浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.16 平方差公式（知识讲解）

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1. 掌握平方差公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
要点一、平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
要点二、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
【典型例题】
类型一、平方差公式➽➼运算✭✭化简求值
1．（2022春·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）； （2）； （3）
【分析】（1）、（2）直接根据平方差公式计算求解即可；
（3）变形后运用平方差公式求解即可．
解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【点拨】本题考查平方公式的运用，理解并熟练运用平方差公式是解题关键．
举一反三：
【变式1】（2022春·江苏·九年级统考期中）已知，求的值．
【答案】；
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：

，
，
∴，
∴，
当时，原式．
【点拨】本题考查了整式的混合运算——化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式2】（2022春·上海嘉定·七年级统考期中）计算：
【答案】
【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可求解．
解：原式=
=
【点拨】本题主要考查整式的混合运算，掌握平方差公式单项式乘多项式法则，合并同类项法则是关键．
类型二、平方差公式➽➼简便运算✭✭化简求值
2．（2022春·八年级课时练习）用乘法公式计算：
40×39； （2）．
【答案】(1)1599 (2) 2012
【分析】（1）根据平方差公式即可化简运算．
（2）把2013×2011利用平方差公式计算，再进一步计算化简即可．
解：（1）40×39
＝（40+）×（40﹣）
＝1600﹣
＝1599；
（2）
＝
＝
＝2012
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，关键是能把原式化成符合平方差公式的形式．
举一反三：
【变式1】（2022春·全国·八年级专题练习）简便计算：
； （2）．
【答案】(1)150 (2)
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据平方差公式进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了利用平方差公式进行计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
【变式2】（2022春·全国·八年级期末）用简便方法计算：
；
；
；
【答案】(1) (2) (3)1
【分析】（1）将式子运用平方差公式进行变形即可得；
（2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得；
（3）先将后两项运用平方差公式进行变形，再计算乘法，进行．
（1）解：原式=
=
=；
（2）解：原式=
=
=
=
=
=；
（3）解：原式=
=
=
=1．
【点拨】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式．
类型三、平方差公式➽➼几何图形✭✭化简求值
3．（2022春·全国·八年级专题练习）探究活动：
如图①，可以求出阴影部分的面积是 ．（写成两数平方差的形式）
如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式 ．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）图①的面积为两个正方形的面积差，即；
（2）拼成的长方形的长为，宽为，可表示面积；
（3）由（1）（2）所表示的面积相等可得等式．
（1）解：根题意可得，
．
故答案为：；
（2）解：根据题意可得，
长方形的长为，宽为，
故答案为：；
（3）解：，
即．
故答案为：
【点拨】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
举一反三：
【变式1】（2022春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）综合与实践
如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）．
依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程．
解：原式
．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：．
对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【答案】(1)； ； (2) (3)证明见详解
【分析】（1）根据图形可知，，根据两个面积相等即可求解；
（2）根据康康的演示，可知将代入，即可求解；
（3）根据（1）中结论，即可求解．
（1）解：根据题意，，，
∵，
∴，
故答案为：；；．
（2）解：
，
故答案为：．
（3）解：设一个奇数为，则另一个相邻的奇数为，
∴
，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【点拨】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键．
【变式2】（2022春·四川眉山·七年级校考期中）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示）
直接应用：利用这个等式计算：
①；
②；
拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：
．
【答案】(1)，，(2)①；②；(3)
【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）配上因式后，连续利用平方差公式进行计算，得出答案．
（1）解：图（1）中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
图（2）中阴影部分是长为，宽为的长方形，
因此其面积为，
由于图1、图2阴影部分的面积相等可得，，
故答案为：，，；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：
．
【点拨】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积是正确解答的前提．
类型三、平方差公式➽➼应用✭✭化简求值
4．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
若，，求比多出的使用面积．
【答案】(1)(2)50
【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；
（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得．
（1）解：中能使用的面积为，
故答案为：．
（2）解：中能使用的面积为，
则比多出的使用面积为，
，，
，
答：比多出的使用面积为50．
【点拨】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．
举一反三：
【变式1】（2021·湖北宜昌·统考中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
【答案】C
【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可．
解：原来的土地面积为平方米，第二年的面积为

所以面积变小了，
故选C．
【点拨】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
【变式2】（2020·湖南郴州·统考中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
解：由图可知，
图1的面积为：x2-12，
图2的面积为：（x+1）（x-1），
所以x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．