专题09 圆重难点题型专训（十大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 圆的基本概念辨析
题型二 求圆中弦的条数
题型三 求过圆内一点的最长弦
题型四 圆的周长和面积问题
题型五 点与圆的位置关系
题型六 三角形的外接圆
题型七 确定圆的条件
题型八 圆中角度的计算
题型九 圆中线段长度的计算
题型十 求一点到圆上点距离的最值
【知识梳理】
【经典例题一 圆的基本概念辨析】
【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）圆O的直径，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作于点D，若，则的长是（ ）
A．B．C．或D．
2．（2023春·山东济南·九年级校考开学考试）如图，正方形中，，E点沿线段由A向D运动（到D停止运动），F点沿线段由C向B运动（到B停止运动），两点同时出发，速度相同，连接，作于P点，则在整个运动过程中P点的运动轨迹长为 ．
3．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）如图所示，为的直径，是的弦，，的延长线交于点，已知，．求的度数．
【经典例题二 求圆中弦的条数】
【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）

A． 条B． 条C． 条D． 条
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023秋·九年级课时练习）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画山一条与相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与全等的三角形．
【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】
【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.
【经典例题四 圆的周长和面积问题】
【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）

A．D点B．E点C．F点D．G点
【变式训练】
1．（2023春·四川·九年级专题练习）如图，在中，，，，的面积为，点M，N分别在、线段上运动，则长度的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·甘肃天水·八年级校考期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ．
3．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积．
【经典例题五 点与圆的位置关系】
【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）

A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考三模）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段PA的中点，连接，则线段的最小值是（ ）

A．B．2C．D．
2．（2023·河南南阳·统考一模）如图，点E是正方形边上一动点（点E不与点B、C重合），连接，过点A作交于F，垂足为P，连接，已知正方形的边长为2，则的最小值为 ．

3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在矩形中，，．
(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？
(2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ．
【经典例题六 三角形的外接圆】
【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（ ）.
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为2，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，点D是等边内部一动点，，连接，若，则的长度最小值是 ．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片， 小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1,以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.
[理解应用]
我们也可以用一些大小不同的圆覆 盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题
(1)如图2.在中， ∠A=105° ，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法，保留作图痕迹) .
（2）如图3,在中，∠A=80° ，∠B=40° ，AB= ，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径
[拓展延伸]
（3）如图4,在中，已知AB=15， AC=12, BC=9，半径为1的在的内部任意运动，则覆盖不到的面积是
【经典例题七 确定圆的条件】
【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；
②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；
③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；
⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；
综上，真命题的个数为2个；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·九年级课时练习）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上D．为的边上的中线
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，当取最小值时，的值等于 ．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）．
（1）如图1．当时，的面积为 ；
（2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．
①如图2，当时，若直线，求的长度；
②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值．
【经典例题八 圆中角度的计算】
【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（ ）

A．15°B．30°C．45°D．60°
【变式训练】
1．（2023·四川广元·统考一模）如图，为的直径，是的弦，、的延长线交于点E，已知，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且．
（1） ．
（2）连接，则的最小值为 ．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，C为上一点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的面积与的面积之比为，求的值．
【经典例题九 圆中线段长度的计算】
【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为何（ ）
A．4B．5C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点．若，则的长为（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023春·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，M是边上的一点，将沿对折至，连接，当的长最小时，则的长是 ．

3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点．求：
(1)圆心O到的距离．
(2)求的长．
【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】
【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2B．5C．6D．8
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）

A．B．6C．4D．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中， ，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．

3．（2023·河北衡水·统考二模）如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)求的最小值；
(3)若与垂直，求的长．
【重难点训练】
1．（2023秋·九年级课时练习）直角三角形的两条直角边长分别是，，则这个直角三角形的外接圆的半径是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图中外接圆的圆心坐标是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是外一点，分别以O、P为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线交于点C，再以点C为圆心，以长为半径作圆弧，交于点A，连接交于点B，连接．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海·模拟预测）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为3，与相交，且点B在外，那么的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A．13B．14C．12D．28
6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
7．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）中，、、，则外接圆圆心坐标为 ．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，E是边长为4的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．

9．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，，，正方形的边长为1，将正方形绕点C旋转一周，点G为的中点，连接，则线段的取值范围是 ．

10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是 ．
11．（2023·浙江衢州·校考一模）如图，为圆O的直径，点C，D在圆O上，与交于点E，，，连接，．求证：

(1)；
(2)四边形是菱形．
12．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．

(1)请用尺规作图在图上作出该图；
(2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少?
13．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点D、E在上，，过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的半径长．
14．（2023·上海长宁·统考二模）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，与交于点G．已知．

(1)求证：；
(2)以点G为圆心，为半径的圆与线段交于点H，点P为线段的中点，联结，如图2所示，求证：．
15．（2023·浙江台州·统考一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．
(1)_______°；
(2)若的半径为10，小圆的半径都为1；
①当圆心H到l的距离等于时，求OH的长；
②求证：在旋转过程中，的长为定值．