专题77电磁感应中的电路问题和动力学问题

这是一份专题77电磁感应中的电路问题和动力学问题，文件包含专题77电磁感应中的电路问题和动力学问题原卷版docx、专题77电磁感应中的电路问题和动力学问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

1．电磁感应中的电源与路端电压
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路产生感应电动势相当于电源．
(2)用右手定则或楞次定律判断感应电流的方向，在电源内部电流由负极流向正极，所以感应电流流出的一端为电源正极．
(3)电源两端的电压是路端电压．
2.电磁感应中的电路问题和动力学问题联系的桥梁是感应电流I
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10Ω的电阻。一阻值R＝10Ω的导体棒ab以速度v＝4m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法中正确的是（ ）
A．导体棒ab中电流的流向为由b到a B．cd两端的电压为1V
C．de两端的电压为1V D．fe两端的电压为3V
【答案】B
【解析】A．由右手定则可知ab中电流方向为a→b，故A错误；
BCD．导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势 E=Blv
ab为电源，cd间电阻R为外电路负载，de和cf间电阻中无电流，de、cf间无电压，因此cd和fe两端电压相等，即 U=E2R⋅R=BLv2=1V
故B正确，CD错误。
故选B。
2．（2022·重庆·模拟预测）如图所示，分布于全空间的匀强磁场垂直于纸面向里，其磁感应强度大小为B=2T。宽度为L=0.8m的两导轨间接一阻值为R=0.2Ω电阻，电阻为2R的金属棒AC长为2L并垂直于导轨（导轨电阻不计）放置，A端刚好位于导轨，中点D与另一导轨接触。当金属棒以速度v=0.5m/s向左匀速运动时，下列说法正确的是（ ）
A．流过电阻R的电流为2AB．A、D两点的电势差为UAD=0.4V
C．A、C两点的电势差为UAC=−1.6VD．A、C两点的电势差为UAC=−1.2V
【答案】AD
【详解】AB．金属棒AD段产生的感应电动势为 EAD=BLv=2×0.8×0.5=0.8V
流过电阻R的电流 I=ER+R=
根据右手定则，可知，A 端的电势低于D端的电势，A、D两点的电势差 UAD=−IR=−0.4V
B错误A正确；
CD．D、C两点的电势差 UDC=−BLv=−0.8V
则 UAC=UAD+UDC=−1.2V C错误D正确。
故选AD。
3．如图所示，电阻均匀分布的金属正方形线框的边长为L，正方形线框的一半放在垂直于线框平面向里的匀强磁场中，其中A、B为上下两边的中点．在磁场以变化率k均匀减弱的过程中（ ）
A．线框产生的感应电动势大小为kL2 B．AB两点之间的电势差大小为kL22
C．AB两点之间的电势差大小为kL24 D．线框中的感应电流方向沿ADBCA
【答案】C
【解析】A：由法拉第电磁感应定律得：E=ΔBΔtS=k⋅12L2=12kL2．故A项错误．
BC：设整个电路的电阻为R，则AB两点之间的电势差大小U=ER⋅12R=14kL2．故B项错误，C项正确．
D：磁场以变化率k均匀减弱，据楞次定律，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，则感应电流方向沿顺时针，沿ACBDA．故D项错误．
【点睛】运用法拉第电磁感应定律时要注意S是有效面积，不是线圈的总面积．要注意AB间的电压是电源的外电压，即右侧线圈的电压，不是内电压．
4．(多选) 如图甲所示，等边三角形金属框ACD的边长均为L，单位长度的电阻为r，E为CD边的中点，三角形ADE所在区域内有磁感应强度垂直纸面向外，大小随时间变化的匀强磁场，图乙是匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的图像。下列说法正确的是（ ）
A．0~5t0时间内的感应电动势小于5t0∼8t0时间内的感应电动势
B．6t0时刻，金属框内感应电流方向为A→D→C→A
C．0~5t0时间内，E、A两点的电势差为3B0L240t0
D．4t0时刻，金属框受到的安培力大小为B02L2100rt0
【答案】AD
【解析】A．0∼5t0时间内磁感应强度的变化率小于5t0∼8t0时间内磁感应强度的变化率，而金属框中磁感线穿过的有效面积不变，所以0∼5t0时间内磁通量的变化率小于5t0∼8t0时间内磁通量的变化率，根据法拉第电磁感应定律可知0∼5t0时间内的感应电动势小于5t0∼8t0时间内的感应电动势，故A正确；
B．6t0时刻，金属框中磁通量垂直纸面向外减小，根据楞次定律可知此时金属框内感应电流方向为A→C→D→A，故B错误；
C．0~5t0时间内，金属框中感应电动势大小为 E=ΔΦΔt=SΔBΔt=3B0L240t0
根据楞次定律可知这段时间内感应电流沿顺时针方向，所以E点电势高于A点电势，又因为ACE段与ADE段长度相等，则电阻相等，所以E、A两点的电势差为 UEA=E2=3B0L280t0 故C错误；
D．4t0时刻，磁场的磁感应强度大小为 B=45B0
此时金属框中感应电流大小为 I=E3rL=3B0L120t0r
根据几何关系可知线框受到安培力的等效长度为 l=32L
所以此时金属框受到的安培力大小为 F=BIl=B02L2100rt0 故D正确。
故选AD。
5.如图所示，线圈匝数为n，横截面积为S，线圈总电阻为r，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为k，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为C，两个电阻的阻值分别为r和2r.下列说法正确的是( )
A．电容器所带电荷量为eq \f(2nSkC,5) B．电容器所带电荷量为eq \f(3nSkC,5)
C．电容器下极板带正电 D．电容器上极板带正电
【答案】D
【解析】闭合线圈与阻值为r的电阻形成闭合回路，线圈相当于电源，电容器两极板间的电压等于路端电压；线圈产生的感应电动势为E＝nSeq \f(ΔB,Δt)＝nSk，路端电压U＝eq \f(E,2)＝eq \f(nSk,2)，电容器所带电荷量为Q＝CU＝eq \f(nSkC,2)，选项A、B错误；根据楞次定律，感应电流从线圈的右端流到左端，线圈的左端电势高，电容器上极板带正电，故D正确。
6.如图所示，竖直平面内有一金属环，其半径为a，总电阻为2r(指拉直时两端的电阻)，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为r的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则此时AB两端的电压大小为( )
A.eq \f(1,3)Bav B.eq \f(1,6)Bav C.eq \f(2,3)Bav D．Bav
【答案】A
【解析】转动导体棒到竖直位置时切割磁感线产生的感应电动势E＝B·2a·eq \x\t(v)，而eq \x\t(v)＝eq \f(vA＋vB,2)，得E＝B·2a·eq \f(0＋v,2)＝Bav.外电路的总电阻R＝eq \f(r·r,r＋r)＝eq \f(r,2)，根据闭合电路欧姆定律I＝eq \f(E,R＋r)，得总电流I＝eq \f(2Bav,3r).AB两端的电压大小U＝IR＝eq \f(2Bav,3r)·eq \f(r,2)＝eq \f(1,3)Bav. A正确
7．（2021·全国）(多选)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
A．甲和乙都加速运动 B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动
【答案】AB
【解析】 设线圈到磁场的高度为h，线圈的边长为l，则线圈下边刚进入磁场时，有
感应电动势为
两线圈材料相等（设密度为），质量相同（设为），则
设材料的电阻率为，则线圈电阻
感应电流为
安培力为
由牛顿第二定律有
联立解得
加速度和线圈的匝数、横截面积无关，则甲和乙进入磁场时，具有相同的加速度。当时，甲和乙都加速运动，当时，甲和乙都减速运动，当时都匀速。
故选AB。
8．(多选)如图所示，竖直平面内有一相距l的两根足够长的金属导轨位于磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的均匀金属导体棒ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，且导体棒ab与金属导轨接触良好，ab电阻为R，其它电阻不计。导体棒ab由静止开始下落，过一段时间后闭合电键S，发现导体棒ab仍作变速运动，则在闭合电键S以后，下列说法中正确的有（ ）
A．导体棒ab变速运动过程中加速度一定减小
B．导体棒ab变速运动过程中加速度一定增大
C．导体棒ab最后作匀速运动时，速度大小为v=mgRB2l2
D．若将导轨间的距离减为原来的12，则导体棒ab作匀速运动时的速度大小为v=4mgRB2l2
【答案】AC
【解析】AB．若导体棒加速，重力大于安培力，根据牛顿第二定律，有 mg−B2L2vR=ma
速度不断加大，故加速度不断减小；若棒减速，重力小于安培力，根据牛顿第二定律，
有 B2L2vR−mg=ma
速度不断减小，加速度也不断减小。故A正确，B错误；
C．由于导体棒的加速度不断减小，最后加速度减至零时变为匀速运动，根据平衡条件，重力和安培力平衡，有 B2L2vR−mg=0
解得 v=mgRB2l2 故C确；
D．若将导轨间的距离减为原来的12，根据平衡条件，重力和安培力平衡，有 B2(L2)2vR2−mg=0
解得v=2mgRB2l2 故D错误。
故选AC。
9．(多选)如图所示，ACD，EFG为两根相距L的足够长的金属直角导轨，它们被竖直固定在绝缘水平面上，CDGF面与水平面成θ角．两导轨所在空间存在垂直于CDGF平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B.两根质量均为m，长度均为L的金属细杆ab，cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，两金属细杆的电阻均为R，导轨电阻不计．当ab以速度v1沿导轨向下匀速运动时，cd杆也正好以速度v2向下匀速运动．重力加速度为g.以下说法正确的是( )
A．回路中的电流强度为BLv1+v22R B．ab杆所受摩擦力为mgsinθ
C．cd杆所受摩擦力为μ(mgsinθ＋B2L2v12R) D．μ与v1大小的关系为μ(mgsinθ＋B2L2v12R)＝mgcsθ
【答案】CD
【解析】A项：ab杆产生的感应电动势E＝BLv1；回路中感应电流为I=E2R=BLv12R ，故A错误；
B项：ab杆匀速下滑，F安=BIL=B2L2v12R，方向沿轨道向上，则由平衡条件得：ab杆所受的摩擦力大小为Ff=mgsinθ−F安=mgsinθ−B2L2v12R，故B错误；
C项：cd杆所受的安培力大小也等于F安，方向垂直于导轨向下，则cd杆所受摩擦力为：f=μN=μ(mgsinθ+B2L2v12R)，故C正确；
D项：根据cd杆受力平衡得：μ(mgsinθ+B2L2v12R)=mgcsθ，故D正确．
点晴：对于双杆问题，可采用隔离法分析，其分析方法与单杆相同，关键分析和计算安培力，再由平衡条件列方程解答．
10．（2023·全国·高三专题练习）(多选)如图所示，间距L=1m、足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，其左端接一阻值R=1Ω的定值电阻。直线MN垂直于导轨，在其左侧面积S=0.5m2的圆形区域内存在垂直于导轨所在平面向里的磁场，磁感应强度B随时间的变化关系为B=6tT，在其右侧（含边界MN）存在磁感应强度大小B0=1T、方向垂直导轨所在平面向外的匀强磁场。t=0时，某金属棒从MN处以v0=8ms的初速度开始水平向右运动，已知金属棒质量m=1kg，与导轨之间的动摩擦因数μ=0.2，导轨、金属棒电阻不计且金属棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度g=10ms2，下列说法正确的是（ ）
A．t=0时，闭合回路中有大小为5A的顺时针方向的电流
B．闭合回路中一直存在顺时针方向的电流
C．金属棒在运动过程中受到的安培力方向先向左再向右
D．金属棒最终将以1m/s的速度匀速运动
【答案】ACD
【解析】A．t=0时，金属棒切割磁感线产生的感应电动势为 E1=B0Lv0=8V
MN左侧变化的磁场使回路产生的电动势为 E2=ΔBΔtS=3V
由楞次定律和右手定则知两电动势反向，由于E1>E2，可知金属棒中的电流方向由M→N，闭合回路中有顺时针方向的电流 I=E1−E2R=5A 选项A正确；
BCD．金属棒受到向左的安培力和摩擦力，向右减速，当 B0Lv1=E2
时，电流为零，但金属棒仍受到向左的摩擦力，继续减速，此后当 B0Lv这时闭合回路中有逆时针方向的电流，金属棒受到向右的安培力和向左的摩擦力，摩擦力大于安培力，金属棒继续减速，直到安培力等于摩擦力，即 BIL=μmg
时金属棒开始匀速运动，则 B0E2−B0LvRL=μmg
解得 v=1ms 选项B错误，CD正确。
故选ACD。
11．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，两根间距为0.5m的平行固定金属导轨处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中，导轨平面与水平面成θ=30°角，导轨下端连接阻值为2Ω的定值电阻。将一质量为0.2kg的金属棒从两导轨上足够高处由静止释放，则当金属棒下滑至速度最大时，电阻R消耗的电功率为2W，已知金属棒始终与导轨垂直并接触良好，它们之间的动摩擦因数为36，取重力加速度大小g=10m/s2，电路中其余电阻忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒中的电流方向为由b到aB．金属棒速度最大时受到的安培力大小为1.5N
C．金属棒的最大速度为4m/sD．匀强磁场的磁感应强度的大小为0.4T
【答案】C
【解析】A．由右手定则可得，金属棒中的电流方向为由a到b，故A错误；
B．当金属棒速度最大时受力平衡，有 mgsinθ=μmgcsθ+F安
得 F安=0.5N 故B错误；
C．金属棒克服安培力做功的功率等于电路中的电阻R产生的热功率，即 P=F安v
得金属棒速度的大小 v=4m/s 故C正确；
D．安培力F安=BIL，由闭合电路欧姆定律得 E=BLv=IR
得 B=F安RL2v=1.0T 故D错误。
故选C。
12.(多选)如图所示，质量为m＝0.04 kg、边长l＝0.4 m的正方形导体线框abcd放置在一光滑绝缘斜面上，线框用一平行斜面的细线系于O点，斜面倾角为θ＝30°。线框的一半处于磁场中，磁场的磁感应强度随时间变化关系为B＝2＋0.5t(T)，方向垂直于斜面，已知线框电阻为R＝0.5 Ω，重力加速度为g＝10 m/s2。则( )
A．线框中的感应电流方向为abcda
B．t＝0时，细线拉力大小F＝0.2 N
C．线框中感应电流大小为I＝80 mA
D．经过一段时间t，线框可能沿斜面向上运动
【答案】CD
【解析】 易错提醒：线框的一半处于磁场中，只有一半线圈产生感应电动势，也只有bc边受到安培力。
由于磁场的磁感应强度随时间变化关系为B＝2＋0.5t(T)，即磁场增加，根据楞次定律可得感应电流方向为adcba，A错误；根据法拉第电磁感应定律可得E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(ΔB,Δt)S＝0.5×0.4×0.2 V＝0.04 V，则感应电流的大小为I＝eq \f(E,R)＝eq \f(0.04,0.5) A＝0.08 A＝80 mA；t＝0时刻，磁感应强度为B＝2 T，根据共点力的平衡条件可得F＋BIL＝mgsin θ，解得F＝mgsin θ－BIL＝(0.4sin 30°－2×0.08×0.4)N＝0.136 N，所以B错误，C正确；随着时间增大，磁感应强度逐渐增大，当安培力(方向沿斜面向上)大于重力沿斜面向下的分力时，线框沿斜面向上运动，D正确。
13．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）(多选)如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ=30°固定，导轨间距离为l=1m，电阻不计。一个阻值为R0的定值电阻与电阻箱R并连接在两金属导轨的上端，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B=1T。现将一质量为m、电阻可以忽略的金属棒MN从图示位置由静止开始释放。金属棒下滑过程中与导轨接触良好。改变电阻箱的阻值R，测定金属棒的最大速度vm，得到的1vm−1R系如图乙所示。取g=10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的质量m=0.2kg
B．定值电阻R0=2Ω
C．当电阻箱R取2Ω，且金属棒的加速度为g4时，金属棒的速度v=1m/s
D．若磁场磁感应强度大小不变，方向变为竖直向上，电阻箱R取2Ω，则导体棒匀速时的速度为43m/s
【答案】ABD
【解析】AB．金属棒以最大速度vm下滑时，根据法拉第电磁感应定律，有 E=Blvm
由闭合电路欧姆定律，有 E=IRR0R+R0
根据平衡条件，有 BIl=mgsinθ
由以上各式整理可得 1vm=B2l2mgsinθ⋅1R+B2l2mgsinθ⋅1R0
根据1vm−1R图像可知 B2l2mgsinθ⋅1R0=0.5m−1⋅s，B2l2mgsinθ=1m−1⋅s⋅Ω
可得 m=0.2kg，R0=2Ω AB正确；
C．设此时金属棒下滑速度为v，有 mgsinθ−B⋅BlvRR0R+R0l=m⋅14g
可得 v=0.5m/s C错误；
D．设导体棒匀速时的速度为v2，则有 Bcsθ⋅B⋅csθlv2RR0R+Rl=mgsinθ
解得 v2=43m/s D正确。
故选ABD。
14．（2021·山东）(多选)如图所示，电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上。区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场。阻值恒定的金属棒从无磁场区域中a处由静止释放，进入Ⅱ区后，经b下行至c处反向上行。运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好。在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是（ ）
A．金属棒下行过b时的速度大于上行过b时的速度
B．金属棒下行过b时的加速度大于上行过b时的加速度
C．金属棒不能回到无磁场区
D．金属棒能回到无磁场区，但不能回到a处
【答案】ABD
【解析】 AB．在I区域中，磁感应强度为，感应电动势
感应电动势恒定，所以导体棒上的感应电流恒为
导体棒进入Ⅱ区域后，导体切割磁感线，产生一个感应电动势，因为导体棒到达点后又能上行，说明加速度始终沿斜面向上，下行和上行经过点的受力分析如图
设下行、上行过b时导体棒的速度分别为，，则下行过b时导体棒切割磁感线产生的感应电流为
下行过b时导体棒上的电流为
下行过b时，根据牛顿第二定律可知
上行过b时，切割磁感线的产出的感应电动势为
上行过b时导体棒上的电流为
根据牛顿第二定律可知
比较加速度大小可知
由于段距离不变，下行过程中加速度大，上行过程中加速度小，所以金属板下行过经过点时的速度大于上行经过点时的速度，AB正确；
CD．导体棒上行时，加速度与速度同向，则导体棒做加速度减小的加速度运动，则一定能回到无磁场区。由AB分析可得，导体棒进磁场Ⅱ区（下行进磁场）的速度大于出磁场Ⅱ区（下行进磁场）的速度，导体棒在无磁场区做加速度相同的减速运动
则金属棒不能回到处，C错误，D正确。
故选ABD。
15．（2022·四川·成都七中高三阶段练习）(多选)如图所示，正方形金属线圈abcd边长为L，电阻为R。现将线圈平放在粗糙水平传送带上，ab边与传送带边缘QN平行，随传送带以速度v匀速运动，匀强磁场的边界PQNM是平行四边形，磁场方向垂直于传送带向上，磁感应强度大小为B，PQ与QN夹角为45°，PM长为2L，PQ足够长，线圈始终相对于传送带静止，在线圈穿过磁场区域的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．线圈感应电流的方向先是沿adcba后沿abcda B．线圈受到的静摩擦力先增大后减小
C．线圈始终受到垂直于ad向右的静摩擦力 D．线圈受到摩擦力的最大值为B2L2vR
【答案】BCD
【解析】A．在线圈穿过磁场区域的过程中，线圈中的磁通量先增大后减小，据楞次定律知，线圈感应电流的方向先是沿adcba后沿abcda，故A项正确，不符合题意；
C．线圈的一小部分进入磁场区域时（a点未进入磁场），线圈感应电流的方向沿adcba，bc边所受安培力方向向左，ab边所受安培力方向向里，线圈受到的摩擦力方向不是向右，故C项错误，符合题意；
B．线圈进入磁场区域的过程中，切割磁感线的有效长度先增大后减小，线圈中的电动势（电流）先增大后减小，线圈受到的安培力先增大后减小，线圈受到的静摩擦力先增大后减小；线圈穿出磁场区域的过程中，切割磁感线的有效长度先增大后减小，线圈中的电动势（电流）先增大后减小，线圈受到的安培力先增大后减小，线圈受到的静摩擦力先增大后减小；故B项错误，符合题意；
D．当线圈的有效切割长度为L时，线圈受到的安培力最大，线圈受到的静摩擦力最大，摩擦力的最大值为
fm=2BImL=2BBLvRL=2B2L2vR
故D项错误，符合题意。
本题选错误的，故选BCD。
16．如图所示，两根竖直固定的足够长的金属导轨ab和cd相距L=0.2m，另外两根水平金属杆MN和PQ，PQ杆固定放置在水平绝缘平台上，MN的质量为m=10g，可沿导轨无摩擦地滑动，MN杆和PQ杆的电阻均为R=0.2Ω（竖直金属导轨电阻不计），整个装置处于垂直导轨平面向里的匀强磁场中，现在让MN杆在竖直向上的恒定拉力F=0.2N的作用下由静止开始向上运动，MN杆和PQ杆与金属导轨始终接触良好，磁感应强度B=1.0T，杆MN的最大速度为多少？（g取10m/s2）
【答案】1m/s
【解析】MN杆切割磁感线产生的电动势为 E1=BLv
由闭合电路欧姆定律得 I1=E12R
MN杆所受安培力大小为 F安=BI1L
对MN杆应用牛顿第二定律得 F−mg−F安=ma
当MN杆速度最大时，MN杆的加速度为零，联立解得MN杆的最大速度为 vm=1m/s
17．如图，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为1，左侧接一阻值为R的电阻．区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s．一质量为m，电阻为r的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到F=0．5v+0．4N（v为金属棒运动速度）的水平力作用，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大．（已知l=1m，m=1kg，R=0.3Ω，r=0.2Ω，s=1m）
（1）分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动；
（2）求磁感应强度B的大小；
（3）若撤去外力后棒的速度v随位移x的变化规律满足v=v0−B2l2mR+rx，且棒在运动到ef处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？
【答案】（1）金属棒做匀加速运动，R两端电压．U随时间均匀增大，即v随时间均均增大，加速度为恒量 （2）0.5T （3）1s
【解析】（1）测得电阻两端电压随时间均匀增大，R两端电压U∝I，感应电动势E∝I，E∝v，U随时间均匀增大，即v随时间均匀增大，加速度为恒量，所以金属棒做匀加速运动．
（2）对金属棒受力分析，由牛顿第二定律得：F-B2l2vR+r=ma，将F=0.5v+0.4
代入得0.5v-B2l2vR+r+0.4=ma，
因为a与v无关，所以a=0.4m/s2，（0.5-B2l2R+r）=0，得B=0.5T．
（3）撤去外力前，x1=12at2，v0=B2l2m(R+r)x2=at，x1+x2=s，所以 12at2+mR+rB2l2at=s，
得：0.2t2+0.8t-1=0，
解得t=1s．
【点睛】此题中涉及到的几个物理量之间的牵连关系，要会根据物理规律进行严密的推论，通过对物体过程的分析和对物体的受力分析，运用牛顿第二定律结合运动学公式解决问题．
18．（2022·广东·模拟预测）如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN。导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=5Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感强度为B=1T。将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计。现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd距离NQ为s=1m。试解答以下问题：（g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8）
（1）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流多大？
（2）金属棒达到的稳定速度是多大？
（3）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则t=1s时磁感应强度应为多大？
【答案】（1）I=0.2A；（2）2m/s；（3）0.25T
【解析】（1）达到稳定速度前，金属棒加速度逐渐减小，速度逐渐增大。 达到稳定速度时，
有 mgsinθ=F安+μmgcsθ F安=BIL
则 I=mgsinθ−μmgcsθBL
解得 I=0.2A
（2）根据 E=BLv E=IR
得 v=IRBL=2m/s
（3）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流。此时金属棒将沿导轨做匀加速运动。
mgsinθ-μmgcsθ=ma
所以 a=g（sinθ-μcsθ)=10×（0.6-0.5×0.8）m/s2=2m/s2.
设t时刻磁感应强度为B'，则 BLs=B'L(s+vt+12at2)
故t=1s时，解得磁感应强度 B'=0.25T
19．（2022·新疆·博乐市高级中学（华中师大一附中博乐分校）模拟预测）如图甲所示，匝数为n、总电阻为r、横截面积为S的竖直螺线管与两足够长的固定平行光滑导轨相连，导轨间距为L，倾角为θ。导轨间有磁感应强度大小为B0、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。长为L、电阻为6r的导体棒放在导轨上，始终与导轨垂直且接触良好。螺线管内有竖直方向分布均匀的变化磁场（图中未画出），磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。滑动变阻器R的最大电阻为6r，重力加速度大小为g，不计导轨的电阻，忽略螺线管磁场对导体棒的影响。闭合开关S，将滑动变阻器的滑片移至最下端，导体棒处于静止状态。
（1）求导体棒的质量m；
（2）用外力固定导体棒，缓慢向上移动滑动变阻器的滑片，求螺线管的最大输出功率Pm以及此时滑动变阻器接入电路的电阻R0；
（3）断开开关S，撤去外力，请通过计算判断导体棒沿导轨上滑还是下滑，并求导体棒在导轨上滑动的最大速度vm。
【答案】（1） m=nLSB028grt0sinθ°；（2） Pm=n2B02S24rt02，R0=65r0；（3）上滑，vm=nS8Lt0
【解析】（1）根据题图乙可知 ΔBΔt=B0t0
根据法拉第电磁感应定律可知，螺线管产生的感应电动势 E1=n⋅ΔBΔt⋅S
回路的总电阻 R总=r+6r2=4r
根据闭合电路的欧姆定律可得，通过螺线管的电流 I=E1R总
通过导体棒的电流 I1=I2
对导体棒，根据物体的平衡条件有 mgsinθ=B0I1L
解得 m=nLSB028grt0sinθ°
设滑动变阻器接入电路的电阻与导体棒并联的总电阻为R1，
螺线管的输出功率 P=E1R1+r2R1=E12R1+2r+r2R1
由于 R1⋅r2R1=r2
为定值，因此当R1=r2R1，即R1=r时P有最大值
由（1）可得 E1=nB0St0
解得 Pm=n2B02S24rt02
又 R1=6rR06r+R0
解得 R0=65r0
（3）解法一：刚撤去外力时，通过螺线管的电流 I0=E1r+6r
此时导体棒所受安培力的大小 F0=B0I0L
易得 F0>mgsinθ
故撤去外力后，导体棒沿导轨上滑
当导体棒的速度最大时，导体棒切割磁感线产生的感应电动势 E2=B0Lvm
此时回路中的总感应电动势 E=E1−E2
此时通过螺线管的电流 I2=Er+6r
对导体棒，根据物体的平衡条件有 mgsinθ=B0I2L
解得 vm=nS8Lt0
解法二：假设撤去外力后，导体棒沿导轨下滑，当导体棒的速度最大时，导体棒切割磁感线产生的感应电动势 E2=B0Lvm
此时回路中的总感应电动势 E=E1+E2
此时通过螺线管的电流 I2=Er+6r
对导体棒，根据物体的平衡条件有 mgsinθ=B0I2L
解得 vm=−nS8Lt0
vm为负值，说明撤去外力后，导体棒沿导轨上滑 最大速度 vm=nS8Lt0
解法三：假设撤去外力后，导体棒沿导轨上滑，当导体棒的速度最大时，导体棒切割磁感线产生的感应电动势 E2=B0Lvm
此时回路中的总感应电动势 E=E1−E2
此时通过螺线管的电流 I2=Er+6r
对导体棒，根据物体的平衡条件有 mgsinθ=B0I2L 解得 vm=nS8Lt0
vm为正值，说明假设成立，撤去外力后，导体棒沿导轨上滑。
最大速度 vm=nS8Lt0
20．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校二模）如图所示，两块很大的平行导体板MN、PQ产生竖直向上的匀强电场，两平行导体板与一半径为r的单匝线圈连接，在线圈内有一方向垂直线圈平面向里，磁感应强度变化率为ΔB1Δt的匀强磁场在两导体板之间还存在有理想边界的匀强磁场，匀强磁场分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，其边界为MN、ST、PQ，磁感应强度大小均为B2，方向如图所示，Ⅰ区域高度为，Ⅱ区域的高度为。一个质量为m、电量为q的带正电的小球从MN板上方的O点由静止开始下落，穿过MN板的小孔进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，Ⅱ区域的高度足够大，带电小球在运动中不会与PQ板相碰，重力加速度为g。
（1）求线圈内匀强磁场的磁感应强度变化率；
（2）若带电小球运动后恰能回到O点，求带电小球释放时距MN的高度h。
【答案】（1）ΔB1Δt=mg(d1+d2)qπr2；（2）ℎ=2d12q2B223gm2
【解析】（1）带电小球进入复合场后恰能做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，
有 qE=mg qE=qUd1+d2 U=ΔB1Δtπr2
联立解得 ΔB1Δt=mg(d1+d2)qπr2
（2）只有小球从进入磁场的位置离开磁场，做竖直上抛运动，才能恰好回到O点，运动轨迹如图，由于两个磁场区的磁感应强度大小都相等，所以半径都为R，由图可知△O1O2O3是等边三角形。
根据动能定理有 mgℎ=12mv2
根据洛伦兹力提供向心力有 qvB2=mv2R
根据几何关系有 R=233d1
联立解得 ℎ=2d12q2B223gm2
21．（2022·上海师大附中高三学业考试）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ电阻不计，其间距为L，两导轨所构成平面与水平面成θ角。两根用长为d的细线连接的金属杆ab、cd分别垂直导轨放置，沿斜面向上的外力F作用在杆ab上，使两杆静止。已知两金属杆ab、cd的质量分别为m和2m，两金属杆的电阻都为R，并且和导轨始终保持良好接触，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。某时刻将细线烧断，保持杆ab静止不动。
（1）分析并说明cd在整个运动过程中速度、加速度的变化情况；并求出其达到的最大速度vm；
（2）当cd杆速度v = 12vm时，求作用在ab杆上的外力F；
（3）若将细绳烧断时记为t = 0，从此时刻起使磁场随时间变化，使abcd回路中无感应电流产生，求磁感应强度B随时间t变化关系（写出B与t的关系式）。
【答案】（1）vm=4mgRsinθB2L2；（2）F=2mgsinθ；（3）B=Bd(d+x)=2Bd2d+gsinθt2
【解析】（1）cd杆沿斜面下滑过程中受到重力2mg，垂直于导轨的弹力N以及沿导轨向上的安培力F。当杆下滑速度为v时，回路中的感应电动势 E = BLv
流过cd杆的电流 I = BLv2R
因此安培力 F = BIL = B2L2v2R
由牛顿第二定律得 2mgsinθ-B2L2v2R=2ma
cd杆静止释放后，沿导轨做加速运动，由上式可知，当速度v增大，加速度a减小。故做加速度逐渐减小的加速运动。当安培力与其重力沿斜面的分力相等时，cd杆下滑达到最大速度vm，故最后以vm的速度做匀速运动。即 2mgsinθ=B2L2vm2R
因此 vm=4mgRsinθB2L2
（2）cd杆速度v = 12vm时，回路中感应电流为 I=12BLvm2R=BLvm4R
ab杆保持静止，有平衡条件可知 F = mgsinθ + BIL
因此 F=mgsinθ+B2L2vm4R=2mgsinθ
（3）abcd回路中无感应电流产生，cd杆只受重力和弹力，沿斜面做匀加速下滑，加速度 a = gsinθ
经过时间t下滑距离为 x=12at2=12gsinθt2
abcd回路中无感应电流产生，即回路中磁通量没有变化，所以φ0=φt，即 BLd = BtL(d + x)
得 B=Bd(d+x)=2Bd2d+gsinθt2
22．（2021·全国）如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的U型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】 根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，
由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，
可有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为
则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端EF刚好进入线框，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为 ，
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得 ，，，
金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，
则有
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有
导体框匀速运动的距离为
代入数据解得
23．（2022·辽宁·模拟预测）如图所示，倾角为θ=37°的足够长的平行导轨顶端bc间、底端ad间分别连一电阻，其阻值为R1＝R2＝2r，两导轨间距为L=1m．在导轨与两个电阻构成的回路中有垂直于轨道平面向下的磁场，其磁感应强度为B1=1T．在导轨上横放一质量m=1kg、电阻为r=1Ω、长度也为L的导体棒ef，导体棒与导轨始终良好接触，导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5．在平行导轨的顶端通过导线连接一面积为S＝0.5m2、总电阻为r、匝数N=100的线圈(线圈中轴线沿竖直方向)，在线圈内加上沿竖直方向,且均匀变化的磁场B2(图中未画),连接线圈电路上的开关K处于断开状态，g=10m/s2,不计导轨电阻．求：
(1)从静止释放导体棒,导体棒能达到的最大速度是多少？
(2)导体棒从静止释放到稳定运行之后的一段时间内,电阻R1上产生的焦耳热为Q=0.5J,那么导体下滑的距离是多少？
(3)现闭合开关K，为使导体棒静止于倾斜导轨上，那么在线圈中所加磁场的磁感应强度的方向及变化率ΔB2Δt大小的取值范围？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
【答案】⑴4m/s⑵d=5m⑶0.12T/s≤ΔB2Δt≤0.60T/s
【解析】⑴对导体棒,由牛顿第二定律有
mgsinθ−μmgcsθ−BIL=ma ①
其中I=ER总=BLvr+2r2=BLv2r ②
由①②知,随着导体棒的速度增大,加速度减小,当加速度减至0时,导体棒的速度达最大vm，有vm=2mgr(sinθ−μcsθ)B2L2=4m/s ③
⑵导体棒从静止释放到稳定运行之后的一段时间内,由动能定理有
mgsinθ⋅d−μmgcsθ⋅d−W克安＝12mvm2 ④
根据功能关系有W克安＝E电＝Q总 ⑤
根据并联电路特点得Q总＝4Q ⑥
由③④⑤⑥联立得d=5m ⑦
⑶开关闭合后，导体棒ef受到的安培力F'=B1IefL ⑧
干路电流I'=E'R总＝1R总⋅NΔϕΔt=NSR总⋅ΔB2Δt ⑨
电路的总电阻R总＝r+11r+12r+12r=32r ⑩
根据电路规律及⑨⑩得Ief=ΔB2Δt⋅NS3r ⑪
由⑧⑪联立得ΔB2Δt=F'⋅3rNB1LS ⑫
当安培力较大时F'max=mgsinθ+μmgcsθ=10N ⑬
由⑫⑬得(ΔB2Δt)max=0.6T/s ⑭
当安培力较小时F'min=mgsinθ−μmgcsθ=2N ⑮
由⑫⑮得(ΔB2Δt)min=0.12T/s ⑯
故为使导体棒静止于倾斜导轨上，磁感应强度的变化的取值范围为：
0.12T/s≤ΔB2Δt≤0.60T/s ⑰
根据楞次定律和安培定则知闭合线圈中所加磁场：若方向竖直向上，则均匀减小；若方向竖直向下，则均匀增强．