广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024届高三上学期第三次月考数学试题

这是一份广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024届高三上学期第三次月考数学试题，共10页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁和平整，已知曲线的离心率为2，则，拉格朗日中值定理又称拉氏定理，下列说法错误的是，下列各式正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第一部分选择题（共60分）
一､单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1.设全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知直线与直线互相平行，则实数的值（ ）
A.-2 B.-2或1 C.2 D.1
4.若：实数使得“”为真命题，：实数使得“”为真命题，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知曲线的离心率为2，则（ ）
A.2 B.2或1 C.-1 D.-9
6.将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是（ ）
A. B.1 C. D.2
7.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.0
二､多项选择题（本题共4小题，每题5分，少选得2分，共20分）
9.下列说法错误的是（ ）
A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D.平行于同一直线的两直线平行
10.下列各式正确的是（ ）
A.设，则
B.已知，则
C.若，则
D.
11.如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，它们的终边分别与单位圆相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.扇形的面积为
C.
D.当时，四边形的面积为
12.如图，正方体的棱长为为棱的中点，为棱上的点，且，则（ ）
A.当时，平面
B.当时，点到平面的距离为
C.当时，三棱锥外接球的表面积为
D.对任意，直线与直线都是异面直线
第二部分非选择题（共90分）
三､填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.已知幂函数满足，则__________.
14.已知，求数列__________.
15.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横坚各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用表示黄金分割点.若照片的横､坚比例为，设，则__________.
16.已知函数的定义域和值域均为的导数为，，则的取值范围是__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分）（解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点，
（1）当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心.
（2）当时，求直线的方程.
18.（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中并作答.
问题：在锐角中，角的对边分别为，且__________.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
19.（12分）设等差数列的公差为，且.令，记分别为数列的前项和.
（1）若，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求.
20.（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，.
（1）求证：；
（2）若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
21.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
（2）记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
22.（12分）设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，记过两点的直线的斜率为，若，证明：.
深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024届高三第三次月考
数学试卷参考答案
1-8ACAB DDBC
9.ABC 10.BCD 11.ACD 12.BCD
13.3 14. 15. 16.
17.（1）由已知，故，所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知过圆心.
（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，
设为中点，由勾股定理知，又因为，解得.
综上：直线的方程为或.
18.（1）若选①：，则，
，
.
若选②：，由正弦定理得，
，
，
.
若选③：
则，由正弦定理得，
，同②
（2）由正弦定理得，即，
则，
（或化简成）
，
的取值范围是.
19.（1），解得，
，又，
，即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，，即，即，解得或，
又，由等差数列性质知，，即，
即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
20.（1）平面平面，平面平面平面平面，又平面，故.
（2）在中，
平面平面，平面平面面
平面平面.
以为原点如图所示建立空间直角坐标系，，，设，其中，则，
取平面法向量，设与平面所成角为，，解得（舍）或，
则，
设平面的法向量为，解得
故.
21.（1）如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，设为椭圆上一点，由题意可知，
点的轨迹点为焦点，长轴的椭圆，
，则椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，将直线方程和椭圆方程联立，
消去得，其中，设，
则，
消去和可得，要使为定值，则，
，此时存在定点使得和之积为定值.
22.（1），令，.
①当时，，，在单调递增：
②当时，，的两根都小于0，在上大于0，
所以在单调递增；
③当时，由，解得，，
，，，在，上单调递增：
，，，在上单调递减.
综上所述：当时，在单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减.
（2）证明：由（1）知当时，有两个极值点，，且满足，.
，
.
令，则.
（i）要证，即证.令，则，
所以在上单调递增.又，所以，即，∴.
（ii）要证，即证.
令，，
记，则，，
则在有唯一实根，故在上单调递增，在单调递减，
又，所以当时，，
∴，即.
由（i）（ii），证得.