专题02整式与因式分解-备战2024年中考数学一轮复习考点

这是一份专题02整式与因式分解-备战2024年中考数学一轮复习考点，文件包含专题02整式与因式分解教师版-备战2024年中考数学一轮复习考点帮docx、专题02整式与因式分解学生版-备战2024年中考数学一轮复习考点帮docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．
3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解．
4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．
5．会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律．
考点1：代数式
定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
考点2：整式的相关概念

考点3：整式加减运算
1.实质：合并同类项
2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3. 去括号
（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c
考点4：幂运算
（1）幂的乘法运算
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）幂的乘方运算
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数)
（3）积的乘方运算
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数）
（4）幂的除法运算
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
考点5：整式乘法运算
（1）单项式乘单项式
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
（3）多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
（4）乘法公式
①平方差公式：
②完全平方公式：
（5）除法运算
①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
考点6：因式分解

【题型1：代数式及其求值】
【典例1】（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（ ）
A．24B．20C．18D．16
【答案】D
【解析】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，
∴a2﹣4a＝12，
∴2a2﹣8a﹣8
＝2（a2﹣4a）﹣8
＝2×12﹣8
＝24﹣8
＝16，
故选：D．
1．（2023•雅安）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（ ）
A．﹣1B．﹣5C．5D．﹣3
【答案】A
【解析】解：2m2+4m﹣3＝2（m2+2m﹣1）﹣1＝0﹣1＝﹣1．
故选：A．
2．（2023•常德）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（ ）
A．5B．1C．﹣1D．0
【答案】A
【解析】解：∵a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
∴2a2+6a﹣3
＝2（a2+3a）﹣3
＝2×4﹣3
＝5，
故选：A．
3．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ）
A．5B．7C．10D．﹣13
【答案】B
【解析】解：∵x2+3x﹣5＝0，
∴x2+3x＝5，
∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．
故选：B．
【题型2：整式的相关概念及加减】
【典例2】（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2bB．﹣2ab2C．abD．ab2c
【答案】B
【解析】解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，
故选：B．
1．（2021•河池）下列各式中，与2a2b为同类项的是（ ）
A．﹣2a2bB．﹣2abC．2ab2D．2a2
【答案】A
【解析】解：2a2b中含有两个字母：a、b，且a的指数是2，b的指数是1，观察选项，与2a2b是同类项的是﹣2a2b．
故选：A．
2．（2022•泰州）下列计算正确的是（ ）
A．3ab+2ab＝5abB．5y2﹣2y2＝3
C．7a+a＝7a2D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2
【答案】A
【解析】解：A、原式＝5ab，符合题意；
B、原式＝3y2，不符合题意；
C、原式＝8a，不符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意．
故选：A．
3．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 y2﹣xy+3 ．
【答案】y2﹣xy+3．
【解析】解：由题意得，这个多项式为：
（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）
＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8
＝y2﹣xy+3．
故答案为：y2﹣xy+3．
【题型3：幂运算】
【典例3】（2023•株洲）计算：（3a）2＝（ ）
A．5aB．3a2C．6a2D．9a2
【答案】D
【解析】解：∵（3a）2＝32×a2＝9a2，
故选：D．
1．（2023•丹东）下列运算正确的是（ ）
A．（3xy）2＝9x2y2B．（y3）2＝y5
C．x2•x2＝2x2D．x6÷x2＝x3
【答案】A
【解析】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此选项符合题意；
B．（y3）2＝y6，故此选项不合题意；
C．x2•x2＝x4，故此选项不合题意；
D．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（2023•陕西）计算：＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：原式＝﹣x6y3，
故选：C．
3．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（ ）
A．a12B．﹣a12C．a7D．﹣a7
【答案】D
【解析】解：a4•（﹣a）3＝﹣a7．
故选：D．
【题型4：整式的乘除及化简求值】
【典例4】（2023•盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
【解析】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）
＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2
＝2a2+6ab．
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×22+6×2×（﹣1）
＝8﹣12
＝﹣4．
1．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
【答案】4﹣6a，原式＝6．
【解析】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）
＝4+2
＝6．
2．（2023•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝．
【答案】x2﹣1，1．
【解析】解：原式＝x2+2x+1﹣2x﹣2
＝x2﹣1，
当x＝时，原式＝2﹣1＝1．
3．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【解析】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
【题型5：因式分解】
【典例5】（2023•北京）分解因式：x2y﹣y3＝ y（x+y）（x﹣y） ．
【解析】解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为：y（x+y）（x﹣y）．
1．（2023•盐城）因式分解：x2﹣xy＝ x（x﹣y） ．
【答案】x（x﹣y）
【解析】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．
故答案为：x（x﹣y）．
2．（2023•陕西）分解因式：3x2﹣12＝ 3（x﹣2）（x+2） ．
【答案】3（x+2）（x﹣2）．
【解析】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
3．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝ 2（x﹣1）2 ．
【答案】2（x﹣1）2
【解析】解：2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
1．单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，则m﹣n＝（ ）
A．﹣4B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】解：∵单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，
∴单项式mxy3与xn+2y3是同类项，
∴n+2＝1，m+1＝5，
解得n＝﹣1，m＝4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣1）＝5，
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2ab+3ab＝5abB．7y2﹣2y2＝5
C．4a+2a＝6a2D．3m2n﹣2mn2＝mn2
【答案】A
【解析】解：A．2ab+3ab＝5ab，故本选项符合题意；
B．7y2﹣2y2＝5y2，故本选项不符合题意；
C．4a+2a＝6a，故本选项不符合题意；
D．3m2n与﹣2mn2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．如图是由连续的奇数1，3，5，7，……排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（ ）
A．3x+1B．3x+2C．4x+1D．4x+2
【答案】B
【解析】解：设竖列中间的数为x，
则上面的数为：x﹣10，
下面的数为：x+10，
其右侧的数为：x+2，
则这四个数的和为：x﹣10+x+10+x+2＝3x+2，
故选：B．
4．某商品标价为m元，商店以标价7折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（ ）
A．0.3m元B．1.7m元C．7m元D．0.7m元
【答案】D
【解析】解：商店以标价7折的价格开展促销，售价为0.7m元；
故选：D．
5．如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（ ）
A．19个B．22个C．25个D．26个
【答案】A
【解析】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1，
第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1，
第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1，
…，
按此规律摆下去，
第n个图案有（3n+1）个三角形．
第6个图案有（3×6+1）＝19个三角形．
故选：A．
6．若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【答案】A
【解析】解：∵2x2+3x的值为5，
∴2x2+3x＝5，
∴原式＝2（2x2+3x）﹣9
＝2×5﹣9
＝10﹣9
＝1．
故选：A．
7．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a8B．a2•a3＝a6
C．（2ab2）3＝8a3b6D．
【答案】C
【解析】解：（a3）2＝a6，则A不符合题意；
a2•a3＝a5，则B不符合题意；
（2ab2）3＝8a3b6，则C符合题意；
3a2÷4a2＝，则D不符合题意；
故选：C．
8．多项式3x2﹣2x+5的各项分别是（ ）
A．3x2，﹣2x，5B．x2，x，5C．3x2，2x，5D．3，2，5
【答案】A
【解析】解：多项式3x2﹣2x+5的各项分别是3x2，﹣2x，5，
故选：A．
9．下列各整式中是三次单项式的是（ ）
A．5a3bB．32a2bC．﹣a2b3D．9a2+b3
【答案】B
【解析】解：5a3b的次数是3+1＝4，则A不符合题意；
32a2b的次数是2+1＝3，则B符合题意；
﹣a2b3的次数是2+3＝5，则C不符合题意；
9a2+b3不是多项式，则D不符合题意；
故选：B．
10．如果二次三项式x2+ax﹣2可分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．0
【答案】D
【解析】【详解】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴x2+ax﹣2＝x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴a＝b﹣2，﹣2＝﹣2b，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴a+b＝0，
故选：D．
11．将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（ ）
A．（x+y）2＝x2+2xy+y2B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy
【答案】D
【解析】解：根据图形可得：大正方形的面积为（x+y）2，阴影部分小正方形的面积为（x﹣y）2，一个小长方形的面积为xy，
则大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个小长方形的面积，
即（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
故选：D．
12．（﹣x3）2的运算结果是（ ）
A．﹣x5B．﹣x6C．x6D．x9
【答案】C
【解析】解：（﹣x3）2＝x6．
故选：C．
13．单项式﹣的系数和次数分别是（ ）
A．﹣，4B．﹣，5C．D．
【答案】C
【解析】解：单项式﹣的系数是﹣，次数是4，
故选：C．
14．若M和N都是三次多项式，则M+N一定是（ ）
A．次数低于三次的整式
B．六次多项式
C．三次多项式
D．次数不高于三次的整式
【答案】D
【解析】解：∵M和N都是三次多项式，
∴M+N一定是次数不高于三次的整式，
故选：D．
15．多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．10B．20C．±10D．±20
【答案】C
【解析】解：由于（x±5）2＝x2±10x+25
∴m＝±10
故选：C．
16．要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣6
【答案】D
【解析】解：2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2
＝2x2﹣14﹣6x+4x2+mx2
＝（6+m）x2﹣6x﹣14．
∵化简后不含x的二次项．
∴6+m＝0．
∴m＝﹣6．
故选：D．
17．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝2023．
【答案】a﹣4，2019．
【解析】解：原式＝a2﹣4+a﹣a2
＝a﹣4，
当a＝2023时，
原式＝2023﹣4
＝2019．
18．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）填空：S1﹣S2＝ 2m﹣1 （用含m的代数式表示）；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．
①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；
②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
【答案】（1）2m﹣1；
（2）①2m+7；
②S3与 2（S1+S2）的差是常数19．
【解析】解：（1）S1﹣S2
＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2）
＝（m2+m+7m+7）﹣（m2+2m+4m+8）
＝m2+m+7m+7﹣m2﹣2m﹣4m﹣8
＝2m﹣1，
故答案为：2m﹣1；
（2）①根据题意得：
4x＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2），
解得：x＝2m+7，
答：x的值为 2m+7；
②∵S1+S2
＝（m+7）（m+1）+（m+4）（m+2）
＝（m2+m+7m+7）+（m2+2m+4m+8）
＝m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8
＝2m2+14m+15，
∴S3﹣2（S1+S2）
＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15）
＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30
＝19，
答：S3与 2（S1+S2）的差是常数19．
1．已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（ ）
A．aB．bC．mD．n
【答案】D
【解析】解：由图和已知可知：AB＝a，EF＝b，AC＝n﹣b，GE＝n﹣a．
阴影部分的周长为：2（AB+AC）+2（GE+EF）
＝2（a+n﹣b）+2（n﹣a+b）
＝2a+2n﹣2b+2n﹣2a+2b
＝4n．
∴求图中阴影部分的周长之和，只需知道n一个量即可．
故选：D．
2．已知8m＝a，16n＝b，其中m，n为正整数，则23m+12n＝（ ）
A．ab2B．a+b2C．ab3D．a+b3
【答案】C
【解析】解：∵8＝23，16＝24，
∴（23）m＝23m＝a，（24）n＝24n＝b，
∴23m+12n＝23m×212n＝23m×（24n）3＝ab3，
故选：C．
3．比较344，433，522的大小正确的是（ ）
A．344＜433＜522B．522＜433＜344
C．522＜344＜433D．433＜344＜522
【答案】B
【解析】解：344＝（34）11＝8111；
433，＝（43）11＝6411；
522的＝（52）11＝2511；
∵2511＜6411＜8111，
∴522＜433＜344．
故选：B．
4．若（a+2b）•_____＝a2﹣4b2，则横线内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣2bB．a+2bC．a﹣2bD．2b﹣a
【答案】C
【解析】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），
∴括号内应填的代数式是a﹣2b．
故选：C．
5．同号两实数a，b满足a2+b2＝4﹣2ab，若a﹣b为整数，则ab的值为（ ）
A．1或B．1或C．2或D．2或
【答案】A
【解析】解：∵a2+b2＝4﹣2ab，
∴（a+b）2＝4，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4ab≥0，
∴ab≤1，
∵ab＞0，
∴0＜ab≤1．
∴0≤4﹣4ab＜4．
∵a﹣b为整数，
∴4﹣4ab为平方数．
∴4﹣4ab＝1或0，
解得ab＝或1；
故选：A．
6．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”设（a+b）n的展开式中各项系数的和为an，若21010＝x，则a1+a2+a3+…+a2020的值为（ ）
A．2x2B．2x2﹣2C．2020x﹣2D．2020x
【答案】B
【解析】解：观察所给数据可得，a1＝2，a2＝1+2+1＝4＝22，a3＝1+3+3+1＝8＝23，a4＝1+4+6+4+1＝16＝24，…，a2020＝22020，
∵21010＝x，
∴a2020＝22020＝x2，
∵a1+a2＝2+4＝6＝2（22﹣1），
a1+a2+a3＝2+4+8＝14＝2（23﹣1），
…，
∴a1+a2+a3+…+a2020
＝2（22020﹣1）
＝2（x2﹣1）
＝2x2﹣2．
故选：B．
7．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（ ）
A．135B．170C．209D．252
【答案】C
【解析】解：根据表格可得规律：
第n个表格中，
左上数字为n，
左下数字为n+1，
右上数字为2（n+1），
右下数字为2（n+1）（n+1）+n，
∴20＝2（n+1），
解得n＝9，
∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．
故选：C．
8．定义运算“★”：a★b＝，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是 t＞﹣ ．
【答案】t＞﹣．
【解析】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：
（1）当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾，
所以a≤b时不成立；
（2）当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3时，
所以a＞b时成立，
则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，
化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0，
解得：t＞﹣，
故答案为：t＞﹣．
9．计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ 7 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．
故答案为：7
10．如图，边长分别为a、b的两个正方形并排放在一起，当a+b＝8，ab＝10时，阴影部分的面积为 17 ．
【答案】17．
【解析】解：根据题意得：S阴影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]，
把a+b＝8，ab＝10代入得：S阴影部分＝17．
故图中阴影部分的面积为17．
故答案为：17．
11．因式分解：2x2﹣4x+2＝ 2（x﹣1）2 ．
【答案】2（x﹣1）2．
【解析】解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2
故答案为2（x﹣1）2．
12．已知xy＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：∵xy＝2，x+y＝3，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝2×3
＝6，
故答案为：6．
13．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】．
【解析】解：设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝9，
∴m+n＝9，
又∵S1+S2＝51，
∴m2+n2＝51，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴92＝51+2mn，
∴mn＝15，
∴S阴影部分＝mn＝，
即：阴影部分的面积为．
故答案为：．
14．若实数a，b满足a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b+5的值为 6 ．
【答案】6．
【解析】解：a2﹣b2﹣2b+5
＝（a+b）（a﹣b）﹣2b+5，
∵a﹣b＝1，
∴原式＝a+b﹣2b+5
＝a﹣b+5
＝1+5
＝6．
故答案为：6．
15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）．
请根据规律，写出（x+1）2022的展开式中含x2021项的系数是 2022 ．
【答案】2022．
【解析】解：∵（a+b）1展开式中的第二项系数为1，
（a+b）2展开式中的第二项系数为2，
（a+b）3展开式中的第二项系数为3，
（a+b）4展开式中的第二项系数为4，
∴（a+b）n展开式中的第二项系数为n，
由图中规律可知：
含x2021的项是（x+1）2022的展开式中的第二项，
∴（x+1）2022的展开式中的第二项系数为2022，
故答案为：2022．
16．观察下列一组数：
a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝ （用含n的式子表示）
【解析】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，
观察分子的，1＝×1×2，3＝×2×3，6＝×3×4，10＝×4×5，15＝×5×6，…，可知规律为，
∴an＝＝；
故答案为；
17．先化简，再求值：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1），其中a＝﹣1．
【解析】解：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）
＝4a2﹣1﹣4a2+4a
＝4a﹣1，
当a＝﹣1时，原式＝﹣4﹣1＝﹣5．
18．已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值．
【解析】解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，
∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，
由结果不含有x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0，
解得：m＝2，n＝﹣1，
则原式＝1﹣2＝﹣1．
19．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
【解析】解：（1）如图，
则（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5．
＝（2﹣1）5，
＝1．
20．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，求9x+10y+6．
【解析】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；
正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝92﹣26×2＝81﹣52＝29．
（3）长方形的面积＝2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．
所以长方形的边长为2a+3b和a+b，
所以较长的一边长为2a+3b．
（4）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（25a+7b）（2a+5b）＝50a2+14ab+125ab+35b2＝50a2+139ab+35b2，
∴x＝50，y＝35，z＝139．
∴9x+10y+6＝450+350+6＝806．
21．阅读理解：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：
（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
【答案】（1）﹣3；（2）．
【解析】解：（1）设a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，则：
a+b＝﹣2，a2+b2＝10．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴10+2ab＝（﹣2）2．
∴ab＝﹣3．
∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3．
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，
∴AE﹣AG＝1．
∵长方形AEFG的面积是，
∴AE•AG＝．
∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2，
∴AE2+AG2＝1+＝．
∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2，
∴（AE+AG）2＝，
∴AE+AG＝．
∴S阴影部分＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK
＝AE2﹣AG2
＝（AE+AG）（AE﹣AG）
＝×1
＝．
22．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于 m﹣n ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法一： （m﹣n）2 ；
方法二： （m+n）2﹣4mn ；
（3）根据（2）写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系及推理过程．
【答案】（1）m﹣n；
（2）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，推理过程见解答．
【解析】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝m﹣n，
故答案为：m﹣n；
（2）方法①（m﹣n）2；
方法②（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）这三个代数式之间的等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
由（2）得图②中阴影部分的面积为：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，
所以：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
因此这三个代数式之间的等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．
1．（2023•西藏）下列计算正确的是（ ）
A．2a2b﹣3a2b＝﹣a2bB．a3•a4＝a12
C．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】A
【解析】解：A、2a2b﹣3a2b＝﹣a2b，故此选项符合题意；
B、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意；
C、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故此选项不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：D．
3．（2022•永州）若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝ 6 ．
【答案】6．
【解析】解：∵3xmy与﹣2x6y是同类项，
∴m＝6．
故答案为：6．
4.（2020•黔西南州）若7axb2与﹣a3by的和为单项式，则yx＝ 8 ．
【答案】8
【解析】解：∵7axb2与﹣a3by的和为单项式，
∴7axb2与﹣a3by是同类项，
∴x＝3，y＝2，
∴yx＝23＝8．
故答案为：8．
5．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【答案】（x+3）（x﹣3）．
【解析】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
6．（2023•淄博）分解因式：2a2﹣8b2＝ 2（a﹣2b）（a+2b） ．
【答案】2（a+2b）（a﹣2b）
【解析】解：2a2﹣8b2，
＝2（a2﹣4b2），
＝2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．
7．（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 14 ．
【答案】14．
【解析】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
解法二：原式＝（2a+b）2+2（2a+b）﹣1＝32+2×3﹣1＝14，
故答案为：14．
8．（2023•长春）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中．
【答案】3a+1，+1．
【解析】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2
＝（a2﹣a2）+（2a+a）+1
＝3a+1．
当a＝时，3a+1＝3×+1＝+1．
9．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．
【答案】24．
【解析】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2
＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）
＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2
＝2a2﹣6ab，
当a＝﹣3，时，原式＝＝24．
10.（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．
表2
表3
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．
【答案】（1）S1＝a2+3a+2，S2＝5a+1，当a＝2时，S1+S2＝23；
（2）S1＞S2，理由见解析．
【解析】解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，
当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；
（2）S1＞S2，
理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
又∵a＞1，
∴（a﹣1）2＞0，
∴S1＞S2．