2024年山东省济南市中考数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 的平方根是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：，
的平方根是，
故选：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作．
2. 最近比较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2023年2月9日当天，其下载量达到了286000万次的峰值．286000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项进行计算即可．
【详解】A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法正确，符合题意；
C、，选项说法错误，不符合题意；
D、，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查整式的运算，熟记运算法则是解题的关键．
5. 若，则下列条件一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．根据不等式的性质以及有理数的加减法和乘除法法则，逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，故选项A不符合题意；
∵，
∴，故选项B不符合题意；
，当时，，故选项C不符合题意；
∵，
∴，故选项D符合题意．
故选：D．
6. 华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
最后一个数字可能是中任一个．总共有十种情况，其中解锁只有一种情况．利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：一次解锁该手机密码的概率是．
故选：B．
7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质,根据，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
【详解】解：∵，
∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
根据A，B，C点横坐标，可知点B，C在第一象限，A在第三象限，
∴，
∴．
故选：B．
8. 如图，为⊙外一点，过点作⊙的切线、，与过圆心的直线交于、两点，点、为切点，线段交⊙于点．若，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质以及切线长的性质证明四边形是正方形，设圆的半径为，可得，根据，解直角三角形，勾股定理求得，根据已知条件，即可求得半径，进而求得的长．
【详解】如图，连接，
、是的切线，
，，
又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
设，
，
，
，
中，，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了正切函数，切线的性质，切线长定理，正方形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
9. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可．
【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，
∴大正方形的面积为5，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为，
设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，
===2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
10. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数的图象在轴上方的部分与轴围成的区域（不含边界）为．例如当时，区域内的整点个数为1，若区域内恰有7个整点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意对时的二次函数图象进行分析，发现每次向上平移1即将上一次的边界整点包括在内，找到规律即可求得的取值范围
【详解】当时，区域内的整点个数为1，
此时
令，解得，令，解得
故函数的图像在轴上方的部分与轴围成的区域中，整数点有
有三个整数点在边界上
如图，当时，此时顶点为，在区域内有点四个整数点，边界上有三个整数点，
当时，将时，在边界上是的整数点包括进来，即此时恰好有7个点，
所以
故选C
【点睛】本题考查了二次函数平移，二次函数的图像的性质，找到规律是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
12. 在里随机抽2个数，则它们互质的概率是 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法活列表法求解概率，列表可得出所有等可能的结果数以及它们互质的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下
共有12种等可能的结果，其中它们互质的结果有：，，，，，，，，，，共10种，
∴它们互质的概率为．
故答案为：．
13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
【详解】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF=x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE=，AB=2，
∴BE=1，
∴ME=，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得：x=
∴AF=
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15. 如图，抛物线的解析式为，将抛物线绕点顺时针旋转得到图形，图形分别与轴、轴正半轴交于点、，连接，则的面积为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转得到图形的对称轴为直线，设直线与抛物线在第一象限的交点为，把绕点顺时针旋转得到，然后解方程组求出点坐标，求出即可，
本题考查二次函数图象与几何变换，关键是通过旋转的性质得出点M坐标．
【详解】解：由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转得到图形的对称轴为直线，设直线与抛物线在第一象限的交点为，
∴把绕点顺时针旋转得到，如图所示：
联立方程组得：，解得：或，
∴点坐标为：，
∴，，
∵对称性，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，，，点在上，将沿直线折叠，使点恰好落在上的点处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点和点．给出以下四个结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确的结论序号是________．

【答案】①③##③①
【解析】
【分析】由折叠与矩形的性质可得，，则，可得是等腰直角三角形，进而可判断①的正误；证明，则，进而可判断②的正误；证明，，，则，， ，，，可得，进而可判断③的正误；如图，过作于，由勾股定理求，，由，即，解得，根据，计算求解，可判断④的正误．
【详解】解：由折叠与矩形的性质可得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，①正确，故符合要求；
∴，即，
∴，
∴，即，②错误，故不符合要求；
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，③正确，故符合要求；
如图，过作于，

∴，，
∵，即，解得，
∴，④错误，故不符合要求；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
【答案】不等式组的解集为＜，正整数解为1，2
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为＜，
则不等式组的正整数解为1，2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 如图，在菱形中，点M、N分别在、上，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和菱形的性质，掌握全等三角形的判定与性质以及菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质，可用证明，所以，所以，即，则结论得证．
【详解】证明：∵四边形为菱形，
∴，，
和中，
，
∴．
∴，
∴，
即．
20. 现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
【答案】（1）a=0.16，b=0.24，c=10，d=2，补全频数分布直方图见解析；（2）11340名；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得答案；（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案；（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，
补全频数分布直方图如下：
（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，
答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名；
（3）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，
20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，
画树状图如下：
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数（率）分布表、频数（率）分布直方图等知识点，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.
21. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】（1）点C到直线的距离约为13.8cm
（2）点A到直线的距离约为21.5cm
【解析】
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【小问1详解】
解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
【小问2详解】
解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键．
22. 如图，的直径与其弦相交于点，过点的切线交延长线于点，且．

（1）求证：；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由切线的性质推出，而，因此，即可证明；
（2）由锐角的余弦求出的长，再由对等角证明是中点，即可得到的长，由，求出长，即可求出圆的半径长．
【小问1详解】
证明：∵与圆相切于，
∴直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵°，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴⊙O半径的长是．
23. 小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：
服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？
（2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
【答案】（1）75件（2）当x=65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件
【解析】
【分析】（1）根据题意设购进甲种服装x件，可知购进甲需80x元，则乙为60（100-x）元，再根据二者之和不超过7500元，可列不等式，求解集可得结果；
（2）根据要求设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75，因此甲的利润为（120-80-a）元，乙的利润为（90-60-a）元，因此可得w=（10-a）x+3000，然后分情况讨论设计方案，①当0＜a＜10时，由一次函数的性质可判断当x=65时，利润最大；②当a=10时，w=3000，二者一样；③当10＜a＜20时，根据一次函数的性质可判断，当x=75时，利润最大．
【详解】解：（1）设购进甲种服装x件,由题意可知：
80x+60（100-x）≤7500
解得：x≤75
答：甲种服装最多购进75件．
（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75
W=（40-a）x+30（100-x）=（10-a）x+3000
方案1：当0＜a＜10时，10-a＞0，w随x的增大而增大
所以当x=75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；
方案2：当a=10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；
方案3：当10＜a＜20时，10-a＜0，w随x的增大而减小
所以当x=65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．
考点：一元一次不等式，一次函数的应用
24. 如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．
（1）求的值；
（2）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标；
（3）以线段为对角线作正方形（如图③，点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】（1）
（2），，
（3）结论：的值不发生改变，证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可；
（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标；
（3）连、、，易证，故，，由此即可得出结论．
【小问1详解】
解：，，为中点，
，
设，
又，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
反比例函数的解析式为，
点在双曲线上，点在轴上，
设，，
①当为边时：
如图1，若为平行四边形，
则，
解得，
此时，；
如图2，若为平行四边形，
则，
解得，
此时，；
②如图3，当为对角线时，
，且；
，
解得，
，；
故，；，；，；
【小问3详解】
解：结论：的值不发生改变，
理由：如图4，连、、，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形中，，而，
所以，，所以，四边形内角和，
所以．
，
．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
25. 如图，在直角△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，点F为直线AD上任意一点，过点A作直线AC⊥BF，垂足为点E，直线AC交直线BD于点C．过点F作FG//BD，交直线AB于点G．
（1）如图1，点F在边AD上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是 ；
（2）如图2，点F在边AD的延长线上，则线段FG，DC，BD之间满足的数量关系是 ， 证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，若DF=6，GF=10，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M，N两点，当FM=2时，求线段NG的长．
【答案】（1）FG+DC=BD；（2）FG=DC+BD，见解析；（3）NG=3
【解析】
【分析】（1）只需要证明△BDF≌△ADC，得到DF=DC，再根据FG//BD，得到∠AFG=∠ADB=90°，∠AGF=∠ABD=45°，即FG=AF，从而可以求解；
（2）过点B作BH⊥GF于点H，则四边形DFHB是矩形，再证明△ADC≌△BDF即可得到答案；
（3）作NP⊥AG于P， 则四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，再证明∠PBN=∠MBH，tan∠PBN=tan∠MBH==，即可求解.
详解】解：（1）FG+DC=BD；理由：
∵∠ADB=90°，∠ABD=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=45°，
∴AD=BD，∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC，
∵FG//BD，
∴∠AFG=∠ADB=90°，∠AGF=∠ABD=45°，
∴FG=AF，
∴FG+DC=AF+DF=AD=BD；
（2）FG=DC+BD；理由如下：
过点B作BH⊥GF于点H，如图2所示：
则四边形DFHB是矩形，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，FG∥BD，
∴△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形，
∴AD=BD，AF=FG，
∵AC⊥BF，
∴∠CEB=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠C+∠DAC=90°，∠CBE=∠DBF，
∴∠DAC=∠DBF，∠ADB=90°，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DC=DF，
∴AF=DF+AD=DC+BD，
∴FG=DC+BD；
（3）作NP⊥AG于P，如图3所示：
则四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，
∴BH=DF=6，PG=PN，
设PG=PN=x，则NG=，
∵∠G=45°，
∴GH=BH=6，BG ， ∠GBH=45°，
∵∠MBN=45°，
∴∠PBN=∠MBH，
∴tan∠PBN=tan∠MBH== ，
∴BP=3PN=3x，
∴PG+BP=x+3x=4x=6 ，
解得：x= ，
∴NG=×=3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26. 在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．
①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
【答案】（1），
（2）
（3）①，，；②
【解析】
【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可；
（2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：在中，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴；
【小问2详解】
解：当时，抛物线解析式为，
当，即，解得或，
∴；
如图，设上与点M关于直线对称的点为，
由轴对称的性质可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴；
【小问3详解】
解：①当时，抛物线解析式为，，
∴，
∴，，
当时，，
∴抛物线恰好经过；
∵抛物线对称轴为直线，
由对称性可知抛物线经过，
∴点时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点；
综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；

②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴点T的纵坐标为，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
解得（舍去，因为此时点F在点D下方）

如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，
当 时，，
∴不符合题意；

综上所述，．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．2
3
4
5
2
3
4
5

步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
b
12000≤x＜16000
c
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
d
0.04