备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题04 定弦定角（专项训练）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题04 定弦定角（专项训练）
1．（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（ ）
A．1.5B．C．D．2
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，
设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴PD＝，BD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故选：B．
2．（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
取AB的中点E，连接DE，CE，
∴DE＝AB＝4，
∴OC＝OB＝4，
∵CD≥CE﹣DE，
∴CD的最小值为4﹣4，
故选：D．
3．（2021秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值为2﹣4，
故选：C．
4．（2022•巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．2﹣2B．C．4D．2
【答案】A
【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．
∵∠BPE＝∠EOB，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，
∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝3，AE：EB＝1：2，
∴BE＝2，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四边形AQOJ是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝2，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，
故选：A
5．（2021•广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABM＝60°，
∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，
∴BM＝CN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠ABP+∠CBN＝60°，
∴∠ABP+∠BAM＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∴点P在弧AB上运动，
∴当＝时，△PAB的面积最大，最大值＝×2×1＝，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】9+9
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，
∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，
当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，
由题意可知，BC边上的高的最大值为：3+3，
∴△ABC面积的最大值为：×6×（3+3）＝9+9，
故答案为：9+9．
7．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝5，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
8．（2021•柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cs30°＝2，OA＝OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1．
9．（2021秋•灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是 ．
（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故答案为2；
（2）如图2中，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，
∴DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（3）如图3中，
∵EF＝2，点G为EF的中点，
∴DG＝1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，
此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝2，AD＝3，
∴AA′＝4，
∴A′D＝5，
∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，
∴PA+PG的最小值为4，
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．
【解答】解：延长BA到D，使AD＝AC，连接DC，作△BDC的外接圆⊙O，
∴AB+AC＝DB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠D＝45°，
∴当BD是⊙O直径时，BD取得最大值，
即AB+AC取得最大值，
当BD是⊙O直径，∠D＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝6，
∴AB+AC的最大值为：6．
11．【问题提出】
（1）如图①，点O是正方形ABCD的对称中心，点E，F分别在AB，BC边上，且∠EOF＝90°，连接BO，则线段BE，BF，BO之间满足的等量关系为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，连接AD，求AD的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某县政府为解决农业灌溉问题，加强农田水利“最后一公里”建设，改善农田灌溉、生态治理等水利民生工作，计划给该县管辖下的村庄A，B，C修建总扬水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．为了灌溉更多的农田，需要三条支渠总长（AD+BD+CD）尽可能长．已知预建的总扬水站D及支渠BD，CD满足∠BDC＝60°．你认为该县政府的想法能否实现？若能，求出三条支渠总长的最大值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
连接OC，
∵四边形ABCD是正方形，O是对称中心，
∴∠BOC＝90°，OB＝OC，∠EBO＝∠FCO＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠BOC，
∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF，
∵BC＝OB，
∴BF+CF＝OB，
∴BF+BE＝OB，
故答案为：BF+BE＝；
（2）如图2，
作等腰直角△ABE，使∠AEB＝90°，AE＝BE，
∴∠ABE＝45°，＝，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠CBD＝45°，＝，
∴∠ABE＝∠CBD，＝，
∴∠ABC＝∠EBD，
∴△ABC∽△EBD，
∴＝，
∴DE＝AC＝，
∵AD≤AE+DE，
∴当点A、E、D共线时，AD最大，
∵AE＝AB＝2，
∴AD最大值为：3；
（3）如图3，
该县政府的想法能实现，理由如下：
∴∠BAC＝120°，∠BDC＝60°，
∴∠BAC+∠BCD＝180°，
∴四边形ABCD内接于圆O，
延长CD至E，使CE＝BD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠EAC＝∠BAD，AE＝AD，
∴∠EAC+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，DE＝CD+CE＝CD+BD，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴DE＝，
∴BD+AD+CD＝DE+AD＝（）AD，
∴当AD最大时，BD+AD+CD最大，
∴当AD是⊙O的直径时，BD+AD+CD最大，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ADB＝∠ACB＝30°，
∴直径R＝＝2AB＝12，
∴BD+AD+CD最大值为：12（）＝12+12．