第1章 二次函数 易错必考63题（13个考点）专练-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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1．（2023·全国·九年级专题练习）若函数 是二次函数，那么m的值是（ ）
A．2B．或3C．3D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：，进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，解得：或；
又∵，解得：且，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．注意二次项系数不为零．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
【答案】3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
，
则代数式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
3．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点代入解析式，
得，化简得：，解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
则有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，解得：．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
易错必考题二、二次函数与一次函数、反比例函数图象的综合判断
4．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限可得，从而得到反比例函数的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与的交点个数得到，从而得到一次函数的图象经过一、二、三象限，即可得到答案．
【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限，
，
反比例函数的图象分布在二、四象限，
抛物线的开口向上，
，
抛物线与轴有两个交点，
，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一次函数的图象经过的象限可确定k的正负，进而验证二次函数图象与y轴交点的位置，结合二次函数图象的开口方向进行判断，即可求解．
【详解】解：A、由图象得：，，由得：，抛物线的开口向上，交于轴负半轴，符合题意，故此项正确；
B、由得：，抛物线的开口向上，故此项错误；
C、由图象得：，，的图象应交于轴正半轴，故此项错误；
D、由得：图象交于轴的，故此项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
6．（2023春·山东德州·八年级统考期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象开口向上，得，与轴交于正半轴，得，根据二次函数的对称轴可得，从而得到一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，即可得到答案．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，
，，
又观察二次函数的图象，二次函数的对称轴为，
，
一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，只有选项D图象符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键．
7．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）抛物线与直线同一坐标系的大致可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中 的正负情况，即可判断哪个选项是正确的；
【详解】A、一次函数 中，二次函数中 ，即，故选项A不符合题意；
B、一次函数 中 ，二次函数 中 ，即，故选项B不符合题意；
C、一次函数 中，二次函数 中 ，即，故选项C不符合题意；
D 、一次函数 中 ，二次函数 中，即 故选项D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，用数形结合的思想解答．
易错必考题三、二次函数的图象与性质
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
9．（2023·江苏泰州·统考二模）已知抛物线，，为该抛物线上的两点，若，则的取值范围（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】先把化成，把，两点的坐标代入，根据，即可求出的取值范围．
【详解】∵，
当点，在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握函数的图象和性质．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4B．4或C．或4D．或
【答案】B
【分析】根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可．
【详解】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，
∵y的最小值为，
∴，
∴；
时，在，
当时函数有最小值，
∴，
解得；
综上所述：a的值为4或，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，对的分类讨论是本题的解题关键．
11．（2023·河南·河南省淮阳中学校联考一模）在钝角三角形中（如图1），，点P为边上一动点，连接，在直线的上方构造等腰直角三角形，使，连接，设的长为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A．20B．10C．D．
【答案】D
【分析】由图2可得，当，，点P运动到点A的位置，过点Q、C分别作的垂线，垂足为D、E，由勾股定理先求出的长，根据全等三角形的判定和性质得到，进而求出面积．
【详解】解：由图2可得，当，，点P运动到点A的位置，
过点Q、C分别作的垂线，垂足为D、E，如图：
∵，，三角形是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，能够作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是 ．

【答案】
【分析】根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点时，取得最大值，以此代入坐标求解即可．
【详解】解：由题意，该抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点在直线上移动，
∵四边形为正方形，点，点，
∴点的坐标为，
如图所示，当抛物线左侧经过点时，取得最大值，

将代入得：，
解得：或（不合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置是解题关键．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上．当时，抛物线上、两点之间（含、两点）的图像的最高点的纵坐标为3，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及顶点坐标，然后分情况结合抛物线的增减性进行求解即可．
【详解】解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
∴当时，，不符合题意；
当时，抛物线上、两点之间（含、两点）的图像的最高点的纵坐标不可能为3，不符合题意；
当时，随增大而增大，
∴当时，函数值，
即，
解得，
∵，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及增减性是解本题的关键．
14．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为 ，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是 ．

【答案】 ； 且．
【分析】由，以及抛物线的对称轴，可得出点的坐标，进而求出函数表达式；求出直线关于轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出的取值范围．
【详解】解：由题知，
抛物线的对称轴为，
令，又，两点关于对称，
所以，则．
所以，．
又，
所以，得．
故．
将点坐标代入抛物线解析式得，，则．
所以抛物线的函数表达式为．
直线关于轴的对称直线为，

记直线与封闭区域的交点为，，
则，解得或．
故．
所以的取值范围是且．
故答案为：，且．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用直线关于轴的对称直线是解题的关键．
15．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）在平面直角坐标系中，已知，．抛物线（a为常数）与y轴相交于点P．
(1)点P的坐标是 ．
(2)若抛物线（a为常数）经过点．
①求的值．
②当时，求的最大值和最小值．
(3)若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②当时，y有最小值，最小值为；当时，y有最大值，最大值为
(3)或或
【分析】（1）令，代入解析式，即可求得点的坐标；
（2）①将点代入，解析式，即可得出的值；
②先求得抛物线的对称轴，为，根据二次函数的性质，得出当时，y有最小值，当时，y有最大值，进而，即可求解．
（3）分抛物线经过点以及顶点在上三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线（a为常数）与y轴相交于点P．
∴当时，
∴
故答案为：．
（2）①抛物线经过点，
，
解得；
②抛物线开口向下，它的对称轴为直线，
又∵ ，
∴当时，y有最小值，最小值为；
当时，y有最大值，最大值为．
（3）当与恰有一个交点时，
①当顶点坐标在上，
则
则
②当抛物线经过点时，
解得：
当抛物线经过点时，
解得：

则当与恰有一个交点时，或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2023春·福建福州·八年级校考期末）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)直接写出不等式的解集；
(2)求二次函数解析式，直接写出当时，y的最小值；
(3)若方程有两个不相等的正实数根，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)，当时，的最小值为
(3)
【分析】（1）根据函数图象直接可以得到不等式的解集；
（2）利用待定系数法求出二次函数的解析式为，再根据二次函数的性质可得出当时，y的最小值；
（3）根据题意可知与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0，再结合图象即可得到答案．
【详解】（1）解：由图象可得：
当时，不等式；
（2）解：由图象可得，的图象经过点，，，
，
解得：，
二次函数解析式为，
，
当时，取最小值，最小值为，
当时，的最小值为；
（3）解：方程有两个不相等的正实数根，
与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标都大于0，
由图象可知，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想解决问题．
易错必考题四、二次函数图象的平移问题
17．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时点P和点B重合，即抛物线的对称轴为：，
N点坐标为，则M点坐标为，
点P和点A重合，点M的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为：，
N点坐标为，则M点的坐标为，
点M的横坐标的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
18．（2023·山东济南·统考一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出平移后的函数解析式，然后结合二次函数的增减性与对称轴的关系可求．
【详解】∵把向右平移个单位，得到二次函数的图象，
∴
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．
19．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知抛物线．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x= ；
（2）当时将点向右平移9个单位得到点B，直接写出线段与抛物线有两个交点时a的取值范围 ．
【答案】 2 或
【分析】（1）利用对称轴公式求得即可；
（2）当时，求出抛物线顶点坐标为，由平移可得，当时，求出，根据抛物线与线段有两个交点，分情况列不等式组求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线，
∴对称轴是直线，
故答案为：2；
（2）当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵点向右平移9个单位得到点B，
∴，
当时，，
∵抛物线与线段有两个交点，
∴当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，a的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，平移变换的性质等重要知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
20．（2023春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线同右平移3个位长度，所得抛物线与x轴交于点C，D，与原抛物线交于点P，则 ．
【答案】2.5
【分析】先求出的坐标，设关于的对称点为，且设的横坐标为，的横坐标为，根据题意可知，，从而求出与的值，从而求得的边上的高，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为：，
令代入，
，
或，
，
设关于的对称点为，且设的横坐标为，的横坐标为，
，
抛物线向右平移3个单位长度，
，
，
，
解得，
把代入
，
在中，边上的高为：，
，
，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出的面积，本题属于中等题型．
21．（2023秋·九年级课时练习）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象．
(1)试确定的值；
(2)指出二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)；；
(2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】（1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可；
（2）根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，
二次函数与是同一函数，
，，，
解得：，，；
（2）解：二次函数的解析式为，
函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键．
22．（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级统考阶段练习）如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围．
【答案】(1)二次函数解析式为，点M的坐标为
(2)
【分析】（1）把点A、C的坐标代入函数解析式，用待定系数法求出抛物线解析式，将解析式化成顶点式，可得点M的坐标；
（2）点M是沿着对称轴向下平移的，可先求出直线的解析式，再求出平移后的二次函数图象顶点落在上和落在上时m的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：把点，点代入二次函数，得，
解得，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴点M的坐标为；
（2）设直线解析式为，
把点，点代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点M的坐标为，抛物线对称轴为，
当时，，
∴当平移后的二次函数图象顶点落在上时，，
又∵点，轴，
∴当平移后的二次函数图象顶点落在上时，，
∴当平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界）时，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数顶点坐标的求法，二次函数的平移，一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握待定系数法，求出一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．
23．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当直线经过点C时，结合图象直接写出不等式的解集；
(3)已知点，，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）①抛物线向下平移1个单位时，抛物线和有一个交点，即；②当时， ，当时，，当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有2个交点，当抛物线向下平移10个单位时，抛物线和恰好有1个交点，之后再没有交点，即可得解．
【详解】（1）∵抛物线过点,且对称轴为直线，
∴
∴
∴；
（2）由（1）知，令得，
∴
∴
令得
∴
∴
∴
∴当直线过点C时，直线的表达式为：，该直线恰好过点B，
观察函数图象知，不等式的解集为：或；

（3）①由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：，
则抛物线向下平移1个单位时，抛物线和有一个交点，即；
②当时， ，当时，，
当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有2个交点，

当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有1个交点，之后再没有交点，
故，
综上，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
易错必考题五、根据二次函数的图象判断式子符号
24．（2023春·湖北咸宁·九年级统考开学考试）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论是（ ）

A．②③⑤B．①③④⑤C．②③④⑤D．①③④
【答案】C
【分析】利用抛物线开口向上得，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与y轴的交点位置可得，则可判断①；根据判别式可判断②；利用时得到结合和即可判断③；利用二次函数当时有最小值可得，进而可判断④；利用二次函数与直线的交点可得，，代入即可判断⑤．
【详解】解：抛物线的开口向上，
，
抛物线的对称轴为：，
，
抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
，
，故①错误；
抛物线与x轴有两个交点，
，故②正确；
时，，
，且，
，
又，
，故③正确；
时，y有最小值，
（t为任意实数），即，故④正确；
图象经过点时，方程的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为：，
抛物线的对称轴为：，
二次函数与直线的另一个交点为：，
即，，
，故⑤正确，
正确的结论是②③④⑤，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与系数间的关系及对称轴和判别式是解题的关键．
25．（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．，B．
C．D．时，不等式一定成立
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对D进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，
，
，所以不符合题意；
抛物线与轴有个交点，
，所以B不符合题意；
由图可知：抛物线的对称轴是直线，
，
，所以C不符合题意；
由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，又由图象可知：当时，抛物线位于轴的上方，
当时，不等式一定成立，所以D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
26．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据二次函数与x轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图像可判断③，根据时，y的值的正负可判断④．
【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴①正确；
∵抛物线与x轴相交于点，，
∴抛物线的对称轴为，
，
，
∴②正确；
观察图像可知当时，，
∴③正确；
由得，时，，
由图知，时，，
∴，
∴④错误．
综上，正确的有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，二次函数图像的性质等知识．掌握数形结合思想，以及二次函数图像与系数的关系是解题的关键．
27．（2023·山东·九年级专题练习）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：
①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是 ．（只填序号）

【答案】①②④
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【详解】解：由图象可得，
则，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点和之间，对称轴是直线，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点和点之间，故④正确；
∴当时，，
∴，
∴，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
28．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．

给出以下结论：
①；
②；
③若，为函数图象上的两点，则；
④若关于的一元二次方程有整数根，则对于的每一个值，对应的值有3个．
其中正确的有 ．(写出所有正确结论的序号)
【答案】①②③
【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】抛物线开口向下，
；
抛物线的对称轴为直线，
；
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，
故①正确；
当时，函数有最大值，
，
即
故②正确；
抛物线的对称轴是，则在对称轴右侧，，
，
故③正确；
抛物线的对称轴是，与轴的一个交点是，
抛物线与轴的另个交点是，
把，代入得，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
解得，．
，
顶点坐标为，
由图象得当时，，其中为整数时，，，，
又与关于直线轴对称
当时，直线恰好过抛物线顶点．
所以值可以有个．
故④不正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．
29．（2023·江苏盐城·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．

(1)若，
①求此抛物线的表达式及其对称轴；
②当时，直接写出m的取值范围为_______；
(2)若，点在该抛物线上，且，请比较的大小，并说明理由．
(3)该抛物线必过平面直角坐标系内的一点，则该点坐标为_______．（直接写出坐标）
【答案】(1)①抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线；②或
(2)，理由见解析
(3)，
【分析】（1）①将点代入方程，用待定系数法求解；②根据抛物线的特点和性质可直接得到答案；
（2）根据图象上点与对称轴的位置关系进行分析；
（3）对抛物线方程进行整理，分析必过某点的条件，这是解决此问的关键．
【详解】（1）解：①当时，点A的坐标为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，即，
∴抛物线的对称轴为直线；
②令，则，解得：，，
∴抛物线与x轴交于和，
∵点，，且，如图，
∴点在x轴的下方，
∴或．

（2）解：，理由如下：
将代入得：，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴．
（3）解：∵抛物线必过某点，
∴与a无关．
，
∴当时，解得或．
当时，；当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像和性质及图象上的点与对称轴间的关系．
易错必考题六、待定系数法求二次函数的解析式
30．（2023秋·全国·九年级专题练习）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
31．（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）已知二次函数图象经过点、点点，求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标 ．
【答案】解析式，对称轴，顶点坐标．
【分析】将点坐标代入解析式，得方程组求解，确定函数解析式，根据二次函数的性质求得对称轴，顶点坐标．
【详解】解：由题意，得
，解得，
∴．
∴
对称轴：，顶点坐标．
故答案为：解析式，对称轴：，顶点坐标．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质；掌握二次函数的基本性质是解题的关键．
32．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，
∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．
33．（2023春·海南海口·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点E是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据，求出的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标即可；
（3）将线段的长度转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点B，点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵B，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴或；
（3）∵，当时，，
解得：，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∵点E是线段上的动点，轴交抛物线于点D，
∴设，则：，
∴；
∴当时，线段的长度最长为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
易错必考题七、二次函数与一元二次方程
34．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若时，则；
③若点，，往抛物线上，，且，则；
④当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中结论正确的结论有（ ）
A．①③B．①②C．③④D．①③④
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向和对称轴位置，即可判断①；利用对称轴公式求得，由，进一步得到，即可判断②；由点，，，到对称轴的距离，即可判断③；证明判别式即可判断④．
【详解】解：对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，
故①正确；
当时，对称轴，
，
当时，，
，
，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
点，，，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故③正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，
，
，，
，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
35．（2023·重庆·九年级统考学业考试）从这八个数中，随机抽一个数，记为．若数使得二次函数的图象与轴有交点，且使得关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的的值之和是（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】由二次函数的图象与轴有交点可得一元二次方程有实数解，确定的范围，由分式方程有整数解，确定的值即可判断．
【详解】解：由题意得：方程有实数解，
，且
解得且，
满足条件的的值为
方程，
解得，
有整数解，
，0，2，
综上所述，满足条件的的值为，0，2，
符合条件的的值的和是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，根的判别式，分式方程的解等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
36（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有 ．

【答案】3个
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】解：抛物线与轴有两个不同交点，因此，故（1）正确；
由开口方向可得，，对称轴在轴右侧，、异号，因此，与轴交点在负半轴，因此，所有，，因此（2）正确，（3）错误；
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，就是当时，对应抛物线上有两个不同的点，即，，，，由图象可知此时
因此（4）正确的，
综上所述，正确的有3个，
故答案为：3个．
【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握、、的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
37．（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知抛物线．
（1）若对称轴在直线处，则 ；
（2）若顶点在y轴上，则 ；
（3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为 ；
（4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】（1）根据对称轴求解即可；
（2）根据对称轴求解即可；
（3）根据，求解即可；
（4）根据且，求解即可．
【详解】解：（1）对称轴在直线处，即，解得；
（2）抛物线的顶点在y轴上，即，解得：；
（3）抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，即，解得；
（4）抛物线与x轴有两个交点，则，且
解得，且．
故答案为：；；；且
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
38．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表：
(1)二次函数图象的开口方向______，的值为______；
(2)点、在函数图象上，______（填、、）；
(3)当时，的取值范围是______；
(4)关于的一元二次方程的解为______．
【答案】(1)向上，5
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，利用对称性求出的值即可；
（2）根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可；
（3）利用图象法，求自变量的取值范围即可；
（4）找到函数值为5时的自变量的值，即可得解．
【详解】（1）解：由表格可知：和时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
由表格可知，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，
∵和关于对称轴对称，
∴；
故答案为：向上，5
（2）∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点、在函数图象上，，
∴；
故答案为：
（3）由表格可知：当时，或，
∴当时，的取值范围是；
故答案为：．
（4）由表格可知，当时，或，
∴一元二次方程的解为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是根据抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴．
易错必考题八、二次函数与不等式
39．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）

A．或B．或C．D．
【答案】B
【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
【详解】∵抛物线与直线交于，
∴不等式为：或，
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２
40．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集为 ．

【答案】或
【分析】根据题意得出：当时，则，进而结合函数图象得出的取值范围．
【详解】解：根据题意得出：
当时，则，
由图象可得：关于的不等式的解集为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题，是解答此题的关键．
41．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．

【答案】
【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．
【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，
当时，直线在抛物线上方，
不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
42．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，抛物线与直线相交于点和，抛物线还经过，

(1)求：抛物线和直线的解析式；
(2)若，则x的取值范围是______．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）将、、代入，将、代入，即可求解；
（2）根据在上方的函数图象对应的函数值较大，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式；
，
解得：，
直线的解析式；
（2）解：由图得
的图象在的图象上方所对应的取值范围：
或
故答案：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，根据交点求不等式的解集，掌握解法是解题的关键．
43．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点

(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数图象，填空：
①当时，的取值范围是______；
②当时，的取值范围是______；
【答案】(1)
(2)①
②或
【分析】（1）由于过顶点，且经过点即可用顶点式求出函数表达式．
（2）①在图像上找出的范围，分析函数的增减性，从而求出此时的取值范围．
②在图像上找出的范围，观察在这范围中，满足条件的范围．
【详解】（1）解：经过顶点
解析式可变成顶点式，即
将点代入
得
得到表达式为
变形得一般式为
（2）①解：当时，函数表达式在上单调递增，在上单调递减，
即在时取最小值
在时取最大值
所以的取值范围是．
②解：当时，或
当时，或
结合图像分析
要使
即或．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握将函数表达式化为顶点式求函数解析式．掌握二次函数与不等式的关系．
易错必考题九、二次函数y=ax2+bx+c的最值
44．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ）
A．1或3B．4或6C．3或6D．1或6
【答案】D
【分析】由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出h的值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
将代入得，
解得或1，
当时，，函数最大值为0，不符合题意，
当时，时，y随x增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
当时，，
解得或，
当时，，不符合题意，
当时，时，y随x增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
∴或6，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论．
45．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（ ）
A．3或4B．1或6C．1或3D．4或6
【答案】B
【分析】分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，，对称轴为直线，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去）；
当时，的最大值为0，不符合题意；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去），．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
46．（2023·广东广州·校考模拟预测）已知二次函数在时有最小值，则 ．
【答案】3或
【分析】将一般式化为顶点式，求出对称轴，分和，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
①，抛物线开口向上，时有最小值，
∴时，有最小值，
解得：；
②，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
又时有最小值，
∴时，有最小值，
解得：；
故答案为：3或．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
47．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，已知线段，点P是上一动点（不与A、B重合），分别以、为边在的同侧作正方形和，且两正方形对角线的交点分别为M、N，则长度的最小值为 ．

【答案】5
【分析】设，则，根据正方形的性质和勾股定理，分别求得、，，再利用二次函数的性质，得出的最小值为25，即可求出长度的最小值．
【详解】解：设，则，
正方形和，
，，，，，
，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，
当时，有最小值，最小值为25，
长度的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．
48．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)点的坐标为，的面积的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；
（2）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标；
（3）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值．
【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，
得，
解得，
二次函数得表达式为；
（2）解：存在点，使四边形为菱形，
设，交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，不合题意，舍去，
点的坐标为；

（3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，

设，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
点的坐标为，的面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值．
易错必考题十、二次函数的销售问题
49．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
设销售该商品每天的利润为（元），则的最大值为（ ）
A．1800B．1600C．1400D．1200
【答案】B
【分析】设出与的函数关系式，把，代入求出关系式，再根据题意列出利润的二次函数关系式，根据二次函数的性质和实际情况求解最大值即可．
【详解】提示：设与的函数关系式，把，代入，
得，解得，
∴，
由题意得，
∵，开口方向向下，
∴当时，随的增大而增大，
又∵，
∴时，（元）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意列出相关函数关系式是解题的关键．
50．（2023秋·全国·九年级专题练习）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）
A．35元B．36元C．37元D．36或37元
【答案】C
【分析】根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式，根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论．
【详解】解：依题意得：
y=（30-20+x）（240-10x）
y=-10x2+140x+2400．
∵每件首饰售价不能高于40元．
∴0≤x≤10．
∴求y与x的函数关系式为：y=-10x2+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10；
∴y=-10（x-7）2+2890．
∴a=-10＜0．
∴当x=7时，y最大=2890．
∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．
∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
51．（2023秋·九年级课时练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量（瓶）与每瓶销售价（元）之间满足函数关系式．当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）．
【答案】13
【分析】设总利润为元，每瓶销售价为元，则每瓶利润为元，根据“总利润=每瓶利润销售量”表示出与的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设总利润为元，每瓶销售价为元，则每瓶利润为元，
根据题意，可得 ，
∵，
∴当时，可有元．
即当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数解决销售问题，理解题意，正确列出函数解析式是解题关键．
52．（2023春·九年级单元测试）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元/千克）关于的函数关系式为，销售量y（千克）与之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式为 ；
（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是 ．（销售额=销售量×销售价格）
【答案】
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到销售额与之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
将点，代入，得：，
解得：，
∴此时与的函数关系式为；
当时，设与的函数关系式为，
将点，代入，得：，
解得：，
∴此时与的函数关系式为，
综上可知，与的函数关系式为．
故答案为：；
（2）设当月第天的销售额为元，
当时，，
当时，取得最大值，此时；
当时，，
当时，取得最大值，此时．
综上可知，当时，取得最大值，此时．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出函数关系式．
53．（2023春·江苏南京·九年级校考阶段练习）商社电器销售部门从厂家购进了、两种型号的空气净化器．已知一台型空气净化器的进价比一台型空气净化器的进价多300元，用7500元购进型空气净化器和用6000元购进型空气净化器的台数相同．
(1)一台型空气净化器和一台型空气净化器的进价各为多少元？
(2)在销售过程中，型空气净化器因为净化能力强、噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大型空气净化器的销量，商社电器决定对型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当每台型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，每台售价每降低50元，每天将多售出1台．请问当商社电器将每台型空气净化器的售价定为多少元时，每天销售型空气净化器的利润最大，最大值为多少？
【答案】(1)每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
(2)当商社电器将每台型空气净化器的售价定为元时，每天销售型空气净化器的利润最大，最大值为3200．
【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）设B型空气净化器的售价为a元，每天销售的B型空气净化器的利润为w元，则可得w关于x的二次函数，即可求得结果．
【详解】（1）解：设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为元，
由题意得，＝，
解得：，
经检验是原方程的根，
则，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）解：设B型空气净化器的售价为a元，每天销售的B型空气净化器的利润为w元，则每天的销售量为个，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴当时，w最大，且最大值为3200．
即当商社电器将每台型空气净化器的售价定为元时，每天销售型空气净化器的利润最大，最大值为3200．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及二次函数的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程及函数关系式是解题的关键．
易错必考题十一、二次函数在实际生活中的应用
54．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（ ）

A．2B．4C．2或D．4成
【答案】C
【分析】由可得其对称轴为：，当时，，即有，解方程即可求解．
【详解】由可得其对称轴为：，
根据，
可知：当时，，
即有：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的应用等知识，明确题意，得出当时，，是解答本题的关键．
55．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：

则该运动员踢出的足球在第 落地．
【答案】
【分析】设抛物线解析式为，将对应值代入解析式得方程组，求解确定函数解析式，进而确定时，t的值．
【详解】设抛物线解析式为
根据题意，得，解得
∴，时，，解得，
故答案为：8．
【点睛】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，根据题意确定方程组是解题的关键．
56．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为．

(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点G、M在上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/．已知，求每个B型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户的成本）
【答案】(1)
(2)每个B型活动板房的成本为3725元
【分析】（1）根据题意得出，设该抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得出，继而求出矩形的面积，列式求解即可．
【详解】（1）∵长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为，
∴，
∴，
∴，
设该抛物线的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）∵，
∴，
当时，，
∴，，
∴，
∴（元），
所以，每个B型活动板房的成本为3725元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
易错必考题十二、二次函数中的存在性问题
57．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)点D的坐标为或
(3)存在满足条件的Q点的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）设点D的坐标为，利用的面积为10，列出等式求解即可；
（3）分情况讨论，当为四边形的对角线时或当为边时，分别求解即可．
【详解】（1）将、代入得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设点D的坐标为，
、，
，
∴，
即，
∴或（无解舍去），
解得：，，
∴点D的坐标为或；
（3）抛物线的对称轴为：，
假设存在，设，，
，
分两种情况讨论：
当为四边形的对角线时，，，
∴，
即，
此时点Q的坐标为；
②当为边时，，，
∴，即，
解得：或，
此时点Q的坐标为或．
综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或．

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
58．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形的最大面积．
【答案】(1)
(2)存在，P点的坐标为；
(3)当时，四边形的面积最大，P点的坐标为，最大值为．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形为菱形，那么P点必在的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于的面积为定值，当四边形的面积最大时，的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线于Q，交x轴于F，易求得直线的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到的长，以为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得的面积，由此可得到关于四边形的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：；
（2）解：存在点P，使四边形为菱形；
设P点坐标为，交于E
若四边形是菱形，则有；
连接，则于E，

∵，
∴，
又∵，
∴
∴；
∴
解得，（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为；
（3）解：过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，

设，设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
则Q点的坐标为；
当，
解得：，
∴，
当时，四边形的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．
【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
59．（2023秋·全国·九年级专题练习）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；
(2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；
(3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析，该定值为2
(3)在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为或
【分析】（1）先由求得，，可得点M，N的坐标，将点，代入抛物线，利用待定系数法即可求抛物线的解析式；
（2）设，则，可得，，进而可得，即可证得结论；
（3）由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，进而求得，连接，由于等腰直角三角形可知，分两种情况讨论：当时，，当时，，分别进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点M、N，且当时，
解得，，
∴，；
将点，代入抛物线，
得，解得
∴抛物线的解析式为； 3分
（2）证明：设，则，
∴，
，
∴，
∴的值为定值，该定值为2；
（3）存在．
由抛物线：可得点，两条抛物线的对称轴均为直线，
∵点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，，
∴，
如解图，连接，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
假设存在，设点，分两种情况讨论：
①当时，，如解图①，过点D作轴于点C，连接，，
则，，由勾股定理可知，
∴，解得：，，
∴，；

②当时，，如解图②，由勾股定理可得，
∴，此方程无解
，∴此种情况不存在．
综上所述，在x轴上存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，点F的坐标为
或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
60．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）分别令和，求解即可；
（2）先求得平移后的抛物线的解析式，再分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的性质求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
，
令，则，
．
（2），
，
对称轴为．
当为边时，分两种情况：
当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点，
，，
，
，
．
设所在直线解析式为，
将，代入得，，
解得，
所在直线解析式为，
当时，．
．
当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点，
易得所在直线解析式为，则与对称轴l的交点坐标为．
当为对角线时，也为对角线，易得，由图可知此时点不可能在上，
此种情况不存在．
综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键．
易错必考题十三、二次函数中的角度关系问题
61．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，
【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可求出直线的解析式，由可证明，作于H，则，设点D的横坐标为t，分别表达和，建立方程即可得出结论；
（3）若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论．
【详解】（1）经过点，点

解得
抛物线的函数解析式为：
（2）轴，
轴，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得其解析式得，
，
解得，，
∴直线的解析式为
作于H，如图，则

设点D的横坐标为t，
则，，
，
解得（舍），
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为，
若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，
设点D的横坐标为n，则，
如图2，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N，
则，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，点D与点A重合，如图3，，则或，则；
当时，则；

如图4，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N，
同理可证，，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，点D与点A重合，同上；
当时，，则；

综上，点Q的坐标为：或或或
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定等相关知识，解题关键是利用转化思想对已知信息进行转化，将转化为，将正方形的存在性转化为等腰直角三角形的存在性．
62．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，二次函数，与时的函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．

(1)求二次函数的解析式．
(2)在第一象限的抛物线上求点P，使得最大．
(3)点Q是抛物线上x轴上方一点，若，求Q点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把与代入，求出t的值，即可；
（2）过点P作轴，交于点D．先求出直线的解析式为，设点，则点D的坐标为，可得，再由
，得到S关于a的函数关系式，即可求解；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，则，取的中点H，作直线交抛物线于Q，则，，求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵与时的函数值相等，
∴，
解方程，得，
把代入二次函数，
∴二次函数的解析式为：．
（2）解：如图，过点P作轴，交于点D．

把代入，得：
，解得，
∴点A，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点D的坐标为，
∴，
∴，
当时，有最大值，最大值为4，
所以点P的坐标；
（3）解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，则，取的中点H，作直线交抛物线于Q，则，，

设直线的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，解得或，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
63．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
(1)b＝ ，点B的坐标是 ；
(2)连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；
(3)点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析．
(3)E（-5，4）或
【分析】（1）根据二次函数图象与坐标轴交点性质可得答案．
（2）在x轴上找出点B的对称点，由点B，点C的坐标，可求出BC的长，由点A的坐标，得出的长，从而得出由等腰三角形的性质即可得出结果．
（3）当点 G 恰好落在 BC 上时，由对称性可知： AD = DG = CD ，所以 A ，C ， G 三点在以 D 为圆心， AC为直径的圆上，连接 AG ，所以 ，从而可知 ED / BC ，求出直线 BC 的解析式，从而可求出 ED 的解析式，联立直线 DE 的解析式与抛物线的解析式即可求出点 E 的坐标．
【详解】（1）∵点在二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象上，
当时，
∴点B的坐标为
故答案为：
（2）如图1，作点B关于y轴对称的点，连接
∵时，
令即
（3）如图2所示：连接AG交直线DE于点F，连接DG，
∵当点G恰好落在直线BC上时，由对称性可知，
∵点D为AC的中点，
∴点A，C，G三点共圆，即在以点D为圆心，直径为AC的圆上，
∵直线DE垂直平分AG，
设直线BC的解析式为：
把点代入
∴直线BC的解析式为：
∴可设直线DE的解析式为：
点D为线段AC 的中点，
把代入中，
∴直线DE 的解析式为：
把直线DE和抛物线联立，得
∴解得
∵点E是抛物线在第二象限图象上一个动点，
特别地，当点G与点C重合时，此时DE⊥AC，
设直线AC的解析式为y=ax+c,则，
解得：
∴直线AC的解析式为
∴直线DE的解析式为
∴
解得：或
∵点E为第二象限，
∴E（-5，4）．
故E（-5，4）或
【点睛】此题考查的是二次函数的综合题目，涉及知识点有二次函数的有关性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，抛物线与坐标轴交点问题，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
x
1
2
4
y
4
2
1
…
0
1
2
3
4
…
…
5
0
0
…
售价（元/千克）
40
50
60
销售量（千克）
120
100
80
0
1
2
3
0