专题1.7 二次根式章末八大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年八年级数学下册各单元的重点题型+章末检测（浙教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16785" 【题型1 二次根式双重非负性的运用】 PAGEREF _Tc16785 \h 1
\l "_Tc9218" 【题型2 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc9218 \h 1
\l "_Tc13208" 【题型3 二次根式的运算与求值技巧】 PAGEREF _Tc13208 \h 3
\l "_Tc8074" 【题型4 二次根式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc8074 \h 3
\l "_Tc3396" 【题型5 利用分母有理化求值】 PAGEREF _Tc3396 \h 4
\l "_Tc27218" 【题型6 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc27218 \h 6
\l "_Tc28585" 【题型7 二次根式的规律探究】 PAGEREF _Tc28585 \h 8
\l "_Tc7309" 【题型8 二次根式的实际应用】 PAGEREF _Tc7309 \h 9
【题型1 二次根式双重非负性的运用】
【例1】（2023春·天津和平·八年级耀华中学校考期中）若实数a，b，c满足关系式a−199+199−a=2a+b−c+b−6，则c＝ ．
【变式1-1】（2023春·全国·八年级期中）已知实数x，y，a，b满足3x−y−7+x−2y−4=a+b−2022×2022−a−b．求a+b的值及7x−y2023的值．
【变式1-2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：x3(y−x)3+x3(z−x)3=y−x−x−z，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（ ）
A．0B．1C．3D．条件不足，无法计算
【变式1-3】（2023秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，且满足mx−m+my−m=x−m−m−y，则3x2+xy−y2x2−xy+5y2的值为 ．
【题型2 复合二次根式的化简】
【例2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．
再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2 =(3+2)2= 3 +2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：12+235；
(2)化简：17−415；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式2-1】（2023秋·上海·八年级期中）当x=4时，x−23x2−43x+12−x+23x2+43x+12的值为（ ）
A．1B．3C．2D．3
【变式2-2】（2023春·广东韶关·八年级校考期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+2b=m+2n2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b=m2+22mn+2n2，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若a+43=m+3n2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：7−21+80．
【变式2-3】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为正整数），
则有a+b2=m2+2n2+2mn2（有理数和无理数分别对应相等），
∴a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b2化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a=________，b=________；
(2)若7−43=e−f32，且e、f均为正整数，试化简：7−43；
(3)化简：7+21−80．
【题型3 二次根式的运算与求值技巧】
【例3】（2023·八年级单元测试）若a=122+18−182，求a2+a4+a+1的值.
【变式3-1】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣x2−2016）（y﹣y2−2016）＝2016．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
【变式3-2】（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【变式3-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）当x=1+19942时，多项式4x3−1997x−19942019的值为( ).
A．1B．−1C．22002D．−22001
【题型4 二次根式中的新定义问题】
【例4】（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数m、n，若定义新运算：m∯n=m−n(m≥n)m+n(mA．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-1】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为fz(x)，
即：当n为非负整数时，如果n−12≤x如：fz(0)=fz(0.48)=0，fz(0.64)=fz(1.49)=1，fz(4)=fz(3.68)=4，⋯
试解决下列问题：
①fz(3)= ；②fz(32+3)= ；
③1fz(12+1)⋅fz(22+2)+1fz(22+2)⋅fz(32+3)+1fz(32+3)⋅fz(42+4)+⋯
+1fz(20172+2017)⋅fz(20182+2018)= ．
【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）将n个0或2排列在一起组成一个数组，记为A=t1,t2,⋯,tn，其中t1，t2，…，tn取0或2，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．例如：0,2，2,2都是2元完美数组，2,0,0,0，2,0,0,2都是4元完美数组．
定义以下两个新运算：
新运算1：对于x∗y=x+y−x−y，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M=x1,x2,⋯,xn和N=y1,y2,⋯,yn，
M⊕N=12x1∗y1+x2∗y2+⋯+xn∗yn．例如：对于3元完美数组
M=2,2,2和N=0,0,2，有M⊕N=12×(0+0+22)=2．
(1)①在3,2，2,0，2,2,0中是2元完美数组的有______；
②设A=2,0,2，B=2,0,0，则A⊕B=______；
(2)已知完美数组M=2,2,2,0，求出所有4元完美数组N，使得M⊕N=22；
(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊕D=0，则m的最大可能值是______．
【变式4-3】（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将a+b与a−b称为一对“对偶式”．因为
a+ba−b=a2−b2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知18−x−11−x=1，求18−x+11−x的值，可以这样解答：
因为18−x−11−x×18−x+11−x=18−x2−11−x2=18−x−11+x=7，
所以18−x+11−x=7．
(1)已知：20−x+4−x=8，求：
①20−x−4−x=________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：20−x+4−x=8；
(2)代数式10−x+x−2中x的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算：131+3+153+35+175+57+⋯+120232021+20212023．
【题型5 利用分母有理化求值】
【例5】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，可以将其进一步化简：
23+1=23−13+13−1=23−132−1=23−12=3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：13+1+15+3+17+5+⋯+12019+2017．
(2)已知m是正整数，a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−m，a+b+3ab=2021，求m．
(3)已知15+x2−26−x2=1，则15+x2+26−x2的值为?
【变式5-1】（2023秋·山西临汾·八年级校联考期末）阅读下列解题过程：
15+4=1×5−45+45−4=5−452−42=5−4
16+5=1×6−56+56−5=6−562−52=6−5
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出1n+1+n=______；
（2）利用上面的解法，请化简：11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12019+2020+12020+2021
（3）12−11和13−12的值哪个较大，请说明理由．
【变式5-2】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：
2−1>3−2，
3−2>2−3，
2−3>5−2，
5−2>6−5，
…
根据以上规律可知：2021−2020______2022−2021（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1，
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2，
14+3=4−3(4+3)(4−3)＝4−3，
…
根据观察，请写出式子1n+n−1（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：|12+1−13+2|+|13+2−14+3|+|14+3−15+4|+•••+|1100+99−1101+100|．
【变式5-3】（2023春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
7−6=7−67+67+6=17+6，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
7−6=17+6， 6−5=16+5，
因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2，
当x=2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1−x+1+x−x的最大值和最小值．
【题型6 二次根式中的阅读理解类问题】
【例6】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）阅读材料：基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0)当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+1x有最小值？最小值是多少？
解：∵x＞0，1x＞0，∴x+1x2 ≥x·1x，∴x+1x≥2，当且仅当x＝1x时，即x=1时，有x+1x有最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）填空：当x>0时，设y=x+4x，则当且仅当x=____时，y有最____值为_______；
（2）若x＞0，函数y=2x+1x，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值．
【变式6-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当a,b都是正数时，①若ab>1，则a>b；②若ab=1，则a=b；③ab<1，则a我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．
(1)请用上述方法比较57与75的大小；
(2)写出a+1a+2与a+2a+3（a为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
【变式6-2】（2023秋·陕西榆林·八年级统考期中）阅读并回答下面问题：
计算：2+3+12+2−3−12．
设x=2+3，y=2−3．
原式=x+12+y−12
=x2+2x+1+y2−2y+1
=x2+y2+2x−y+2．
因为x=2+3，y=2−3，
所以x2+y2=10，x−y=23．
原式=10+2×23+2=12+43．
(1)填空：①3+53−5=__________；
②3+52+3−52=__________．
(2)请仿照上面的方法计算：3+5+22+3−5−22．
【变式6-3】（2023春·贵州遵义·八年级统考期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：1−3x2−1−x．
解：隐含条件1−3x≥0,，解得x≤13，
∴1−x>0，
∴原式=1−3x−1−x=1−3x−1+x=−2x．
(1)试化简：(x−3)2−(2−x)2；
(2)已知a、b满足(2−a)2=a+3,a−b+1=a−b+1，求ab的值．
【题型7 二次根式的规律探究】
【例7】（2023春·安徽滁州·八年级校联考期末）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①13=1；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+(n+1)=__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①13+23+33+…+993+1003；
②113+123+133+…+193+203．
【变式7-1】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A．n2−1B．n2−2C．n2−3D．n2−4
【变式7-2】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，……
请利用你所发现的规律，
计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212，其结果为 ．
【变式7-3】（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校联考期末）已知：223=223；338=338；4415=4415；5524=5524……按此规律，请表示出第2021个式子 ．
【题型8 二次根式的实际应用】
【例8】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积pp−ap−bp−c．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边a=3，b=5，c=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为5、6，7，请求出三角形的面积；
(3)若p=8，a=4，求此时三角形面积的最大值．
【变式8-1】（2023春·陕西安康·八年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为72米，宽AB为32米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为8+1米，宽为8−1米．
(1)求长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【变式8-2】（2023秋·四川资阳·八年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知557=767，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是767的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[x]．这里[x]=x−a，[x]+a=x，其中[x]是一个整数，0≤a<1，a称为实数x的小数部分，记作Zx，所以有x=[x]+{Zx}．例如，[−14.3]=−15，{Z2.45}=0.45．
关于取整运算有部分性质如下：
①x−1<[x]⩽x
②若n为整数，则[x+n]=[x]+n
请根据以上材料，解决问题：
(1)[10]=___________；若m=[−π]，n={Z−π}，则m2+mn=___________；
(2)记M=12+1+13+2+12+3+⋯+12022+2021，求[M]；
(3)解方程：[3x+49]=6x−73．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．