2023-2024学年安徽省合肥五十中九年级（上）第一次质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥五十中九年级（上）第一次质检数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次函数y=−(x+2)2+3图象的顶点所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )
A. y=x2+3B. y=x2−1C. y=(x+2)2+1D. y=(x−2)2+1
3.某种蓄电池的电压U(单位：V)为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系.当R=6时，I=8，则当R=12时，I的值是( )
A. 4B. 9C. 32D. 0
4.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是( )
A. −1.27C. −1.255.若点A(x1,−1)，B(x2,2)，C(x3,3)都在反比例函数y=−3x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x36.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是( )
A. y=x2−2B. y=−x2+2C. y=2x−2D. y=−2x+2
7.小勇、小冠、小明、小天四人共同探究函数y=x2−2x+3的值的情况，各自通报探究的结论，其中错误的是( )
A. 小勇认为只有当x=1时，函数值为2B. 小冠认为找不到实数x，使函数值为0
C. 小明认为抛物线开口向上D. 小天认为抛物线与x轴有两个交点
8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x−2)2+k与x轴交于(m,0)，(n,0)两点，其中mA. 当a>0时，m+n=p+q，n−m>q−p
B. 当a>0时，m+n>p+q，n−m=q−p
C. 当a<0时，m+n=p+q，n−m>q−p
D. 当a<0时，m+n>p+q，n−m=q−p
9.如图，正方形对称中心在原点O，四个顶点分别位于两个反比例函数y=4x和y=kx的图象的四个分支上，则实数k的值为( )
A. −4
B. −14
C. 14
D. 4
10.已知二次函数y=ax2+(b+1)x+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c与正比例函数y=−x的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.抛物线y=x2−4x+3与y轴的交点坐标是______．
12.一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−112(x−10)(x+2)，则该学生推铅球的水平距离为______m.
13.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC(OC0)的图象于点D，E.点D的坐标为(1,k).连接OD，OE，DE.若OD=DE，∠ODE=90°，则k的值为______．
14.定义：平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)，点Q(c,d)，若c=ka，d=−kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”.例如，点(−2,4)是点(1,2)的“−2级变换点”．
(1)若函数y=−4x的图象上存在点(1,2)的“k级变换点”，则k的值为______；
(2)若关于x的二次函数y=nx2−4nx−5n(x≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y=−x+5上，则n的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知二次函数y=a(x+2)(x−2)的图象经过点(1,−3)，求这个二次函数的表达式．
16.(本小题8分)
已知抛物线y=x2−(m−3)x−m.求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．
17.(本小题8分)
如图在平面直角坐标系中，直线y=13x+1分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线Cn：y=−x2+bx+c(n=1,2,3,4,…)的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，根据上述规律解决以下问题：
(1)抛物线C6的顶点坐标是______；
(2)求抛物线C2：y=−x2+bx+c中b，c的值．
18.(本小题8分)
已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当−219.(本小题10分)
跨学科整合学习中为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据(0≤x≤20)，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示．

(1)从y=ax+c(a≠0)，y=kx(k≠0)，y=−0.04x2+bx+c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
20.(本小题10分)
小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．
已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与y轴交于点A(0,2)，与x轴交于点B(−4,0)，与反比例函数y=mx在第三象限内的图象交于点C(−6,a)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当kx+b>mx时，求x的取值范围；
(3)当点P在y轴上，△ABP的面积为6时，直接写出点P的坐标．
22.(本小题12分)
鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(如图1)和截面示意图(如图2)，攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s(水平距离=水平速度×时间)与离地高度h的鹰眼数据如表：
(1)根据表中数据预测足球落地时，s= ______m；
(2)求h关于s的函数解析式；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功.一次防守中守门员面对足球后退，已知后退过程中守门员速度为2.5m/s，最大防守高度为2.6m．
①求守门员后退到足球正下方所需时间；
②这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
23.(本小题14分)
已知抛物线y=ax2−2ax+c(a,c为常数，a≠0)过点Q(2,2)，顶点为点P．
(1)当a=−1时，求此抛物线顶点P的坐标；
(2)当a<0时，若△OPQ的面积为4，求此抛物线的解析式；
(3)将抛物线y=ax2−2ax+c向左平移2个单位，向下平移(a+1)个单位(a>0)，得到新抛物线的顶点为A，与y轴交点为B，点M在直线x=1上，点N在直线y=−5上，当四边形ABMN的周长最小时，恰好有MN//AB，求a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵y=−(x+2)2+3，
∴顶点坐标为(−2,3)，
∴顶点在第二象限．
故选：B．
首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．
2.【答案】B
【解析】解：抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，点(0,1)向下平移2个单位得到对应点的坐标为(0,−1)，所以平移后的抛物线的解析式为y=x2−1．
故选：B．
先确定抛物线y=x2的顶点坐标为(0,1)，根据点平移的规律，点(0,1)向下平移2个单位得到对应点的坐标为(0,−1)，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3.【答案】A
【解析】解：由题意知，I=UR，
∴U=IR=6×8=48(V)，
∴当R=12时，I=4812=4(A)，
故选：A．
设出反比例函数关系式，用待定系数法求出解析式，然后得出结论即可．
本题主要考查反比例函数的知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由表格可得，
当x=−1.25时，y=−0.02<0；当x=−1.24时，y=0.01>0；
∴方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是−1.25故选：C．
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围．
本题考查图象法求一元二次方程的近似根，解答本题的明确题意，求出x的取值范围．
5.【答案】D
【解析】解：∵k=−3<0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A(x1,−1)，B(x2,2)，C(x3,3)都在反比例函数y=−3x的图象上，
∴点A(x1,−1)在第四象限，B(x2,2)，C(x3,3)在第二象限，
∴x1>0，x2∴x2故选：D．
根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6.【答案】D
【解析】解：选项A中，函数y=x2−2，x<0时，y随x的增大而减小，x>0时，y随x的增大而增大，故A不符合题意；
选项B中，函数y=−x2+2，x>0时，y随x的增大而减小，x<0时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
选项C中，函数y=2x−2，y随x的增大而增大，故C不符合题意；
选项D中，函数y=−2x+2，y随x的增大而减小．故D符合题意；
故选：D．
根据各函数解析式可得y随x的变化如何变化，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次函数，一次函数的性质，解题关键是掌握二次函数，一次函数图象与系数的关系．
7.【答案】D
【解析】解：由2=x2−2x+3，解得x=1，
得只有当x=1时，函数值为2；
由0=x2−2x+3，解得x无解，
得找不到实数x，使函数值为0，抛物线与x轴无交点；
由a=1>0，
得抛物线开口向上；
故选：D．
由2=x2−2x+3，解得x=1，得只有当x=1时，函数值为2；由0=x2−2x+3，解得x无解，得找不到实数x，使函数值为0，抛物线与x轴无交点；由a=1>0，得抛物线开口向上；故选：D．
本题主要考查了抛物线的知识，解题关键是结合抛物线性质正确判断．
8.【答案】C
【解析】解：当a>0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴m+n=p+q=4，且n−m当a<0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴m+n=p+q=4，且n−m>p−q．
故选：C．
分a>0和a<0两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可．
本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答．
9.【答案】A
【解析】解：连接正方形的对角线，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵四边形是正方形，点B在反比例函数y=4x上，
∴AO=BO，∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°，
∴∠CAO=90°−∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴S△AOC=S△BOD，
∴12|k|=12×4，
∵点A在第二象限，
∴k=−4，
故选：A．
连接正方形的对角线，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，证明△AOC≌△BOD，根据k的几何意义即可求解即可．
本题考查了正方形的性质，反比例函数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质的解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：由二次函数y=ax2+(b+1)x+c的图象可知，a>0，c<0，二次函数y=ax2+(b+1)x+c与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)，
∴二次函数y=ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y=ax2+bx+c与正比例函数y=−x的交点的横坐标为−1，3，故B正确．
故选：B．
根据二次函数y=ax2+(b+1)x+c图象得出a>0，c<0，二次函数y=ax2+(b+1)x+c与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)，从而判断出二次函数y=ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y=ax2+bx+c与正比例函数y=−x的交点的横坐标为−1，3，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出a>0，c<0．
11.【答案】(0,3)
【解析】解：令x=0，
得y=3，
∴抛物线y=x2−4x+3与y轴的交点坐标是(0,3)，
故答案为：(0,3)．
令x=0得出y的值，从而得出与y轴的交点坐标．
本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键．
12.【答案】10
【解析】解：当y=0时，−112(x−10)(x+2)=0，
解得：x1=−2(舍)，x2=10，
∴他将铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
铅球落地时，y=0，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
13.【答案】1+ 52
【解析】解：∵点D的坐标为(1,k)，
∴CD=1，OC=k，
∵∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠BDE=90°，
∵矩形OABC中，∠OCD=∠B=90°，
∴∠ODC+∠COD=90°，
∴∠BDE=∠COD，
在△COD和△BDE中，
∠COD=∠BDE∠DCO=∠BOD=DE，
∴△COD≌△BDE(AAS)，
∴BD=OC=k，BE=CD=1，
∴E(k+1,k−1)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过点E，
∴k=(k+1)(k−1)，
解得k=1+ 52或k=1− 52，
∵在第一象限，
∴k=1+ 52，
故答案为：1+ 52．
通过证得△COD≌△BDE(AAS)，求得E(k+1,k−1)，即可得到k=(k+1)(k−1)，解得k=1+ 52．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，表示出点E的坐标是解题的关键．
14.【答案】 2或− 2 0【解析】解：(1)由题意得，(1,2)的“k级变换点”为：(k,−2k)，
将(k,−2k)代入反比例函数表达式得：−4=k(−2k)，
解得：k=± 2；
故答案为： 2或− 2；
(2)设在二次函数上的点为点A、B，
设点A(s,t)，则其“1级变换点”坐标为：(s,−t)，
将(s,−t)代入y=−x+5得：−t=−s+5，
则t=s−5，
即点A在直线y=x−5上，
同理可得，点B在直线y=x−5上，
即点A、B所在的直线为y=x−5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：(−1,0)、(5,0)，其对称轴为x=2，
当n>0时，
抛物线和直线AB的大致图象如下：
直线和抛物线均过点(5,0)，则点A、B必然有一个点为(5,0)，设该点为点B，另外一个点为点A，如图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y=nx2−4nx−5n=x−5，
设点A的横坐标为x，则x+5=4n+1n，
∵x≥0，
则4n+1n−5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ=(−4n−1)2−4n(5−5n)=(6n−1)2>0，
故n≠16，
即0当n<0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0故答案为：0(1)求出(1,2)的“k级变换点”的坐标，即可求解；
(2)先求出点A、B所在的直线为y=x−5，当n>0时，画出抛物线和直线AB的大致图象，求出点A的横坐标为x，得到x+5，即可求解；当n<0时，当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，即可求解．
本题为考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、函数的性质和图象、解不等式等，理解新定义是本题解题的关键．
15.【答案】解：将点(1,−3)代入y=a(x+2)(x−2)，
解得：a=1，
故二次函数的表达式为：y=(x+2)(x−2)=x2−4．
【解析】将点(1,−3)代入y=a(x+2)(x−2)可得答案．
本题考查二次函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
16.【答案】证明：a=1，b=−(m−3)，c=−m．
△=b2−4ac=(m−3)2+4m
=m2−2m+9
=(m−1)2+8．
∵(m−1)2≥0，8≥0．
则△>0，
∴无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．
【解析】首先确定a、b、c，然后证明△>0即可判断．
本题考查了二次函数与x轴的交点，当△>0时，函数与x轴有两个交点；当△=0时，有一个交点，即顶点；当△<0时，没有交点．
17.【答案】(21,8)
【解析】解：(1)∵其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…
∴抛物线C6的顶点横坐标是21，
代入y=13x+1，则y=8，
∴抛物线C6的顶点坐标是(21,8)，
故答案为：(21,8)；
(2)y=13x+1，当x=3时，y=2抛物线C2的顶点坐标是(3,2)，
由顶点式得：y=−(x−3)2+2，展开得y=−x2+6x−7．
∴b=6，c=−7．
(1)观察发现顶点的横坐标：每个数都是前两个数的和，进而即可求解．
(2)设抛物线C2的解析式为：y=−(x−3)2+2，化简即可解得．
本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点式是关键．
18.【答案】−4≤y<5
【解析】解：(1)由题意可得二次函数的顶点坐标为(−1,−4)，
设二次函数的顶点式为：y=a(x+1)2−4，
把点(0,−3)代入y=a(x+1)2−4得−3=a−4，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x+1)2−4，即y=x2+2x−3；
(2)如图所示：
(3)∵−2由函数图象可得：
当x=−1时，函数最小值为y=−4，
当x=2时，函数最大值为y=5，
∴−4≤y<5．
(1)利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(−1,−4)，可设解析式为y=a(x+1)2−4，然后再选择一个合适的值代入求解即可；
(2)根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；
(3)根据x=−1时的函数值，再结合函数图象可知当x=2时，y最大=5，即可写出y的取值范围．
本题主要考查求解二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)观察两种场景可知，场景A为y=−0.04x2+bx+c，
场景B为y=ax+c(a≠0)，
把(10,16)，(0,21)代入y=−0.04x2+bx+c得：
16=−0.04×100+10b+c21=c，
解得b=−0.1c=21，
∴y=−0.04x2−0.1x+21，
把(5,16)，(0,21)代入y=ax+c得：
5a+21=16，
解得a=−1，
∴y=−x+21；
场景A的函数表达式为y=−0.04x2−0.1x+21，场景B的函数表达式为y=−x+21；
(2)当y=3时，
场景A中，x=20，
场景B中，3=−x+21，
解得x=18，
20>18，化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
【解析】(1)由图象可知，场景A中y随x变化的函数关系为y=−0.04x2+bx+c，将(10,16)，(20,3)代入y=−0.04x2+bx+c，进而可得y=−0.04x2−0.1x+21；场景B中y随x变化的函数关系为y=ax+c，将(20,1)代入，进而可得y=−x+21；
(2)场景A中当y=3时，x=20；场景B中，将y=3代入y=−x+21，解得，x=24，判断作答即可．
本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20.【答案】解：(1)当1≤x<30时，y=(100−2x)(x+40−10)=−2x2+40x+3000，
当30≤x≤50时，y=(100−2x)(70−10)=−120x+6000，
综上所述：y与x的函数关系式为y=−2x2+40x+3000(1≤x<30)−120x+6000(30≤x≤50)；
(2)当1≤x<30时，
二次函数y=−2x2+40x+3000=−2(x−10)2+3200，
∵−2<0，
∴当x=10时，y最大=3200，
当30≤x≤50时，
y=−120x+6000中y随x的增大而减小，
∴当x=30时，y最大=2800，
综上所述，该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元．
【解析】(1)根据题意可以分别求得1≤x<50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；
(2)根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b与y轴交于点A(0,2)，与x轴交于点B(−4,0)，
∴b=2−4k+b=0，解得：k=12b=2，
∴一次函数的表达式为：y=12x+2，
将点C(−6,a)代入y=12x+2，得a=12×(−6)+2=−1，
∴点C的坐标为(−6,−1)，
∵点C在比例函数y=mx的图象上，
∴m=−6×(−1)=6，
∴反比例函数的表达式为：y=6x；
(2)解方程组y=12x+2y=6m，得x=−6y=−1，x=2y=3，
∴一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x交于点C(−6,−1)，D(2,3)，如图1所示：

由函数的图象可知：当kx+b>mx时，求x的取值范围是：−62；
(3)∵点A(0,2)，B(−4,0)，
∴OB=4，
∵点P在y轴上，
设点P的坐标为(0,t)，则PA=|t−2|，
∴△ABP的面积为6，
∴12PA⋅OB=6，
即12×4×|t−2|=6，
整理得：|t−2|=3，
∴t−2=3或t−2=−3，
由t−2=3，解得：t=5，
由t−2=−3，解得：t=−1，
∴点P的坐标为(0,5)或(0,−1)，如图2所示．

【解析】(1)先利用待定系数法求出一次函数的表达式为y=1/2x+2，再将点C(−6,a)代入y=12x+2，求出点C(−6,−1)，然后将点C代入y=mx之中求出m的值即可得出反比例函数的表达式；
(2)将一次函数与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组求出两个函数的交点坐标为C(−6,−1)，D(2,3)，结合函数的图象即可求出当kx+b>mx时，x的取值范围；
(3)由点A(0,2)，B(−4,0)得OB=4，设点P的坐标为(0,t)，则PA=|t−2|，由△ABP的面积为6得12PA⋅OB=6，即12×4×|t−2|=6，由此解出t即可得点P的坐标．
此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，正确的求出一次函数与反比例函数的交点及不等式解集是解决问题的关键．
22.【答案】30
【解析】解：(1)∵当s=12和s=18时，h的值相等，
∴抛物线的对称轴是直线x=15．
∵当s=0时，h=0，
∴当s=30时，h=0．
故答案为：30；
(2)设h=a(s−15)2+5．
∵过点(0,0)，
∴225a+5=0．
解得：a=−145．
∴h关于s的函数解析式为：h=−145(s−15)2+5；
(3)①设守门员后退到足球正下方所需时间为t秒．
∴15t=28−(8−2.5t)．
解得：t=1.6．
答：守门员后退到足球正下方所需时间为1.6秒；
②守门员后退到足球正下方距离原点为：15×1.6=24m．
当s=24时，h=−145(24−15)2+5=−1.8+5=3.2m．
∵最大防守高度为2.6m，
∴这次守门员不会防守成功．
(1)根据相等的函数值及对应的s的值可得抛物线的对称轴，那么根据抛物线过(0,0)可得其对称点，即可求得足球落地时s的值；
(2)抛物线的顶点坐标为(15,5)，设出顶点式，根据过(0,0)，可得二次项系数a的值，即可得到h关于s的函数解析式；
(3)①足球飞行的距离=OB−守门员跑到球的正下面时距离点B的距离，把相关数值代入即可求得所需的时间；
②把足球飞行的距离代入(2)得到的抛物线解析式，可得此时球距离地面的高度，与守门员的最大防守高度比较可得防守成功与否．
本题考查二次函数应用．关键是判断出二次函数的顶点坐标并得到相应的二次函数解析式．难点是得到守门员后退到足球正下方时的相等关系．
23.【答案】解：(1)将a=−1，Q(2,2)代入抛物线y=ax2−2ax+c，得2=−4+4+c，
解得c=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+2=−(x−1)2+3，
∴P(1,3)；
(2)如图，y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−−2a2a=1，顶点P坐标为(1,c−a)，而a<0，过P作PC/​/y轴交OQ于C，

设直线OQ的解析式为y=kx，
将Q(2,2)代入y=kx，
∴k=1，
∴直线OQ的解析式为y=x，
∴C(1,1)，
将Q(2,2)代入y=ax2−2ax+c，得c=2，
∴P(1,2−a)，
∴PC=2−a−1=1−a，
∴S△OPQ=S△POC+S△PQC=12(1−a)×(2−0)=1−a=4，
解得a=−3，
∴抛物线的解析式为y=−3x2+6x+2；
(3)如图，

∵抛物线为y=ax2−2ax+c=a(x−1)2+c−a，
而c=2，则y=ax2−2ax+2=a(x−1)2+2−a，
∴平移后的抛物线y=a(x+1)2+1−2a
∴A(−1,1−2a)，B(0,1−a)，
如图，作B点关于x=1的对称点B′(2,1−a)，作A点关于y=−5的对称点A′(−1,2a−11)，
连接A′B′交x=1、y=−5于点M、N，此时四边形ABMN的周长最小，
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(−1,1−2a)，B(0,1−a)代入可得
1−2a=−k+b1−a=b，
解得k=ab=1−a，
∴直线AB的解析式为y=ax+1−a，
设直线A′B′的解析式为y=k′x+b′，将A′(−1,2a−11)，B′(2,1−a)代入可得
2a−11=−k′+b1−a=2k′+b′′，
解得k′=4−ab′=a−7，
∴直线A′B′的解析式为y=(4−a)x+(a−7)，
∵AB//MN，
∴a=4−a，解得a=2．
【解析】(1)将a=−1，Q(2,2)代入抛物线y=ax2−ax+c，可得函数解析式，即可解答；
(2)先求出点P坐标，求得抛物线对称轴与直线OQ的交点C的坐标，根据S△OPQ=S△POC+S△PQC，即可解答；
(3)写出新抛物线的解析式为y=a(x+1)2+1−2a，可得A(−1,1−2a)，B(0,1−a)，如图，作B点关于x=1的对称点B′(2,1−a)，作A点关于y=−5的对称点A′(−1,2a−11)，连接A′B′交x=1、y=−5于点M、N，此时四边形ABMN的周长最小，再求解直线AB的解析式，直线A′B′的解析式，结合MN//AB建立方程求解即可．
本题为二次函数综合题目，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练画出大概图形并作出四边形ABMN周长最小时的图形是解题的关键．x
−1.26
−1.25
−1.24
−1.23
y=ax2+bx+c
−0.04
−0.02
0.01
0.04
x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
0
−3
−4
−3
0
…
时间x(天)
1≤x<30
30≤x≤50
售价(元/件)
x+40
70
每天销量(件)
100−2x
s/m
…
9
12
15
18
21
…
h/m
…
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…