浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.19 完全平方公式（知识讲解）

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1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
要点一、完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

要点二、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
要点三、补充公式
；；
；.
【典型例题】
类型一、完全平方公式➽➼运算✭✭化简求值
1．（2021春·八年级课时练习）运用乘法公式计算：
（1）；（2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；
（2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案；
（3）根据完全平方公式，可得答案；
（4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案．
解：（1）原式＝[（3x−5）＋（2x＋7）][（3x−5）−（2x＋7）]
＝（3x−5＋2x＋7）（3x−5−2x−7）
＝（5x＋2）（x−12）
＝；
（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）−1]
＝−1
＝；
（3）原式＝
＝−6（2x−y）＋9
＝；
（4）原式＝
＝．
【点拨】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键．
举一反三：
【变式1】（2022春·八年级课时练习）利用平方差公式或完全平方公式计算：
； (2)
【答案】(1)9801(2)
【分析】（1）应用完全平方公式进行计算即可得出答案；
（2）应用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得出答案．
解：（1）原式；
（2）原式．
【点拨】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
【变式2】（2022春·八年级课时练习）利用平方差公式、完全平方公式计算：
; (2)
【答案】(1)9960.04； (2)
【分析】（1）将原式变形为完全平方公式求解即可；
（2）将原式变形为平方差公式的形式，然后利用平方差公式及完全平方公式求解即可．
（1）解：
；
（2）
．
【点拨】题目主要考查利用完全平方公式与平方差公式进行计算，熟练掌握各个运算公式是解题关键．
类型二、完全平方公式➽➼完全平方公式的变形公式➽➼运算✭✭化简求值
2．（2022春·八年级课时练习）利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题．
例如：若，求的值．
解：图为，
所以，
所以．
所以．
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
若，求的值；
若，求的值．
【答案】(1)12(2)4046
【分析】（1）利用完全平方公式的变形计算求解；
（2）设2022-x=a，x-2020=b，然后利用完全平方公式的变形计算求解．
（1）解：∵x-y=4，
∴（x-y）2=16，即x2-2xy+y2=16．
又∵x2+y2=40，
∴40-2xy=16，
解得xy=12，
答：xy的值是12；
（2）解：设2022-x=a，x-2020=b，则a+b=2．
∵（2022-x）（x-2020）=-2021，
∴ab=-2021，
把2022-x=a，x-2020=b，a+b=2代入得，
（2022-x）2+（x-2020）2
=（a+b）2-2ab
=22-2×（-2021）
=4+4042
=4046．
【点拨】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活应用，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．
举一反三：
【变式1】（2022春·八年级课时练习）已知m﹣n＝6，mn＝4．
求m2+n2的值．
求（m+2）（n﹣2）的值．
【答案】(1)44(2)-12
【分析】（1）利用完全平方公式变形计算可得；
（2）根据多项式乘以多项式法则去括号，再代入计算．
（1）解：∵m﹣n＝6，mn＝4．
∴m2+n2=（m-n）2+2mn=62+2×4=44；
（2）∵m﹣n＝6，mn＝4．
∴（m+2）（n﹣2）
=mn-2m+2n-4
=mn-2（m-n）-4
=4-2×6-4
=-12．
【点拨】此题考查了利用完全平方公式的变形计算，多项式乘以多项式计算法则，正确掌握各计算法则和公式是解题的关键．
【变式2】（2022春·八年级课时练习）已知，．求下列式子的值：
； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）将化为，再代入求值即可；
（2）先求的值，再将化简，代入求值即可．
（1）解：
．
（2）由，可得．
即
．
＝
．
【点拨】本题考查了完全平方公式的变形的逆用，解题的关键是不求a，b的值，利用完全平方公式的整体变换求值．
类型三、完全平方公式➽➼完全平方公式参数➼运算✭✭求值
3．（2021春·八年级课时练习）已知是完全平方式，求m的值．
【答案】
【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．
解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12，
【点拨】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
举一反三：
【变式1】（2019秋·七年级课时练习）①已知a2-8a+k是完全平方式，试问k的值.
②已知x2+mx+9是完全平方式，求m的值.
【答案】①k=16； ②m=±6.
【分析】①设m2=k，由a2-8a+k是完全平方式，即可得m=4，进而得到k的值；
②先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
解：①设m2=k；因为a2-8a+k是完全平方式，
所以a2-8a+m2=(a-m)2= a2-2ma+m2,
所以8a=2ma,
解得m=4,
所以k=16；
②因为x2+mx+9是完全平方式，
所以x2+mx+9=(x±3)2,
所以m=±6.
【点拨】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
【变式2】（2018秋·七年级单元测试）如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M.
【答案】M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.
【分析】先分完全平方式是单项式还是多项式，再分9x2是平方项与乘积二倍项分情况讨论，根据完全平方公式解答即可．
解：①当这个完全平方式是一个单项式的平方时，
则9x2＋1＋M是一个单项式，所以M＝－1或M＝－9x2.
②当这个完全平方式是一个二项式的平方时,
a. 当这个完全平方式形如M＋9x2＋1时，即9x2为两数乘积为2倍，
因为9x2＝2·x2·1，所以M＝＝x4,
b. 当这个完全平方式形如9x2＋M＋1时，即M为两数乘积的2倍，因为9x2＝(3x)2，所以M＝±2·3x·1＝±6x,
c. 当这个完全平方式形如9x2＋1＋M时，即1为两数乘积的2倍，此时M不是一个整式，所以这种情况不存在．
综上所述，M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4.
【点拨】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是要分情况讨论求解．
类型三、完全平方公式➽➼图形问题➼运算✭✭化简求值
4．（2022春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
图2中阴影部分的正方形的边长是______；（用含a、b的式子表示）
观察图2，用一个等式表示下列三个整式：、、ab之间的等量关系；
根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【答案】(1) (2) (3) 4或
【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长；
（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、、ab的等式；
（3）根据（2）中结论即可解题．
解：（1）图中阴影部分边长为，
故答案为：；
（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：
方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积；
方法二：阴影部分面积为边长的正方形面积四个以为长、b为宽的个长方形面积；
∴；
（3）∵；
∴，
∴，
∴或．
【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（2020春·江苏扬州·七年级校联考期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的方法拼成一个边长为的正方形．
请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
方法： ；
方法： ．
观察图写出，，三个代数式之间的等量关系： ．
根据（）中你发现的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；
（2），，三个代数式别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系；
（3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即可得结果．
解：（1）根据图形可得：
方法：；
方法：．
故答案为：，．
（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，
可得： ．
故答案为：．
（3）∵，，
．
【点拨】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片________张；
根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)；(2) 3；(3) ①7；②．
【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系；
（2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，，代入计算即可．
（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
；
（2）解：，
需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）解：①，，，
，
，
即的值为7；
②令，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键．
中考真题专练
【1】（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
当时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)(2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：，
当时，．
【点拨】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
【2】（2018·浙江衢州·统考中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【答案】见分析
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
解：由题意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2++==a2+2ab+b2=（a+b）2．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
【3】（2022·湖北荆门·统考中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2； (2) x4+．
【答案】(1)5 (2) 47
【分析】（1）由＝、＝，进而得到﹣4x•即可解答；
（2）由＝可得=7，又＝，进而得到＝﹣2即可解答．
（1）解：∵＝
∴＝
＝
＝﹣4x•
＝32﹣4
＝5．
（2）解：∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
【点拨】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．