新高考数学满分训练必做题 专题6.3 求数列的前n项和（基础+提升2000题951~984）

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专题6.3 求数列的前n项和
考点6.3.1 等差、等比公式法
【951】．（2022·浙江·高考真题·★★★★）
已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
(1)
因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
(2)
因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
【952】．（2021·全国·高考真题·★★★）
记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
【953】．（2021·浙江·高考真题·★★★★）
已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】
（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】
易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
【954】．（2020·山东·高考真题·★★★）
已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.
（2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.
【详解】
（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）［方法一］：规律探索
由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有2个1；
对应的区间分别为，则，即有个2；
对应的区间分别为，则，即有个3；
对应的区间分别为，则，即有个4；
对应的区间分别为，则，即有个5；
对应的区间分别为，则，即有37个6．
所以．
［方法二］【最优解】：
由题意，，即，当时，．
当时，，则
．
［方法三］：
由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，．
所以
．
所以数列的前100项和．
【整体点评】
（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．
【955】．（2022·上海奉贤·二模·★★★）
已知数列和，其中，，数列的前项和为．
(1)若，求；
(2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）先判定数列和分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列的前项和．
（2）利用数列的前项和列出方程组，解之即可求得、d、、q，进而求得数列和的通项公式．
(1)
当时，，从而是等差数列，
，所以是等比数列
又，则
所以
(2)
是各项为正的等比数列，设其首项为，公比为q，
由，可得，则（定值）
则数列为等差数列，设其首项为，公差为d，
由数列的前项和，
可得方程组 整理得
解得，则
由，可得，则
则数列的通项公式为；数列的通项公式为．
【956】．（2022·上海普陀·二模·★★★★）
设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【答案】(1)，
(2)8152
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为，由已知建立方程组求解可得数列的通项公式；
（2）数列中在之前共有项，再分组，分别利用等差、等比求和公式可求得答案.
(1)
解：设等比数列的公比为，
则，解得，
则等比数列的通项公式为，.
(2)
解：数列中在之前共有项，
当时，，当时，，
则，
.
则所求的数列的前项和为.
【957】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）
已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
【答案】(1)证明见解析
(2)7
【解析】
【分析】
（1）根据化简整理，解得等差数列定义处理；（2）根据，，并代入运算求解．
(1)
因为，
所以，即，
则．
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列．
(2)
由（1）得，，
则．
又，
所以，
化简得，解得m＝7或（舍）．
所以m的值为7．
【958】．（2022·上海闵行·二模·★★★★）
已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由等差数列通项公式基本量计算得到公差为2，首项为1，从而得到前n项和；
（2）假设存在，使对任意恒成立，变形为对任意恒成立，结合当时，，求出且，因此符合题意得不存在.
(1)
由题意得：，解得：，
由，解得：，
所以；
(2)
假设存在，使对任意恒成立，
则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
当时，，
所以且，因此符合题意得不存在，证毕.
考点6.3.2 裂项相消法
【959】．（2022·全国·高考真题·★★★）
记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
(1)
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)

∴
【960】．（2017·全国·高考真题·★★★★）
设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
【答案】(1) ；(2).
【解析】
（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
【详解】
（1）数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
（2）
∴数列的前n项和
【点睛】
本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.
【961】．（2019·浙江·高考真题·★★★★）
设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列的通项公式；
(2)结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.
【详解】
(1)由题意可得：，解得：，
则数列的通项公式为 .
其前n项和.
则成等比数列，即：
，
据此有：
，
故.
(2)结合(1)中的通项公式可得：
，
则.
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【962】．（2013·广东·高考真题·★★★★）
设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．
(1) 证明：；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数，有．
【答案】(1)见解析 (2) (3) 见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（1）令，，即可证明；（2）由得到，解得，再进而验证，即可求解数列的通项公式；（3）对于一切正整数，有，即可证明结论．
试题解析：（1）令，，∴．
（2），①
时，，②
①②：，整理得，
，∴，即，解得，
，，又，可得，
综上：．
（3）．
考点：数列的综合应用．
【963】．（2022·河南·模拟预测·★★★）
已知数列{an}对任意的n∈N*都满足．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题干中的已知条件可得当时，，当时，，即可求解数列的通项公式；
（2）代入化简数列，利用裂项相消法即可求解数列的前n项和.
(1)
解：∵，∴当时，，
当时，，
从而有，即当时，，
又满足上式，
故数列的通项公式为．
(2)
解：由题可知，，
所以，
，
所以.
【964】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★★）
设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【解析】
【分析】
（1）根据与的关系式化简证明；（2）由（1）得数列的通项公式为．所以，继而求和计算.
(1)
当时，，．
当时，，两式相减得，
即，，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)
由（1）得，，当时，，
数列的通项公式为．
，
，
令，
得，解得．
【965】．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测·★★★★）
等比数列中，首项，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列求解公比即可；（2）根据题意得，再裂项求和即可.
(1)
设数列公比为，由，，
可得，化简得，
即，所以．
(2)
由（1）得，
所以
所以
..
【966】．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测·★★★★）
已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可.
（2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得.
(1)
解：由题意得：
由题意知，则
又，所以是公差为2的等差数列，则；
(2)
由题知
则
【967】．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模·★★★）
已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)设，数列的前项和记为，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据代入整理得，结合理解处理；（2）代入整理得，利用裂项相消进行求和．
(1)
由，得
两式相减可得，
因为，得
数列为3，，3，，3，，3，
即，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
(2)
由
则有
所以，
【968】．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模·★★★）
若为数列的前n项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，利用数列通项和前n项和的关系结合等比数列的定义求解；
（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.
(1)
解：因为①，，
当时，②，
由①②可得，
即．
时，，
又，所以，
所以，所以，
所以数列是等比数列，且首项为2，公比为2．
所以．
(2)
由（1）知，
所以，
所以，
，
，
．
考点6.3.3 错位相减
【969】．（2021·全国·高考真题·★★★）
设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】
（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
【970】．（2021·天津·高考真题·★★★）
已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】
（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】
关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
【971】．（2015·天津·高考真题·★★★）
已知数列满足，且成等差数列.
（Ⅰ）求的值和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）.
【解析】
【详解】
（Ⅰ） 由已知，有，即，
所以，又因为，故，由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，设数列的前项和为，则
，
两式相减得
，
整理得
所以数列的前项和为.
考点：等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.
【972】．（2012·江西·高考真题·★★★★）
已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.
（1）确定常数k，求an；
（2）求数列的前n项和Tn．
【答案】（1）
（2）Tn
【解析】
【详解】
试题分析：（1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以
（1） 因为，
所以
考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和．
点评：典型题，本题首先由的关系，确定数列的通项公式是关键．不求和过程中应用了“错位相减法”．在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到．
【973】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）
若数列满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等比中项法判断出为等比数列，设其公比为q（），由，求出，得到的通项公式；
（2）先得到，利用错位相减法求和.
(1)
因为数列满足，，，所以.
所以数列为等比数列，设其公比为q（）.
所以，解得：.
所以.
即的通项公式为.
(2)
由（1）可知：，所以，
所以 ①
得： ②
①-②得：
所以
【974】．（2022·宁夏·银川一中模拟预测·★★★）
已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出等比数列的公比即可得其通项公式，再求出等差数列的公差，求出其通项作答.
（2）利用（1）的结论求出，再利用错位相减法求解作答.
(1)
依题意，等比数列的公比，则有，因此，，
由得，等差数列的公差，，
所以数列、的通项公式分别为：，.
(2)
由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
所以.
【975】．（2022·福建·三明一中模拟预测·★★★）
设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据及等比数列的定义即可求得答案；
（2）由错位相减法即可求得答案.
(1)
因为．
所以，解得．
当时，，
所以，所以，即．
因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
(2)
由（1）知，所以，
所以…①
…②
①-②得
，所以．
【976】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）
已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出公差和公比，得到通项公式；（2）利用错位相减法求和.
(1)
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意得：，解得：，
所以，
由得：，所以，
所以
(2)
，
则①，
②，
两式相减得：
，
所以
【977】．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测·★★★★）
已知等比数列的公比，且.是的等差中项.数列满足，数列的前项和为.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，整理结合等比数列通项公式列方程求解；（2）根据可得，利用累加法和错位相减法计算整理．
(1)
由题意可得，可得，即
解得，即
(2)
由（1）可得：
设数列的前项和为，即
当时，
当时，
∴，即
当时，则
令，则
两式相减得：
∴，则
∴
【978】．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测·★★★★）
已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式；
（2）需要先用错位相减法求得数列{}的前n项和为，代入不等式中对n分类讨论，转化为最值问题，求出m范围即可．
(1)
解：等差数列{}中，设公差为d，
则
数列{}中的前n项和为，且①
当时，
当时，②
②－①得：
故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
(2)
解：数列{}中，.
则
所以
故
所以
∵对恒成立．
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
综上：实数m的取值范围为．
考点6.3.4 其他数列求和
【979】．（2016·全国·高考真题·★★★★）
为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1000项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1893.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
【考点】等差数列的通项公式、前项和公式，对数的运算
【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.
【980】．（2012·广东·高考真题·★★★★）
设数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．
【答案】（1）1 （2）an=3n﹣2n （3）见解析
【解析】
【详解】
（1）在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，
令n=1得：2S1=a2﹣22+1，
令n=2得：2S2=a3﹣23+1，
解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13
又2（a2+5）=a1+a3
解得a1=1
（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，
得an+2=3an+1+2n+1，
又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，
∴an+2n=3n，
∴an=3n﹣2n；
（3）（法一）
∵an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1
∴≤，
∴+++…+≤1+++…+=＜；
（法二）∵an+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2an，
∴＜•，，
当n≥2时，＜•，＜•，，
…＜•，
累乘得：＜•，
∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．
【981】．（2022·广东佛山·三模·★★★★★）
设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足．
(1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）依据题意列出关于的方程即可求得的值，依据等差数列的定义去证明数列为等差数列，进而求得的通项公式；
（2）先求得数列的通项公式，再分类讨论去求数列的前项和．
(1)
由题意可知，，且，解得：或（舍去）
又当时，，所以有
化简得：，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列
所以
(2)
由(1)可知
当时，
当时，
则，
①当是奇数时，
②当是偶数时，
综上所述：
【982】．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测·★★★★）
在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，即可得到是以4为首项，2为公比的等比数列，从而求出的通项公式；
（2）由（1）可得，对分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得；
(1)
解：因为，所以，又，所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
故，即.
(2)
解：由（1）得，
则，
①当时，
②当时，
，
综上所述，
【983】．（2021·浙江·三模·★★★★）
已知数列，满足，为数列的前项和，记的前项和为，的前项积为，且.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，对任意自然数，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，，推得，结合，求得，从而求得.
（2）由，结合（1）中，求得，；代入问题所示表达式，由，进行裂项求和，将不等关系转化为，从而求得参数取值范围.
【详解】
解：（1）∵，
.
∵，∴，
∵，∴.
∵，∴，∴.
（2）∵，，
∴.∵，
∴，
∴，∴，.
∵
∴
两边同乘以（时，），
∴条件不等式等价于，
∴当n为偶数时，恒成立，当时，，故；
当 n为奇数时，恒成立，当时，，故；
故.
【点睛】
方法点睛：根据和求得与的关系，分别根据题目条件给出的求得数列通项；型如，可以通过这种方法进行裂项求和，对于含有型的表达式，需要分奇偶讨论，分别求得参数取值范围.
【984】．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测·★★★★）
已知函数，.
（1）若不等式对恒成立，求实数a的范围；
（2）若正项数列满足，，数列的前n项和为Sn，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）分离参数，通过导数研究函数的单调性，从而求得最大值，即可求得参数的取值范围.
（2）由递推关系求得数列的通项公式，结合（1）中结论，取取，得到，对数列的通项进行放缩，转化为对数形式，利用累加法证明前n项和满足的不等关系.
【详解】
解：（1）对恒成立对恒成立，
设，则，时，，单调递增；时，，单调递减.
，，
实数a的取值范围是.
（2）取，由（1）可知对恒成立，则
，，
数列是常数列
，得证.
【点睛】
方法点睛：（1）分离参数，利用导数研究函数的最值，从而求得参数取值范围；
（2）对数列通项进行放缩，累加法求和，证明不等式.