专题06 二次函数中的存在性问题专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 二次函数中直角三角形的存在性问题
题型二 二次函数中等腰三角形的存在性问题
题型三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题
题型四 二次函数中特殊角度的存在性问题
题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题
题型六 二次函数中矩形的存在性问题
题型七 二次函数中菱形的存在性问题
题型八 二次函数中正方形的存在性问题
【经典例题一 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式：
(2)证明：为直角三角形：
(3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·统考三模）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点，其中点坐标为，且．
(1)求二次函数表达式；
(2)抛物线上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)将抛物线沿y轴方向向上平移k个单位（），平移后抛物线的顶点为点P，且点P在x轴下方，是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
3．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．

(1)试求出点B的坐标．
(2)分别求出直线和抛物线的解析式．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题二 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·云南楚雄·统考三模）如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线与轴相交于点，，对称轴是，与轴相交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·湖北荆州·统考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F．
(1)求抛物线的解析式：
(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)请用含m的代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值．
【经典例题三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例3】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）已知抛物线：的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点．
(1)当时，判断的形状；
(2)抛物线与抛物线关于原点中心对称，抛物线与轴相交于点．在轴右侧有一点，使得是等腰直角三角形，并且点在抛物线上，求此时抛物线的解析式．
【变式训练】
1．（2023·吉林·统考一模）如图，抛物线与轴交于，两点．直线过点且在第一象限与抛物线相交于点．
(1)①求此抛物线的函数解析式；②当时，自变量的取值范围__________；
(2)设点的横坐标为，作轴于．
①当为等腰直角三角形时，点的纵坐标为________（用含的式子表示）；
②在①题的条件下，求出点的坐标．
2．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·陕西榆林·统考一模）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、（点在点的右侧），与y轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．

(1)求该抛物线的函数表达式和点的坐标；
(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题四 二次函数中特殊角度的存在性问题】
【例4】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，已知抛物线M交x轴于与两点，交y轴于点，点在抛物线上运动．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)是否存在点（在上方），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）如图，已知拋物线与轴交于点，，与轴交于点．点是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)连接，若，求点的坐标；
(3)连接，求四边形面积的最大值．
2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）综合与探究
抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．已知点A的坐标为，点的坐标为，是线段上的一个动点，点从点出发沿方向向点A移动，运动速度为每秒2个单位长度，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，设点的运动时间为．
(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标．
(2)如图1，当时，作直线，是直线上方抛物线上一点，连接，，是抛物线对称轴上的一个动点．当的面积最大，且是等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
(3)如图2，连接，，是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
3．（2023·青海西宁·统考二模）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，且顶点的坐标为，对称轴与直线交于点，与轴交于点，连接．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点的坐标；
(3)在二次函数图象上是否存在一点，使得？若存在，求出直线与轴的交点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题五 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例5】（2023·陕西西安·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点．

(1)求点、、的坐标；
(2)点在坐标平面内，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边且面积为12的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．连接，，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，已知二次函数的图像经过，两点，顶点为．
(1)求该二次函数的解析式和顶点的坐标
(2)设图像的对称轴为，点是图像上一动点，当的面积为时，点关于的对称点为，能否在图像和上分别找到点，，使得以点、、、为顶点的是四边形为平行四边形?若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
3．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标．
(3)点是抛物线上的动点，在轴的正半轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【经典例题六 二次函数中矩形的存在性问题】
【例6】（2023·北京朝阳·统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为，曲线是抛物线的一部分，顶点C在的垂直平分线上，且到的距离为．以中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．
【变式训练】
1．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求的最大值；
(3)过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标．
2．（2023·山东泰安·校考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；
(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，．

(1)求抛物线解析式，并直接写出直线的解析式；
(2)点在此拋物线的对称轴上，当最大时，点的坐标为______；
(3)若点是第三象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，过点作交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
(4)点在抛物线上，在平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题七 二次函数中菱形的存在性问题】
【例7】（2023·西藏拉萨·统考一模）如图，已知经过，两点的抛物线与轴交于点．
(1)求此抛物线的解析式及点的坐标；
(2)若线段上有一动点不与、重合，过点作轴交抛物线于点．
①求当线段的长度最大时点M的坐标；
②是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于，两点，其对称轴直线l与x轴交于点D．
(1)求抛物线L的函数表达式．
(2)将抛物线L向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出满足条件的点M的坐标．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标；
(3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023秋·重庆南川·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；
(3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题八 二次函数中正方形的存在性问题】
【例8】（2023·陕西西安·校考三模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)点M是抛物线上的动点，过点M作轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知抛物线．
(1)若抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于B，C两点（点C在对称轴的右侧），过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D．当矩形为正方形时，求B点的坐标．
(3)若抛物线有两个相异的不动点a、b，且，求m的取值范围．
2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接，．

(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．
(2)当时，求点M的横坐标．
(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·四川成都·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的对称轴方程；
(2)若点满足，求点的坐标；
(3)设是抛物线的对称轴上一点，是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求此正方形的面积．