．
19．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠A=30°，AC=4，点E为AC的中点，点F为边AB上的一个动点，将三角形沿EF折叠，点A的对应点为A'，当以E，F，A'，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段AF的长为 ．
20．（3分）如果一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为0，千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数是“中庸数”．对于一个“中庸数”m,将它的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的数m'，记P（m）＝，，已知“中庸数”n的千位数字为x,十位数字为y,且x＞y,Q（n）为整数，18x+P（n）=72，则“中庸数”n为 ．
三、计算题：（本大题2个小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演
21．（10分）计算：
．
22．（10分）（1）解方程组：．
（2）解不等式组：．
四、解答题：（本大题6个小题，23～24题每小题8分，25～27题每小题8分，28题12分，
23．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，1），B（5，3），C（3，4）．将△ABC向左平移5个单位长度得到△A1B1C1，再将△A1B1C1关于原点对称得到△A2B2C2（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．
（1）在图中画出△A1B1C1，△A2B2C2；
（2）在第（1）问的条件下，延长CA交A2B2于点K，求证：∠B2KA=∠B+∠C，请将下列证明过程补充完整．
证明：∵△A1B1C1是由△ABC平移得到，
∴A1B1∥① ，
∵△A2B2C2与△A1B1C1关于原点对称，
∴A1B1∥② ，
∴AB∥A2B2，
∴∠BAK＝∠③ ，
在△ABC中，∠BAK＝∠B+∠C，
④ ＝∠B+∠C．
24．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F为BD上两点，连接AE，AF，CE，CF，且BF=DE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB⊥AC，CD=4，AC=6，E，F为BD的三等分点，求OE的长度．
25．（10分）如图，等边△ABC的边长为4，M为BC边的中点，动点P从B点出发，沿着B→A→C方向匀速运动，到点C时停止运动．过点P作PQ⊥BC于点Q，设点P的运动路程为x,点M，Q的距离为y.
（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ；
（3）结合函数图象，当y≤1时，自变量x的取值范围为 ．
26．（10分）“人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度．某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的．两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1；与l2交于点E（e，﹣2），l1与x轴，y轴分别交于A，B两点，l2与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图2，连接AD，若点P为y轴负半轴上一点，连接PE，PQ，当S△DEP＝S△ADE时，求△PEQ周长的最小值；
（3）如图3，将直线l1向上平移经过点D，平移后的直线记为l3，若点M为y轴上一动点，点N为直线l3上一动点，是否存在点M，N，使△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图，点D是△ABC内一点，连接AD，CD，AD⊥BD．
（1）如图1，当AD=BD时，若AB=6，AC=8，BC=10，求∠CAD的度数；
（2）如图2，以CD为斜边向上作等腰Rt△CDE，连接AE，若∠DAE=45°，，求证：AB＝AC且AB⊥AC；
（3）如图3，在第（2）问的结论下，点P为BC垂直平分线上一点，连接BP，CP，将CP绕点C顺时针旋转60°至CP'，连接AP'，BP'，PP'若射线CP交直线BP′于点Q，当CQ取得最小值时，直接写出的值．
2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．【答案】B
【解答】解：点P（﹣2，6）所在的象限是第二象限，
故选：B．
2．【答案】C
【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、B；
是中心对称图形的只有C．
故选：C．
3．【答案】A
【解答】解：∵函数y＝x2m﹣1是正比例函数，
∴8m﹣1＝1，
解得m＝5．
故选：A．
4．【答案】A
【解答】解：∵，
∴不等式组的解集为：﹣5≤x≤1，
在数轴上表示为：
故选：A．
5．【答案】A
【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗，
依题意得：．
故选：A．
6．【答案】A
【解答】解：∵将△ABC沿BA方向平移至△A'B'C'，
∴A′B′′＝AB，A′A＝B′B
∵A'B＝5，AB'＝1，
∴平移距离为×（A′B﹣AB′）＝，
故选：A．
7．【答案】D
【解答】解：平行四边形的对角相等，邻角互补，则选项A和B不符合题意；
一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则选项D符合题意，
故选：D．
8．【答案】C
【解答】解：
＝×+×
＝+
＝2+2，
∵16＜20＜25，
∴3＜＜5，
∴8＜5+2＜3，
∴估计的值在2到9之间，
故选：C．
9．【答案】A
【解答】解：∵直线y＝x+3与y＝ax+b交于点P（1，7），
∴关于x，y的二元一次方程组．
故选：A．
10．【答案】D
【解答】解：由函数图象可知，小南家距离学校800m，
∴A正确，不符合题意；
小开的速度为＝62.5（m/min），
∴B正确，不符合题意；
小南返回学校的速度为＝80（m/min），
∴C正确，不符合题意；
由C可知，小南返回学校的速度为80m/min，
∴当两人出发12min时，小南与学校的距离为800﹣（12﹣8）×80＝480（m）；
由B可知，小开的速度为62.5m/min，
∴当两人出发12min时，小开与学校的距离为500﹣（12﹣10）×62.8＝375（m）；
∴两人出发12min时，小南与小开相距480﹣375＝105（m），
∴D不正确，符合题意，
故选：D．
11．【答案】A
【解答】解：解方程组得：，
∵关于x，y的二元一次方程组，
∴k＝﹣1，1，6，4，5，6，
解关于z的不等式组得，
∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解，
∴0≤＜1，
解得：﹣1≤k＜5，
∴整数k为﹣1，1，8，4，其和为﹣1+5+2+4＝3，
故选：A．
12．【答案】D
【解答】解：在①中，
∵若A（2，﹣7），﹣7），
∴l（A，B）＝|x1﹣x2|＝3﹣2＝1；
h（A，B）＝|y8﹣y2|＝﹣4﹣（﹣5）＝3；
∴①正确．
在②中，
∵A（﹣3，6），4），
∴l（A，B）＝|x1﹣x5|＝|a﹣（﹣3）|＝|a+3|，
h（A，B）＝|y4﹣y2|＝5﹣8＝1，
∴d（A，B）＝|l（A，B）|＝||a+3|﹣6|．
∵d（A，B）＝3，
∴||a+3|﹣7|＝3，
∴|a+3|﹣4＝±3，
即|a+3|﹣4＝3，|a+3|﹣6＝﹣3，
∴|a+3|＝6，|a+3|＝﹣2（舍去），
∴a+8＝±4，
∴a＝1或﹣4．
∴②正确．
在③中，
代数式＝，
如图：
设BC＝m﹣2，AC＝3，
设BF＝m﹣4，DF＝1，
当A、D、B共线时，
AE＝AC﹣EC＝3﹣1＝4，
BD＝CF＝BC﹣BF＝m﹣2﹣（m﹣4）＝2，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴△ABC也是等腰直角三角形，
∴m﹣2＝3，
∴m＝5．
∴A（5，0）．
设B（x，y），
∴l（A，B）＝|x2﹣x2|＝|5﹣x|，
h（A，B）＝|y7﹣y2|＝|0﹣y|＝|＝|y|，
∴d（A，B）＝|l（A，B）|＝|8﹣x|﹣|y|，
∵d（A，B）＝0，
∴|5﹣x|﹣|y|＝4，
∴5﹣x＝±y，
∴y＝﹣x+5或y＝x﹣6，
一次函数y＝﹣x+5、一次函数y＝x﹣5与坐标轴围成的图形如图所示：
∴围成的封闭图形内（包含边界）共有36个横纵坐标都为整数的点．
∴③正确．
故选：D．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴＝﹣3
故答案为：﹣3．
14．【答案】（0，﹣5）．
【解答】解：∵P（m+3，m﹣2）在y轴上，
∴m+6＝0，得m＝﹣3，
即m﹣7＝﹣3﹣2＝﹣5．即点P的坐标为（0．
故答案为：（0，﹣7）．
15．【答案】m＜4．
【解答】解：∵一次函数的图象过第二、三，
∴m﹣4＜0，
解得m＜8．
故答案为：m＜4．
16．【答案】1．
【解答】解：由．
解得．
∵x+y＝2．
∴10﹣K+2K﹣5＝2．
∴K＝1．
故答案为：1．
17．【答案】2a+b．
【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＜0，|a|＞|c|＞|b|，
∴b+c＞3，a﹣c＜0，
∴|b+c|﹣+＝
＝b+c﹣（c﹣a）+a
＝b+c﹣c+a+a
＝2a+b，
故答案为：2a+b．
18．【答案】102.5．
【解答】解：由题意可知，OA＝OB，
∵BD⊥OA，
∴∠BDO＝90°，
设OA＝OB＝x米，则OD＝OA﹣AD＝（x﹣80）米，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：BD2+OD2＝OB8，
即1002+（x﹣80）2＝x5，
解得：x＝102.5，
即绳索OA的长度为102.5米，
故答案为：102.7．
19．【答案】2或2．
【解答】解：如图1，四边形A′CEF是平行四边形，
∵AC＝4，点E为AC的中点，
∴AE＝CE＝AC＝2，
由折叠得A′E＝AE＝4，
∵A′F∥CE，A′F＝CE，
∴A′F∥AE，A′F＝AE，
∴四边形A′EAF是平行四边形，
∴AF＝A′E＝2；
如图2，四边形A′CFE是平行四边形，作CG⊥AB于点G，
∵∠AGC＝90°，∠A＝30°，
∴CG＝AC＝2，
∵A′E＝AE＝8，
∴CF＝A′E＝2，
∴CF＝CG，
若点F与点G不重合，则CF＞CG，
∴点F与点G重合，
∴∠AFC＝∠AGC＝90°，
∴AF＝＝＝2，
综上所述，线段AF的长为2或2，
故答案为：2或2．
20．【答案】5940．
【解答】第一步，根据题目，十位数字为y，Q（n）为整数；
第二步，根据Q（n）的定义，因为n和n′的千位数字和十位数字互换，所以n+n'的结果是千位和十位数字的和乘以1000，然后相加，所以千位和百位数字的和等于十位和个位数字的和；
第三步，因为Q（n）为整数，
即2222x+220y，都是小于10的正整数，2222x+220y的最大值为2222×9+220×9＝21978，
所以k的取值范围是2442÷909到21978÷909，即2.68到24.19．
因为k是整数，所以k的可能取值是3、4、4、6、7、3、9、11、13、15、17、19、21、23；
第四步，因为18x+P（n）＝72；
因为P（n）的定义是，所以n﹣n'的结果是千位和十位99数字的差乘以100，然后相减，所以千位和百位数字的和等于十位和个位数字的和；
第五步，因为x和y都是小于10的正整数，最小值为108×1﹣110×7＝﹣882，所以x和y的取值范围是1到9；
第六步，因为x＞y，y的取值范围是4到8，所以x＝5；
第七步，因为n是“中庸数”，百位数字是8，个位数字是0．
故答案是：5940．
三、计算题：（本大题2个小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演
21．【答案】﹣2．
【解答】解：原式＝2+5﹣
＝﹣8．
22．【答案】（1）；
（2）﹣4＜x≤2．
【解答】解：（1），
①﹣②，得﹣8y＝﹣16，
解得y＝4，
将y＝4代入②，得x+2＝4，
解得x＝0．
∴方程组的解为；
（2），
由①得，x＞﹣4，
由②得，x≤4，
此不等式组的解集为：﹣4＜x≤2．
四、解答题：（本大题6个小题，23～24题每小题8分，25～27题每小题8分，28题12分，
23．【答案】（1）图形见解析；
（2）AB，A2B2，B2KA，∠B2KA．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C3，△A2B2C3即为所求；
（2）证明过程补充如下：∵△A1B1C2是由△ABC平移得到，
∴A1B1∥AB，
∵△A3B2C2与△A6B1C1关于原点对称，
∴A5B1∥A2B5，
∴AB∥A2B2，
∴∠BAK＝∠B8KA，
在△ABC中，∠BAK＝∠B+∠C，
∴∠B2KA＝∠B+∠C．
故答案为：AB，A2B6，B2KA，∠B2KA．
24．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝3，
∵AB⊥AC，
∴OB＝＝＝7，
∴BD＝2OB＝10，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
∵E，F为BD的三等分点，
∴BE＝DF＝EF＝BD＝，
∴OE＝EF＝．
25．【答案】（1）y＝；
（2）当0≤x≤4时，y随x的增大而减小；当4＜x≤8时，y随x的增大而增大；
（3）2≤x≤6．
【解答】解：（1）连接AM，
当点P在AB上时，0≤x≤4，
∵等边△ABC的边长为3，M为BC边的中点，
∴BM＝2，∠B＝60°，
∴BQ＝2﹣y，
∵PQ⊥BC，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝BP，
∵点P的运动路程为x，
∴BP＝x，
∴2﹣y＝x，
∴y＝2﹣（0≤x≤3）；
当点P在AC上时，4＜x≤8，
同理CQ＝2﹣y，CP＝8﹣x，
同理CQ＝CP，
∴2﹣y＝，
∴y＝（4＜x≤8）．
综上所述，y关于x的函数表达式为y＝；
（2）函数图象如图所示：
当7≤x≤4时，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大；
故答案为：当0≤x≤8时，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大；
（3）当y≤1时，由图象可知2≤x≤3．
故答案为：2≤x≤6．
26．【答案】（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
（2）当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元．
【解答】解：（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：，
解得：．
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
（2）设购进腊梅m束，则购进百合（80﹣m）束，
根据题意得：，
解得：30≤m≤48，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，则w＝（20﹣12）m+（30﹣18）（80﹣m），
即w＝﹣4m+960，
∵﹣4＜7，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣30＝50（束）．
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元．
27．【答案】（1）y＝﹣2x+6；
（2）△PEQ周长的最小值为4+4；
（3）存在点M，N，使△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形，N的坐标为（6，9）或（﹣6，3）．
【解答】解：（1）把E（e，﹣2）代入
﹣2＝e﹣4，
解得e＝5，
∴点E的坐标为（4，﹣2），
把x＝3代入代入得y＝﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣2），
∵，
∴OC＝8，
∴点C的坐标为（3，0），
设l7的解析式为y＝kx+b，
把E（4，﹣2），4）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴l2的解析式为y＝﹣2x+7；
（2）作P关于x轴的对称点P'，连接P'E交x轴于Q，则△PEQ周长的最小值
在y＝x﹣8中，
∴A（8，0），
在为y＝﹣5x+6中，令x＝0得y＝6，
∴D（0，6），
∵点B的坐标为（7，﹣4），
∴BD＝10，
∵点E的坐标为（4，﹣7），
∴S△ADE＝S△ADB﹣S△EDB＝×10×3﹣，
∵S△DEP＝S△ADE，
∴DP×4＝，
∴DP＝8，
∴P（0，﹣8），
∴P'（0，2），
∵E（5，﹣2），
∴P'E＝＝4，
∴△PEQ周长的最小值为4+4；
（3）存在点M，N，使△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形
∵A（8，0），﹣4），3），﹣2），
∴AD＝BD＝10，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
若C为直角顶点，CM为直角边
则N在直线DE上，CM∥AB∥直线l3，
∵点N在直线l3上，∠CDO≠45°，
∴CM≠CD，
∴这种情况不存在；
若M为直角顶点，过N作NH⊥y轴于H
∵△CMN为等腰直角三角形，
∴CM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠HMN＝90°﹣∠CMO＝∠MCO，
∵∠MHN＝90°＝∠COM，
∴△MHN≌△COM（AAS），
∴NH＝OM，MH＝OC＝3，
∵直线l1：y＝x﹣4向上平移经过点D（3，
∴直线l3：y＝x+6，
设N（m，m+6），
∴NH＝OM＝m，
∴OH＝OM+MH＝m+3，
∴m+4＝m+3，
解得m＝6，
∴N（6，2）．
同理可得N'（﹣6，3）；
综上所述，N的坐标为（5，3）．
28．【答案】（1）45°；
（2）证明过程详见解答；
（3）2．
【解答】（1）解：∵AB＝6，AC＝8，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BD，AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣45°＝45°；
（2）证明：如图7，
作EF⊥AE，截取EF＝AE连接DF，
∴∠AEF＝∠DEC＝90°，
∴∠AED＝∠CEF，
∵DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（SAS），
∴∠ADE＝∠ECF，AD＝CF，
∴∠EDC＝∠EFC＝45°，
∴点E、D、F、C共圆，
∴∠EDF+∠ECF＝180°，∠DFC+∠DEC＝180°，
∴∠ADE+∠EDF＝180°，∠DFE＝180°﹣∠DEC＝90°，
∴A、D、F共线，
∴AF＝AE，
∵AF＝AE，
∴BD＝AF，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴AB＝AC，∠CAF＝∠ABD，
∴∠CAF+∠BAD＝∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
（3）解：如图4，
设AP交BC于F，作∠FCE＝60°，延长P′E，连接EF，
∴∠PCP′＝∠FCE＝60°，△CEF是等边三角形，
∴∠FCP＝∠ECP′，EF＝CF，
∴CP绕点C顺时针旋转60°至CP'，
∴CP＝CP′，
∴△CEP′≌△CFP（SAS），
∴∠B′EC＝∠P′EC＝∠CFP＝90°，
∴EF＝B′F，∠B′EF＝30°，
∴∠EB′F＝∠EFC﹣∠B′EF＝60°﹣30°＝30°，
∴EF＝B′F，
∵BF＝CF，
∴B′F＝BF，
∴点B′和点B重合，
∴点P′在与BC成30°的∠CBE的边BE上运动，
∴当点Q在E点处时，CQ最小，
如图3，
在Rt△RST中，∠R＝90°，∠RST＝75°，
则SR＝，
∴RT＝RV+VT＝，
∴ST＝＝，
∴sin75°＝，
如图5，
不妨设CF＝BF＝AF＝1，则AC＝，
∵∠FCE＝60°，∠PFC＝90°，
∴P′C＝PC＝6CF＝2，PF＝CF•tan60°＝，
∴AP＝PF﹣AF＝，
∴S△ABP＝BF•AP＝，
∵∠ACP＝∠CAF﹣∠CPA＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ACP′＝∠ACP+∠PCP′＝15°+60°＝75°，
∴P′X＝CP′•sin∠ACP′＝CP•sin75°＝2×＝，
∴S△ACP′＝＝，
∴＝2﹣．