第1章 解直角三角形 重难点检测卷-2023-2024学年九年级数学下册重难点高分突破（浙教版）

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选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（22·23·模拟预测）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
2．（22·23下·温州·三模）如图楼梯示意图，，，米．则楼梯的高度是（ ）

A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】根据三角函数定义解答即可．
【详解】解：在中， ；
即 （米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形-坡度坡角问题，熟悉三角函数的定义是解题的关键．
3．（22·23下·温州·二模）如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长(不计柜门厚度)，当柜门打开的角度为时，柜门打开的距离的长度为( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
4．（22·23下·杭州·期中）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．
【详解】解：如图，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．
5．（19·20上·无锡·期中）如图所示，已知在中，弦的长为，测得圆周角，则直径为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，可证，，由即可求解．
【详解】解：如图，连接，

，
，
∵是直径，
∴，
()，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，特殊角的三角函数值，掌握基本性质是解题的关键．
6．（22·23下·宁波·期中）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：坡面的坡度为：，
，即，
由勾股定理得，，
则，
解得，
故斜坡的水平宽度的长为米．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
7．（22·23下·温州·三模）图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支撑杆的端点A离地面的高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质求得，在中，利用正弦函数求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质解决问题．
8．（22·23下·杭州·阶段练习）如图，在中，，，点P是BC延长线上一点，，且，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，，求出，则，求出，分别求出当时，当时的的度数，即可求出的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，则；
当时，
∴，
∴，则；
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，以及各个特殊角度的锐角三角函数值．
9．（22·23下·株洲·期中）中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若，则小正方形与直角三角形的面积比为（ ）

A．B．1∶1C．D．1∶5
【答案】B
【分析】在中，根据锐角三角函数的定义得出，代入，两边平方得出，由“赵爽弦图”，结合图形可知等于小正方形的边长，那么．再根据，即可求解．
【详解】解：如图．

在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
设，则，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正方形的面积，勾股定理的证明等知识，难度中等．知道“赵爽弦图”中各线段之间的关系是解题的关键．
10．（19·20上·周测）如图（1），点为矩形边上一点，点，点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，它们的运动速度都是，设出发秒时，的面积为，已知与的函数关系的图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②直线的解析式为；③可能与相似；④当秒时，．其中正确的结论个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据图（）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得出、的长度，再根据的长度，可得的长度，从而可得的长度，求出的长度，然后针对各小题分析解答即可
【详解】①根据图（）可得，当点到达点时点到过点，
点、点的运动速度都是，
，，
，故①正确；
②根据秒面积不变，可得，
当点运动到点时，面积变为，此时点走过点路程为，
故点的坐标为（，），
设直线的解析式为，
将点（，）、（，）分别代入
得：，
解得，
故直线的解析式为：，故②正确；
③当与相似时，点在上，
由，，得，如图所示，
，
，
，
，
，
与不可能相似，故③错误；
④时，，
此时，
，
故④错误，
综上，可知①②正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数的应用，根据图（2）判断出点到过点时，点到达点是解题的关键．
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．（22·23下·杭州·二模）若，则锐角的度数是 ．
【答案】/30度
【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数．
【详解】解：∵，
∴，
那么锐角的度数为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
12．（22·23下·杭州·一模）在中，，，， ．
【答案】/
【分析】根据题意，作出图形，由勾股定理得到，根据三角函数定义直接求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，如图所示：

在中，，，，
则，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角函数值，涉及勾股定理，熟记三角函数值的定义是解决问题的关键．
13．（22·23下·杭州·期中）如图，水库大坝截面的迎水坡的坡比（与的长度之比）为4：3，背水坡坡比为1：2，大坝高，坝顶宽，则大坝横截面的周长为 m．

【答案】
【分析】过C点作与点F，如图，则，，根据坡比的定义得到，，则可计算出，，再利用勾股定理计算出和，然后计算大坝横截面的周长．
【详解】解：过C点作与点F，如图，则，，
∵水坡的坡比（与的长度之比）为4：3，
∴，
∴，
∴，
∵背水坡坡比为1：2，
∴，
∴，
∴，
∴大坝横截面的周长．
故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，又叫做坡比，一般用表示，常写成的形式．
14．（22·23下·丽水·二模）一副三角板按图放置，是边的中点，．如图，将绕点逆时针旋转，使得点落在线段上不与点重合，则的长是 ．

【答案】
【分析】连接，证明是等边三角形，进而证明，解，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵是的中点，
∴，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．（22·23·湖州·中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．

【答案】4.1
【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图，

∵是水平线，都是铅垂线．
∴米，米，米，
∴（米），
又根据题意，得，
∴，
，即 ，
解得：米，
∴(米)．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
16．（22·23下·金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线交x轴于点，交y轴于点C，点D在直线上，且D的横坐标为3，E是线段上的点（不和端点重合），连接，一动点M从点A出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是 时，点M在整个运动过程中用时最少．

【答案】
【分析】将点代入，可求出直线的解析式，过点作轴，轴点．过点作，交延长线于点．只要能证明当、、三点共线时所用的时间最小即可．
【详解】解：如图，过点作轴，轴点．过点作，交延长线于点．

动点从点出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止
点在整个运动过程的用时，
点在直线上，
，解得，
直线的解析式为：
点的坐标为：
，即点在整个运动过程所用的时间是线段与的长度之和，
当、、三点共线时，取得最小值．
点的横坐标与点的横坐标相等，点在直线上
点的坐标为：
点的坐标为
故答案为：．
【点睛】此题主要考查一次函数坐标点的特征，求出函数的解析式，灵活运用函数上的点的特征是解决此题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
17．（22·23下·金华·阶段练习）计算：．
【答案】4
【分析】先进行算式平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂运算，再加减运算即可求解．
【详解】
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及算式平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
18．（22·23下·温州·阶段练习）如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽，坝高，斜坡的坡比，斜坡的坡比，

(1)求坝底宽的长
(2)修筑这个堤坝需要土方多少立方米？
【答案】(1)
(2)（立方米）
【分析】（1）根据题意可得：，，，，然后根据已知易得，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
（2）先求出梯形的面积，然后再求出修筑这个堤坝需要的土方，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：，，，，
∵斜坡的坡比，斜坡的坡比．
，，
，，
，
∴坝底宽的长为；
（2），，，
∴梯形的面积，
∴修筑这个堤坝需要土方，
∴修筑这个堤坝需要土方立方米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（23·24上·宁波·阶段练习）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以千米/小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．

(1)甲船从处追赶上乙船用了多少时间？
(2)求甲船追赶乙船时的速度．（结果保留根号）
【答案】(1)小时
(2)
【分析】（1）过作于点，作交于点，结合题意和三角形的内角和定理求得，，，根据直角三角形中两锐角互余和等角对等边可得，根据甲船的速度和勾股定理求得千米，根据含角的直角三角形的性质可求得的长，根据乙船的速度即可求解；
（2）根据勾股定理求得和的长，根据（1）中的结果即可求解．
【详解】（1）解：如图，过作于点，作交于点，

∵甲船沿北偏西方向前进，乙船沿东北方向前进，
∴，，，
∴；
∵，
∴，
∵甲船沿北偏东的方向追赶乙船，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，，，
∴，
∴，
∵甲船以千米/小时的速度航行小时到达处，
∴（千米）；
在中，，
∴（千米），
∴（千米），
∵，，
∴（千米），
且乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，
故甲船从处追赶上乙船的时间是：（小时）．
（2）解：在中，，
∴（千米），
故甲船追赶乙船的速度是（千米/小时）．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形中两锐角互余，等角对等边，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（22·23下·温州·阶段练习）如图，在四边形中，，，连结，于点F，G，且F是的中点．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和勾股定理以及解直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
即，
设，，
在中，由勾股定理可得，，
即，
解得：，或（舍去），
∴．
【点睛】此题是四边形综合题．关键是根据平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质以及解直角三角形的性质解答．
21．（22·23下·绍兴·一模）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
【答案】(1)；
(2)减少了，
【分析】（1）作于O．解直角三角形求出即可解决问题．
（2）作于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）如图2中，作于点O．

根据题意有：，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴（），
∴（）；
（2）作于F，于P，于G，于H．
则四边形是矩形，

∵根据（1）求出，，
∴，
∵，
∴，
∴（），（），
∴（），
∴下降高度：（）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22．（19·20上·周测）已知：如图，内接于为直径，弦于是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，分别交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由互余证得，进而得到答案．
（2）分别求得、、的长，再证得，进而由相似比即可求得的长．
（3）根据圆周角定理得到，得到，根据相似三角形的性质得到，推出，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵是弧的中点，为的直径
∴，
∵
∴
∴
（2）解：∵，
设，则，则
∴
由垂径定理得
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴；
（3）解：由垂径定理得
∴
∵
∴
∽
即

．
【点睛】本题考查相似三角形、解直角三角形、圆的性质定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．（22·23下·温州·期中）如图，四边形的顶点是坐标原点，点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，，，过点作交边于点，点的坐标为．

(1)的长为______，的长为______；
(2)在线段上取一点，使得．
①如图，连接，当时，求证：四边形是平行四边形；
②如图，在线段上取一点，满足，连接．当与四边形中一边平行时，在线段上取一点，使得，求此时的长．
【答案】(1)；
(2)①见解析 ②或或
【分析】（1）过点作轴于，根据点的坐标和的度数，在内解直角三角形即可求出的长，过点作于，易得．
（2）①求出当时的长，然后根据锐角三角函数求出的度数，判定与平行，即可得证；
②分别根据和两种情况进行讨论，计算即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于，

点的坐标为，，
，，
，
即，
，，
，
过点作于，
，，，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
，
又，
，
故答案为：；．
（2）①证明：，，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
②解：，，
，，，
，
，
如图，当时，，
，
即，
，，
，
，
，
当点在线段上时，，
当点在线段延长线上时，，

如图，当时，，，
即，
，，
当点在线段上时，舍去，
当点在线段延长线上时，，
的长为或或．
【点睛】本题考查了四边形综合题，主要考查锐角三角函数，矩形的判定与性质，平行四边形的判定，深入理解题意是解决问题的关键．
24．（22·23上·周测）如图1，将一块三角板直角顶点放在正方形对角线上，三角板的一直角边交射线于点，另一直角边交射线于点，连结．

(1)求证：．
(2)如图2，将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其它条件不变，若，求的最小值．
(3)在（2）的条件下，记的面积为的面积为，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，即可得证；
（2）过点作于，过点作于，根据，证明，根据相似三角形的性质得出，进而勾股定理求的，等面积法求得，即可求解；
（3）过点作于点，则得出即，，设，则，，分别表示出，进而求得最小值，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于，过点作于，

∵四边形为正方形，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点作于，过点作于，

∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∵四边形是矩形，
∴
∵，则，
∴，
∴，
即，
∴当时，取得最小值，此时，
∴；
（3）解：如图所示，

过点作于点，
∴
∴
∴
即，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴
∵,
∴
∴
当即（负值舍去）时，取得等于号，即时，
的最小值为
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．