人教版八年级数学下学期复习 专题2.3勾股定理七大类型大题专练(分层培优42题(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下学期复习 专题2.3勾股定理七大类型大题专练(分层培优42题(原卷版+解析)，共73页。试卷主要包含了3勾股定理七大类型大题专练，5秒；②t=2，875，，875÷1=8等内容，欢迎下载使用。

类型一、勾股定理与折叠问题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF．
(1)求证：△BOP≌△EOF；
(2)求证：CP=BF；
(3)求DF的长．
2．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，△ABC中，AB>AC，AD AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C C落在BC BC边上的点E E处．
(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面积：
(2)求证：AB2−AC2=BE⋅BC．
3．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D点处，再将边CB沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处．
(1)求∠ECF的度数；
(2)若CE=4，B′F=1，求线段BC的长；
(3)在（2）的条件下，求△ABC的面积．
4．（2022秋·江西鹰潭·八年级校考期中）如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，AC落在AB上．
(1)判断△ABC的形状，关说明理由；
(2)求折痕AD的长．
5．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上，且AE=9cm，连结EC将长方形沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，求A′C的长度．
6．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
类型二、勾股定理与面积问题
7．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______．
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系为______．
(3)如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm．
(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．
(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．
9．（2022秋·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB=8m，BC=17m，CD=9m，AD=12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
(1)求AC的长；
(2)请说明△ACD是直角三角形；
(3)求需要绿化的空地ABCD的面积．
10．（2021秋·山西晋中·八年级校考阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；
S大正方形=_____，还可以表示为_____，
所以可得到_______=______，
化简后最终得到____．
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．
11．（2022秋·八年级单元测试）如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，所得的两个月形图案AGCE与DHCF（即阴影部分）的面积分别记为S1、S2，△ACD的面积记为S．
(1)求证：S=S1+S2的值．
(2)当AD=6cm时，求S的值．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4．
(1)当AC＝6，BC＝8时，
①求S1的值；
②求S4﹣S2﹣S3的值；
(2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由．
类型三、勾股数（树）
13．（2022·八年级单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是12（9﹣1），12（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是12（25﹣1），12（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
14．（2022秋·山西晋中·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成文后任务：
清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，4，5的整数倍，设它的面积为S，则第一步：求S6，设等于m；第二步：求m，设等于k；第三步：分别用3，4，5乘以k得三边长分别为3k，4k，5k．
任务：
(1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长．
(2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由．
15．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数， 称之为“勾股数”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等．
(1)请你写出另外两组勾股数：6，______，______；7 ，______，______；
(2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，k2−12，k2+12是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，k22−1，k22+1是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为 12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
16．（2018秋·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
12+1＝2，S1＝12，(2)2+1＝3，S2＝22，(3)2+1＝4，S3＝32
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律．
（2）推算出OA10的长．
（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．
17．（2022春·甘肃武威·八年级校考期中）如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：
①（1）2+1＝2，S1＝12；
②（2）2+1＝3，S2＝22；
③（3）2+1＝4，S3＝32
…
（1）请写出第n个等式；
（2）根据式子规律，线段OA10等于多少；
（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．
18．（2022春·山东德州·八年级校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请写出S1，S2，S3的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=___________．
类型四、利用勾股定理解方程
19．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B=90°，BC=3，AB=4，CD=5，AD=52．求证：△ACD是直角三角形．
20．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC,EC．已知AB=2,DE=1,BD=4，设CD=x．
(1)用含x的代数式表示AC+CE的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？最小值是多少？
21．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，已知点E在AB上，连纳BF．
(1)求证：△AEC≌△BFC．
(2)苦AE=1,∠AEC=105∘，求BE的长．
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的长．
23．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置，且BP=2，AP=1．
(1)求PP′的长；
(2)连接CP，若CP=3，求∠APB的度数．
24．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上（不与点B，C重合）．
(1)若△ADC是直角三角形．
①当AD⊥BC时，求AD的长；
②当AD⊥AC时，求CD的长．
(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE=∠B，若△ADE是直角三角形，求CD的长．
类型五、勾股定理逆定理及应用
25．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）金塔县绿化环卫部门为美化环境，要在如图所示的一块四边形ABCD空地种植草皮，工人师傅量得AB=3m，BC=4m，AC=5m，CD=12m，AD=13m，若每平方米草皮需要300元，则需要投资多少元？
26．（2020秋·江苏南京·八年级校考期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，BC=6，DB=185．
(1)求AD的长．
(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
27．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)四边形ABCD的周长=________；
(2)四边形ABCD的面积=________；
(3)∠ABC是直角吗？判断并说明理由．
28．（2021春·河南新乡·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点C作x轴的垂线，垂足为B，已知点C的坐标为3，3，AC长为2．
(1)求AB的长．
(2)请你判断△OAC的形状，并说明理由．
29．（2022秋·河南平顶山·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=25，BC=5，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
30．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=n2+1，BC=n2−1，AC=2n.
(1)试判断△ABC的形状，并证明：
(2)当n=2时，点D从A出发，以1个单位/秒的速度沿折线A→B→C→A运动，设运动时间为t秒，
①当BD平分∠ABC时，求t的值：
②当点D落在边AB的垂直平分线上时，求t的值；
③在整个运动过程中，直接写出△BCD为等腰三角形时t的值.
类型六、勾股定理的证明
31．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）在一次数学实践活动中，小明同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为b，较短的直角边长为a，大正方形边长为c．请你直接写出a，b，c之间的关系；并说明理由．
32．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：(a+b)2，也可表示为：c2+4⋅12ab，即(a+b)2=c2+412ab由此推出勾股定理a2+b2=c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)；
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证(x+y)2=x2+2xy+y2
33．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AE=CD=a，AB=ED=b，BE=CE=c．
(1)填空：∠BEC=______°，根据三角形面积公式，可得△BEC的面积=______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得△BEC的面积=______．
(2)求证：a2+b2=c2．
34．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
35．（2022秋·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）公股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板 ABC和直角三角板DEF ，顶点F在BC边止，项点C、D重合，连接AE 、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a ，AC=DF=b （a>b ），AB=DE=c． 请你回答以下问题：
(1)请猜想AB与DE的位置关系，并加以证明．
(2)填空：S四边形ADBE =___________（用含有c的代数式表示）
(3)请尝试利用此图形证明勾股定理．
36．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b−a2，从而得到等式c2=12ab×4+b−a2，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
类型七、勾股定理与弦图问题
37．（2022秋·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2的值．
38．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD=2cm，则徽标的外围周长为________cm．
39．（2022秋·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3=20，则S2= ．
40．（2022春·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．如图，由4个全等的直角三角形(RtΔAFB≅RtΔBGC ≅RtΔCHD≅RtΔDEA)和与一个小正方形EFGH恰好拼成一个大正方形ABCD，每个直角三角形的两条直角边分别为a，baAC，AD AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C C落在BC BC边上的点E E处．
(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面积：
(2)求证：AB2−AC2=BE⋅BC．
【答案】(1)126
(2)答案见解析
【分析】（1）由AD是BC边上的高，AC=13，CD=5，得AD=12，BD=16，即有BC=BD+CD=16+5=21，故S△ABC=12BC⋅AD=126；
（2）根据△ADC沿AD所在的直线翻折得到ΔADE，得AC=AE，DC=DE，而AB2−AC2=AB2−(AD2+DC2)=AB2−AD2−DC2=(BD−DE)(BD+DE)，即可证明AB2−AC2=BE⋅BC．
【详解】（1）解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，CD=5，
∴AD=AC2−CD2=12，
在Rt△ADB中，
∵AB=20，AD=12，
∴BD=AB2−AD2=16，
∴BC=BD+CD=16+5=21，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×21×12=126；
（2）证明：∵△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，
∴AC=AE，DC=DE，
在RtΔADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+DC2，
在RtΔADB中，由勾股定理，得BD2=AB2−AD2，
∴AB2−AC2=AB2−(AD2+DC2)
=AB2−AD2−DC2
=BD2−DE2
=(BD−DE)(BD+DE)，
∵BE=BD−DE，BC=BD+DC=BD+DE，
∴AB2−AC2=BE⋅BC．
【点睛】本题考查三角形中的折叠，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握折叠的性质及勾股定理的应用．
3．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D点处，再将边CB沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处．
(1)求∠ECF的度数；
(2)若CE=4，B′F=1，求线段BC的长；
(3)在（2）的条件下，求△ABC的面积．
【答案】(1)45°
(2)41
(3)825
【分析】（1）由折叠可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，再根据∠ACB=90°，即可得出∠ECF=45°；
（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC=BE2+CE2=41；
（3）设AE=x，则AB=x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2=AB2−BC2，即x2+42=x+52−41，求得x=165，即可得出S△ABC=12AB×CE=825．
【详解】（1）由折叠可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCB′=90°，
∴∠ECD+∠FCD=12×90°=45°，
即∠ECF=45°；
（2）由折叠可得，∠DEC=∠AEC=180°2=90°，BF=B′F=1，
∵∠ECF=45°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴CE=EF=4，
∴BE=4+1＝5，
∴在Rt△BCE中，BC=BE2+CE2=41；
（3）结合（2），设AE=x，则AB=x+5，
∵在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2−BC2，
∴AE2+CE2=AB2−BC2，
即x2+42=x+52−41，
解得x=165
∴S△ABC=12AB×CE=12165+5×4=825．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键．
4．（2022秋·江西鹰潭·八年级校考期中）如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，AC落在AB上．
(1)判断△ABC的形状，关说明理由；
(2)求折痕AD的长．
【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由见解析
(2)AD=5133
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断AC2+BC2=52+122=AB2是否成立即可．
（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．在Rt△EBD中，根据勾股定理即可得到一个关于DE的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）△ABC是直角三角形；
∵AC2+BC2=52+122=169=AB2，
∴∠C=90°；
∴△ABC是直角三角形．
（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．
设CD=x，则DE=x，AE=AC=5，BE=AB−AE=13−5=8，BD=12−x；
∵∠AED=∠C=90°，
∴在Rt△EBD中，x2+82=(12−x)2，
解得：x=103， 即CD=103，
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，
∴AD=52+1032=5133．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，以及利用勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题．
5．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=15cm，点E在AD上，且AE=9cm，连结EC将长方形沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，求A′C的长度．
【答案】A′C=8cm
【分析】由矩形和翻折的性质可知：A′E=AE=9cm，A′B=AB=CD=15cm，∠ECB=∠CED，从而可利用“AAS”证明△BA'C≌△CDE，得出CE=CB．设A′C=xcm，则CE=CB=(x+9)cm，根据勾股定理列出关于x的方程，解出x即可．
【详解】解：由矩形和翻折的性质可知：A′E=AE=9cm，A′B=AB=CD=15cm，AD∥BC．
∴∠ECB=∠CED，
∴在Rt△A′BC和Rt△DEC中
∠ECB=∠CED∠BA′C=∠D=90°DC=A′B，
∴△BA′C≌△CDE(AAS)，
∴A′C=DE
设A′C=DE=x，则CE=9+x．
在Rt△CDE中，CE2=CD2+DE2．
所以9+x2=x2+152，解得：x=8(cm)．
即：A′C=8cm．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．解答时运用勾股定理建立方程求解是关键．
6．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
【答案】D0，5；E4,8
【分析】根据轴对称的性质以及勾股定理求出BE=6，即可求出线段CE的长，从而得出点E的坐标；设OD=DE=m，CD=8−m，在Rt△DCE中，根据勾股定理列出关于m的方程，解方程得出m的值，可求出OD的长，进而得出D点坐标．
【详解】解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴AE=AO=10，OD=DE，
∵四边形OABC是一张长方形纸片，
∴AB=OC=8，∠B=∠BCO=90°，BC=OA=10，
∴BE=AE2−AB2=102−82=6，
∴CE=BC−BE=4，
∵∠BCO=90°，
∴BC⊥y轴，
∴E4,8；
设OD=DE=m，CD=8−m，
在Rt△DCE中，根据勾股定理得：DC2+CE2=DE2，
即8−m2+42=m2，
解得：m=5，
∴D0，5．
【点睛】本题主要考查勾股定理及轴对称的性质，解题的关键是根据轴对称的性质得到线段的等量关系，然后利用勾股定理求解即可．
类型二、勾股定理与面积问题
7．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______．
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系为______．
(3)如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．
【答案】(1)a+b2=a2+2ab+b2
(2)S1+S2=S3
(3)S1+S2=S3成立，理由见解析
【分析】（1）通过整体和部分求和两种方法对该正方形面积求解可得此题结果；
（2）先根据正方形的面积分别列式表示出S1，S2，S3，再运用勾股定理可得S1+S2=S3；
（3）先根据半圆的面积分别列式表示出S1，S2，S3，再运用勾股定理可得S1+S2=S3．
【详解】（1）解：从整体看，正方形的面积为a+b2，
从部分看，正方形的面积为a2+2ab+b2，
∴a+b2=a2+2ab+b2；
故答案为：a+b2=a2+2ab+b2；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
由题意得S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，
∴S1+S2=S3；
故答案为：S1+S2=S3；
（3）解：成立，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即b2+a2=c2，
∴S2=12πb22=b2π8，S1=12πa22=a2π8，S3=12πc22=c2π8，
∵a2π8+b2π8=πa2+b28=c2π8，
∴S1+S2=S3．
【点睛】此题考查了运用勾股定理解决几何问题的能力，关键是能准确理解题意并列式，运用勾股定理进行推理、求解．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm．
(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．
(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．
【答案】(1)49cm2
(2)正方形A，B，C，D的面积分别为：3969625 cm2，7056625 cm2，12544625 cm2，7056625 cm2
【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理，列方程解答即可．
【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为E，F，G
由勾股定理可得：E正方形的面积=A正方形的面积+B正方形的面积，F正方形的面积=C正方形的面积+D正方形的面积；G正方形的面积=E正方形的面积+F正方形的面积，
∴A，B，C，D四个正方形的面积之和=G正方形的面积=49cm2，
答：A，B，C，D四个正方形的面积之和为49cm2；
（2）解：∵每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3:5，
∴设中间的直角三角形的较短的直角边为3x cm，斜边为5x cm，由题意得：5x=7，解得x=75，
∴较短的直角边为215 cm，另一直角边为285 cm，
设A的边长为3y cm，B的边长为4y cm，则(3y)2+(4y)2=(215)2，解得：y=2125，
∴A的面积是：(3y)2=(6325)2=3969625 cm2；B的面积是：(4y)2=(8425)2=7056625 cm2，
同理：
设D的边长为3z cm，C的边长为4z cm，则(3z)2+(4z)2=(285)2，解得：z=2825，
∴C的面积是；(4z)2=(11225)2=12544625 cm2；D的面积是：(3z)2=(8425)2=7056625 cm2，
答：正方形A，B，C，D的面积分别为：3969625 cm2，7056625 cm2，12544625 cm2，7056625 cm2．
【点睛】本题考查了勾股定理在计算中的应用，数形结合并正确列式是解题的关键．
9．（2022秋·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB=8m，BC=17m，CD=9m，AD=12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
(1)求AC的长；
(2)请说明△ACD是直角三角形；
(3)求需要绿化的空地ABCD的面积．
【答案】(1)15m
(2)见解析
(3)114m2
【分析】（1）由勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；
（3）由S=S△ABC+S△ACD求解即可．
【详解】（1）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴AC=BC2−AB2=172−82=15(m)，
（2）解：∵CD=9m，AD=12m，AC=15m
∴AD2+CD2=122+92=225=AC2，
∴ ∠D=90°，即△ACD是直角三角形，
（3）解：需要绿化的空地ABCD的面积S=S△ABC+S△ACD=12AB⋅AC+12AD⋅CD=12×8×15+12×12×9=114(m2)．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出∠D=90°是解题的关键．
10．（2021秋·山西晋中·八年级校考阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；
S大正方形=_____，还可以表示为_____，
所以可得到_______=______，
化简后最终得到____．
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．
【答案】(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②a2+2ab+b2；c2+2ab；a2+2ab+b2；c2+2ab；a2+b2=c2；
(2)S1+S2=S3
(3)7.5
【分析】（1）①根据勾股定理的内容即可得；
②图1和图2：利用四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和等于大正方形的面积即可得；图3：利用三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积即可得；
（2）根据勾股定理、圆的面积公式即可得；
（3）根据阴影部分的面积等于以两直角边为直径的两个半圆面积与直角三角形的面积之和减去以斜边为直径的半圆面积即可得．
（1）
解：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2）；
故答案为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
②图2：大正方形的面积为(a+b)2=a2+2ab+b2，
还可以表示为：四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为4×12ab+c2=c2+2ab，
所以可得到a2+2ab+b2=c2+2ab，
化简后最终得到：a2+b2=c2；
故答案为：a2+2ab+b2；c2+2ab；a2+2ab+b2；c2+2ab；a2+b2=c2；
（2）
解：设S1对应的直角边长为a，S2对应的直角边长为b，S3对应的斜边长为c，
由圆的面积公式得：S1=π⋅a22=14πa2，
S2=π⋅b22=14πb2，
S3=π⋅c22=14πc2，
由勾股定理得：a2+b2=c2，
则14πa2+14πb2=14πc2，
即S1+S2=S3，
故答案为：S1+S2=S3；
（3）
解：设直角三角形的两直角边长分别为a=3,b=5，斜边长为c，
由（2）可知，14πa2+14πb2=14πc2，
则阴影部分的面积为π⋅a22+π⋅b22+12ab−π⋅c22
=14πa2+14πb2+12×3×5−14πc2
=7.5，
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了勾股定理的定义、证明、以及应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
11．（2022秋·八年级单元测试）如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，所得的两个月形图案AGCE与DHCF（即阴影部分）的面积分别记为S1、S2，△ACD的面积记为S．
(1)求证：S=S1+S2的值．
(2)当AD=6cm时，求S的值．
【答案】(1)详见解析
(2)9cm2
【分析】（1）由勾股定理可得AC2+CD2=AD2，然后确定出S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，从而得出结论；
（2）由等腰直角三角形的面积公式可得出答案．
（1）
证明：∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AC2+CD2=AD2，
∵以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，
∴S半圆ACD=12π⋅14AD2=π8AD2，S半圆AEC=12π⋅14AC2=π8AC2，
S半圆CFD=12π⋅14CD2=π8CD2，
∴π8AC2+π8CD2=π8AC2+CD2=π8AD2，
∴S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，
∴S阴影=SRt△ACD+S半圆AEC+S半圆CFD−S半圆ACD=SRt△ACD，即S=S1+S2．
（2）
解：∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD，且AC2+CD2=AD2，
又∵AD=6cm，
∴AC=CD=32cm，
∴S=12AC⋅CD=12×32×32=9cm2．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记定理是解题的关键．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4．
(1)当AC＝6，BC＝8时，
①求S1的值；
②求S4﹣S2﹣S3的值；
(2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①S1＝9；②S4﹣S2﹣S3的值为9
(2)S4＝S1+S2+S3，理由见解析
【分析】（1）①直接根据勾股定理可得AD的长，由此可得答案；
②利用勾股定理得AE=BE=52，CF=BF=42，设S△BEG=S5，则S4+S5-（S1+S2+S5）=S4-S2-S3即可得答案；
（2）设S△BEG=S5，假设一个等腰直角三角形的斜边为a，则可表示出这个三角形的面积，利用勾股定理及三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）①∵△ACD是等腰直角三角形，AC=6，
∴AD=CD=32，
∴S1=12×32×32=9；
②设AE与BC交于点G，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵△EAB，△FCB是等腰直角三角形，
∴AE=BE=52，CF=BF=42，
设S△BEG=S5，
∴S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3=12×52×52-12×42×42=9；
（2）设S△BEG=S5，如图，
∵等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，
∴S△ADC=14AC2，S△BFC=14BC2，S△ABE=14AB2，
∵AC2+BC2=AB2，
∴14AC2+14BC2=14AB2，
∵S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3，
∴14AB2-14BC2=S4-S2-S3，
∴14AC2=S4-S2-S3，
∴S4+S5＝S1+S2+S5+S3，
∴S4＝S1+S2+S3．
【点睛】此题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的综合和利用．
类型三、勾股数（树）
13．（2022·八年级单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是12（9﹣1），12（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是12（25﹣1），12（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．
【答案】(1)12（49﹣1），12（49＋1）
(2)（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2，证明过程详见解析
(3)m，m22−1,m22+1
【分析】（1）根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证；
（3）发现：股和弦总是相差为2．主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1．
（1）
解：由题意得勾是七时，股和弦的算式分别是：12（49﹣1），12（49＋1）；
（2）
当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，12n2−1,12n2+1，
它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2．
如证明（ⅰ）：弦﹣股＝=12n2+1−12n2−1=12n2+12−12n2+12=1；
如证明（ⅱ）：勾2+股2=n2+14n2−12=n2+14n4−12n2+14=14n4+12n2+14=14n2+12=弦2；
（3）
当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，m22−1,m22+1．
【点睛】本题考查了勾股定理及规律的探索，解决本题的关键是能够根据具体数字发现规律，用字母表示推广到一般．
14．（2022秋·山西晋中·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成文后任务：
清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，4，5的整数倍，设它的面积为S，则第一步：求S6，设等于m；第二步：求m，设等于k；第三步：分别用3，4，5乘以k得三边长分别为3k，4k，5k．
任务：
(1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长．
(2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由．
【答案】(1)12，16，20；
(2)能，理由见解析．
【分析】（1）将S=96，代入k=m=s6，求出k，然后乘以3、4、5，可求出三边长；
（2）设直角三角形的三边上分别为3k、4k、5k，求出其面积即可证明结论．
【详解】（1）解：当S=96时，k=m=S6=966=16=4，
∴三边长分别为3×4=12,4×4=16,5×4=20；
验证：∵3，4，5是勾股数，
设三角形的边长分别为3k,4k,5k，
故S△ABC=12×3k⋅4k=6k2，
∵S=96，
∴6k2=96
k=4或−4（舍去），
其边长分别为12，16，20，
故康熙的“积求勾股法”正确；
（2）解：能，
证明：三边为3､4､5的整数倍，设为k倍，
则三边为3k,4k,5k，而三角形为直角三角形且3k､4k为直角边．
其面积S=12(3k)⋅(4k)=6k2，
∴k2=S6,k=S6(k>0)，
即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．
【点睛】本题主要考查了直角三角形面积的应用，算式平方根的应用，掌握基本概念是求解的关键．
15．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数， 称之为“勾股数”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等．
(1)请你写出另外两组勾股数：6，______，______；7 ，______，______；
(2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（I）如果k是大于1的奇数，那么k，k2−12，k2+12是一组勾股数
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，k22−1，k22+1是一组勾股数
①如果在一组勾股数中，其中有一个数为 12，根据法则（I）求出另外两个数；
②请你任选其中一个法则证明它的正确性．
【答案】(1)8，10；24，25
(2)①5，13，②证明见解析．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）①假设k2−12=12，求出k=5，即可求出另外两个数；②根据勾股定理证明即可．
【详解】（1）解：由勾股定理可知：
62+82=10，72+242=25，
另外两组勾股数为：6，8，10；7，24，25；
故答案为：8，10；24，25；
（2）解：①∵k为奇数，且其中有一个数为 12，故假设k2−12=12，
解得：k=5，k=−5（舍去），
∴k2+12=13，即5，12，13构成一组勾股数，
∴另外两个数为5，13；
②∵k2+k22−12=k2+k24−2k22+1=k24+2k22+1，且k22+12=k24+2k22+1，
∴k2+k22−12=k22+12．
【点睛】本题考查勾股定理中的勾股数问题，解题的关键是理解勾股定理．
16．（2018秋·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
12+1＝2，S1＝12，(2)2+1＝3，S2＝22，(3)2+1＝4，S3＝32
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律．
（2）推算出OA10的长．
（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．
【答案】（1）OAn2＝n ，Sn＝n2；（2）OA10＝10；（3）25252
【分析】（1）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化，
（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出，
（3）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
【详解】解：（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝n2；
（2）∵OAn2＝n，
∴OA10＝10．
（3）S12+S22+S32+...+S1002
＝14+24+34+…+1004
＝1+2+3+4+⋯+1004
＝50504＝25252．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了三角形的面积公式以及图形类规律探究.
17．（2022春·甘肃武威·八年级校考期中）如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：
①（1）2+1＝2，S1＝12；
②（2）2+1＝3，S2＝22；
③（3）2+1＝4，S3＝32
…
（1）请写出第n个等式；
（2）根据式子规律，线段OA10等于多少；
（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．
【答案】（1）（n）2+1＝n+1，Sn＝n2；（2）OA10＝10；（3）S12+S22+S32+…+S102＝554．
【分析】此题为勾股定理的运用，但分析可知，其内部存在一定的规律性，找出其内在规律即可解题，因为∠OA1A2=∠OA2A3=∠OA3A4=∠OA4A5=…=90°，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=…=1，即每个三角形最外的那条直角边均为1，则由图可得出OAn=n.，Sn＝n2,分析到此，即可解题．
【详解】解：（1）①（1）2+1＝2，S1＝12；
②（2）2+1＝3，S2＝22；
③（3）2+1＝4，S3＝32
…
则第n个等式为：③（n）2+1＝n+1，Sn＝n2，
故答案为（n）2+1＝n+1，Sn＝n2；
（2）OA1＝1
OA2＝2，
OA3＝3，
…
则OA10＝10，
故答案为10；
（3）S12+S22+S32+…+S102
＝（12）2+（22）2+（32）2+…+（102）2
＝1+2+⋯+104
＝554．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了学生找规律的能力，本题中找到OAn与n的关系是解题的关键．
18．（2022春·山东德州·八年级校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请写出S1，S2，S3的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=___________．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)①3，②S1+S2=S3
(3)m2
【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，a2+b2+c2+d2=m2．
（1）
解：①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．（或在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即c2=12ab×4+(b−a)2，
化简，得a2+b2=c2．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即(a+b)2=c2+12ab×4，
化简，得a2+b2=c2．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即12(a+b)(a+b)=12ab×2+12c2，
化简，得a2+b2=c2．
（2）
①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
S1=12π×(a2)2=18πa2，S2=12π×(b2)2=18πb2，S3=12π×(c2)2=18πc2，
∴S1+S2=18π(a2+b2)，
∵a2+b2=c2，
∴18π(a2+b2)=18πc2，
∴S1+S2=S3；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2，（等边三角形面积公式：S等边△=34a2，a为边长）
∵S1+S2=34(a2+b2)，a2+b2=c2，
∴34(a2+b2)=34c2，
∴S1+S2=S3；
∴满足S1+S2=S3的有3个，
故答案为：3；
②结论S1+S2=S3；
∵S1+S2=12πa22+12πb22+S3−12πc22
∴S1+S2=18πa2+b2−c2+S3
∵a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3；
故答案为：S1+S2=S3．
（3）
如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：SA+SB=SE，SC+SD=SF，SE+SF=SM，
∴a2+b2=e2，c2+d2=f2，e2+f2=m2，
∴a2+b2+c2+d2=m2
故答案为：m2．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．
类型四、利用勾股定理解方程
19．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B=90°，BC=3，AB=4，CD=5，AD=52．求证：△ACD是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】根据勾股定理得出AC，再进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】证明∶∵∠B=90°,BC=3,AB=4，
∴AC=BC2+AB2=32+42=5,
∵AC=5,CD=5,AD=52，
∴AC2+CD2=50,AD2=50,
∴AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出AC，进而利用勾股定理的逆定理解答．
20．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC,EC．已知AB=2,DE=1,BD=4，设CD=x．
(1)用含x的代数式表示AC+CE的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？最小值是多少？
【答案】(1)22+4−x2+x2+1
(2)当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值是5
【分析】（1）根据线段的和差，可得BC的长，根据勾股定理，可得答案；
（2）根据两点之间线段最短，可得线段AC+CE的最小值为AE的长，根据勾股定理，可得答案．
【详解】（1）解：∵AB⊥BD,ED⊥BD，
∴△ABC,△CDE都是直角三角形，
∵BD=4，CD=x，
∴BC=4−x，
在Rt△ABC,Rt△CDE中，
∴AC=AB2+BC2=22+4−x2，
CE=CD2+DE2=x2+1，
∴AC+CE=22+4−x2+x2+1；
（2）解：当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为AE的长，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴AF∥BD，
∴DF=AB=2，
∴AE=32+42=5，
∴AC+CE的最小值是5．
【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题和勾股定理，解题的关键是掌握轴对称——最短路线问题和勾股定理．
21．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，已知点E在AB上，连纳BF．
(1)求证：△AEC≌△BFC．
(2)苦AE=1,∠AEC=105∘，求BE的长．
【答案】(1)证明见详解；
(2)BE的长是3；
【分析】（1）根据△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，则AC=BC，EC=FC，∠ACE=∠BCF=90°−∠BCE，由此可证△AEC≌△BFC（SAS）；
（2）作EG⊥AC于点G，求出∠GCE=30°，可得AG=EG，CE=2EG，根据AG2+EG2=AE2，可求AG=EG=22，进而可得CE=2，根据勾股定理求出CG=62，则AC=22+62，利用勾股定理求出AB，进而可求出BE的长．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，
∴AC=BC，EC=FC，∠ACE=∠BCF=90°−∠BCE，
AC=BC∠ACE=∠BCFEC=FC，
∴△AEC≌△BFC（SAS）；
（2）作EG⊥AC于点G，则∠AGE=∠CGE=90°，
∵∠AEC=105°，∠A=∠CBA=45°，∠GCE=180°−∠AEC−∠A=30°，
∴AG=EG，CE=2EG，
∵AG2+EG2=AE2，AE=1，
∴2AG2=EG2=12，
∴AG=EG=22，
∴CE=2×22=2，
∴CG=CE2−EG2=22−222=62，
∴AC=AG+CG=22+62，
∴AB=AC2+BC2=2AC2=2AC=2×22+62=1+3，
∴BE=AB−AE=1+3−1=3
∴BE的长是3．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确的作出所需的辅助线是解题的关键．
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD=213
【分析】（1）根据旋转的性质，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根据等边三角形的性质，得出∠ACB=60°，AC=BC，再根据角之间的数量关系，得出∠BCD=∠ACE，再根据“边角边”，得出△BCD≌△ACE，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）连接DE，根据旋转的性质，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根据等边三角形的判定，得出△CDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出∠CDE=60°，DE=CD=6，进而得出∠ADE=90°，再根据勾股定理，得出AE=213，再根据（1）的结论，即可得出答案．
【详解】（1）证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACESAS，
∴AE=BD；
（2）解：如图，连接DE，
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，DE=CD=6，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
在Rt△ADE中，
∴AE=AD2+DE2=16+36=213，
∵AE=BD，
∴BD=213．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，并且正确作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
23．（2022秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置，且BP=2，AP=1．
(1)求PP′的长；
(2)连接CP，若CP=3，求∠APB的度数．
【答案】(1)22；
(2)135°．
【分析】（1）有旋转可知∠CBP′=∠ABP，从而得到∠CBA=∠PBP′=90°，结合已知运用勾股定理求解即可；
（2）在△CPP′中，运用勾股定理逆定理证明∠AP′C=90°，结合旋转和（1）可得∠APB=∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，
△CBP′≌△ABP，
∴∠CBP′=∠ABP，BP′=BP=2，CP′=AP=1，
∴∠CBP′+∠PBC=∠ABP+∠PBC，
∴∠CBA=∠PBP′=90°，
∴PP′=BP2+BP′2=22+22=22；
（2）在△CPP′中，
∵PP′=22，CP=3，CP′=1，
∴PP′2+CP′2=222+12=9，
CP2=32，
∴PP′2+CP′2=CP2，
∴∠AP′C=90°，
由（1）可知△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，
由旋转可知：
∴∠APB=∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C
=90°+45°=135°．
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理即勾股定理的逆定理的运用以及等腰直角三角形的性质；解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
24．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上（不与点B，C重合）．
(1)若△ADC是直角三角形．
①当AD⊥BC时，求AD的长；
②当AD⊥AC时，求CD的长．
(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE=∠B，若△ADE是直角三角形，求CD的长．
【答案】(1)①6；②152；
(2)72或8
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可解答；
②如图，作AE⊥BC于点E，设DE=x，则CD=8+x，根据勾股定理即可得到关于x 的方程，求出x，再根据勾股定理即可解答；
（2）分两种情况：当∠DAE=90°时，如图，同②小题的方法可求出AD=152，再根据勾股定理求出BD，即可求出CD；当∠AED=90°时，根据已知条件和直角三角形的性质可得出AD⊥BC，再由①的结果即得答案．
【详解】（1）解：①当AD⊥BC时，∵AB=AC=10，BC=16，
∴BD=CD=12BC=8，
则在直角三角形ABD中，AD=AB2−BD2=6；
②如图，当AD⊥AC时，作AE⊥BC于点E，则由①知：CE=8,AE=6，
设DE=x，则CD=8+x，
则在直角三角形ADE中，AD2=AE2+DE2=36+x2，
在直角三角形ACD中，AD2+AC2=CD2，
即36+x2+102=8+x2，
解得：x=92，
∴AD=62+x2=152；
（2）∵∠ADE=∠B≠90°，
∴若△ADE是直角三角形，则∠DAE=90°或∠AED=90°，
当∠DAE=90°时，如图，同②小题的方法可求出AD=152，则BD=102+1522=252，
∴CD=16−252=72；
当∠AED=90°时，如图，则∠EAD+∠EDA=90°，
∵∠ADE=∠B，
∴∠EAD+∠B=90°，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
则由①知：CD=AD=8．
综上，当△ADE是直角三角形时，CD的长为72或8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及二次根式的计算，熟练掌握上述知识、正确分类是解题的关键．
类型五、勾股定理逆定理及应用
25．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）金塔县绿化环卫部门为美化环境，要在如图所示的一块四边形ABCD空地种植草皮，工人师傅量得AB=3m，BC=4m，AC=5m，CD=12m，AD=13m，若每平方米草皮需要300元，则需要投资多少元？
【答案】需要投资10800元
【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠B=90°，△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，再求出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=36m2，即可解决问题．
【详解】解：∵AB=3m，BC=4m，AC=5m，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∵CD=12m，AD=13m，122+52=132，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36m2，
∴36×300=10800（元）．
答：需要投资10800元．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
26．（2020秋·江苏南京·八年级校考期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，BC=6，DB=185．
(1)求AD的长．
(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】(1)325
(2)是，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理，求出CD的长，再利用勾股定理求出AD的长；
（2）利用AB=AD+BD，求出AB的长，再利用勾股定理逆定理进行判定即可．
【详解】（1）解：∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵BC=6，DB=185，
∴CD=BC2−DB2=245，
∵AC=8，
∴AD=AC2−CD2=325；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB=AD+BD=325+185=10，AC=8，BC=6，
∴AC2+BC2=100=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
27．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)四边形ABCD的周长=________；
(2)四边形ABCD的面积=________；
(3)∠ABC是直角吗？判断并说明理由．
【答案】(1)17+35+2
(2)13
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出AB、BC、AD的长，再求出周长即可；
（2）根据图形得知△ABC的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积，根据面积公式求出即可；
（3）根据勾股定理的逆定理可判断△ABC的形状．
【详解】（1）由勾股定理得：AB=42+22=25，BC=12+22=5，AD=42+12=17，
∵DC=2，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD
=25+5+2+17=17+35+2，
故答案为：17+35+2；
（2）四边形ABCD的面积=4×4−12×(2×1+2×4+4×1)=9，
故答案为：9；
（3）∠ABC是直角，
理由是：连接AC，由勾股定理得：AC=42+32=5，
∵AB=25,BC=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°，
即∠ABC是直角．
【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是善于把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
28．（2021春·河南新乡·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点C作x轴的垂线，垂足为B，已知点C的坐标为3，3，AC长为2．
(1)求AB的长．
(2)请你判断△OAC的形状，并说明理由．
【答案】(1)AB=1；
(2)△OAC是直角三角形．理由见解析
【分析】（1）由点C的坐标为3，3，知BC=3，利用勾股定理即可求AB的长；
（2）分别求得OC2+AC2=16，OA2=16，利用勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：∵点C的坐标为3，3，
∴OB=3，BC=3，
∴OC=32+32=23，
∵AC长为2．
∴AB=22−32=1；
（2）解：△OAC是直角三角形．
理由：
OA=OB+AB=3+1=4，
∵OC2+AC2=232+22=16，OA2=42=16，
∴OC2+AC2=OA2，
∴△OAC是直角三角形．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
29．（2022秋·河南平顶山·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=25，BC=5，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
【答案】35
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形，然后将两个直角三角形的面积相加即为四边形ABCD的面积．
【详解】解：连接AC，
在Rt△ABC为直角三角形，AB=25，BC=5，
根据勾股定理得：AC2=AB2+BC2=252+52=25，
∴ AC=5．
在△ACD中，AD=13，CD=12，CD2+AC2=122+52=144+25=169=AD2，
∴ △ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
∴ S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD =12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×25×5+12×12×5=35．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大，此题的突破点是连接AC，求出两个三角形的面积，二者相加即可．
30．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=n2+1，BC=n2−1，AC=2n.
(1)试判断△ABC的形状，并证明：
(2)当n=2时，点D从A出发，以1个单位/秒的速度沿折线A→B→C→A运动，设运动时间为t秒，
①当BD平分∠ABC时，求t的值：
②当点D落在边AB的垂直平分线上时，求t的值；
③在整个运动过程中，直接写出△BCD为等腰三角形时t的值.
【答案】(1)△ABC是直角三角形
(2)①t=9.5秒；②t=2.5秒或t=8.875秒；③t=2秒或11秒或2.5秒或1.4秒
【分析】（1）根据所给数据可得AB2=BC2+AC2，即可判断△ABC的形状；
（2）①根据题意作出图形，再过点D作DE⊥AB，垂足为E，可发现Rt△BCD≌Rt△BED，设CD=DE=x，则AD=4−x，AE=2，通过△AED是直角三角形建立方程解答即可；②根据题意作出图形，分两种情况：点D在AB中点；点D在AC上．当点D在AB中点时，此时AD=12AB即可解答；当点D在AC上时，连接BD，设CD″为x，则BD″=AD″=4−x，根据△BCD是直角三角形列出方程即可解答；③由题意可知，当点D在AB上，且BD=BC；当点D在AC上，BC=CD；当点D在AB上，且过BC的垂直平分线，BD=CD；当点D在AB上，BC=CD；分别求出四种情况的t值即可．
【详解】（1）解：AB2=(n2+1)2=n4+2n2+1，
BC2=(n2−1)2=n4−2n2+1，
AC2=(2n)2=4n2，
则BC2+AC2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：当n=2时，AB=5，BC=3，AC=4，
①如图，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
BD=BDCD=DE，
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BE=BC=3，
设CD=DE=x，
∴AD=4−x，AE=5−3=2，
在Rt△AED中，有DE2+AE2=AD2，
∴x2+22=(4−x)2，
∴x=32=1.5，
此时，AB+BC+CD=5+3+1.5=9.5，
∴t=9.5÷1=9.5（秒）；
②如图，D′D″垂直平分AB，
点D可能在点D′处，也可能在点D″处，
当点D在点D′处时，
AD′=12AB=2.5，
t=2.5÷1=2.5（秒），
当点D在D″处时，
连接BD″，∵D′D″垂直平分AB，
∴BD″=AD″，
设CD″为x，
则BD″=AD″=4−x，
在Rt△BCD″中，有BC2+CD″2=BD″2，
∴32+x2=(4−x)2，
∴x=78=0.875，
AB+BC+CD″=5+3+0.875=8.875，
∴t=8.875÷1=8.875（秒），
综上，t=2.5秒或t=8.875秒；
③当点D在AB上，BD=BC时，
此时AB=5−3=2，
∴t=2÷1=2（秒），
当点D在AC上，BC=CD时，
此时AB+BC+CD=5+3+3=11，
∴t=11÷1=11（秒），
当点D在AB上，且过BC的垂直平分线，BD=CD时，如图，
此时点D为AB的中点，AD=2.5，
∴t=2.5÷1=2.5（秒），
当点D在AB上，BC=CD时，
如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H，
∵ S△ABC=3×4×12=6，
S△ABC=12×AB×CH=12×5×CH=6，
∴CH=125，
∵AD=t，
∴BD=5−t，
∴DH=5−t2，
在Rt△CDH中，有DH2+CH2=CD2，
∴ 5−t22+1252=9，
∴t=75=1.4或435（舍去），
综上，t=2秒或11秒或2.5秒或1.4秒．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义，掌握勾股定理及其逆定理、灵活运用分类讨论思想是解题关键．
类型六、勾股定理的证明
31．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）在一次数学实践活动中，小明同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为b，较短的直角边长为a，大正方形边长为c．请你直接写出a，b，c之间的关系；并说明理由．
【答案】c2=a2+b2，见解析
【分析】根据图形可得四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，进而可以解决问题．
【详解】c2=a2+b2.
理由如下：
∵S小三角形=12ab，S小正方形=b−a2
∴c2=S大正方形=4⋅12ab+b−a2
=2ab+a2－2ab+b2
=a2+b2
【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，根据图形得到四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积是解题关键．
32．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）在学习勾股定理时，我们学会运用图(I)验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：(a+b)2，也可表示为：c2+4⋅12ab，即(a+b)2=c2+412ab由此推出勾股定理a2+b2=c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)；
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证(x+y)2=x2+2xy+y2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，即可证明；
（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成；
【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积为：c2，
中间小正方形面积为：(b−a)2，
四个直角三角形面积和为：4×12ab，
由图形关系可知：大正方形面积=小正方形面积+四直角三角形面积，
则有：c2=(b−a)2+4×12ab=b2−2ab+a2+2ab=a2+b2，
即：c2=a2+b2；
（2）如图示：
大正方形边长为(x+y)
所以面积为：(x+y)2，
因为它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2，
所以有：(x+y)2=x2+2xy+y2成立．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握完全平方公式是解题的关键．
33．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AE=CD=a，AB=ED=b，BE=CE=c．
(1)填空：∠BEC=______°，根据三角形面积公式，可得△BEC的面积=______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得△BEC的面积=______．
(2)求证：a2+b2=c2．
【答案】(1)90，12c2，12c2
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；
（2）用两种不同的方法表示梯形ABCD的面积，计算化简后，即可得出a2+b2=c2．
【详解】（1）解：∵AE=CD=a，AB=ED=b，BE=CE=c，
∴△BAE≌ △EDCSSS，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC的面积=12BE⋅CE=12c2，
由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得△BEC的面积=12a+ba+b−2×12ab=12a2+2ab+b2−ab=12a2+b2+ab−ab=12c2，
故答案为：90，12c2，12c2；
（2）证明：∵Rt△ABE≌ Rt△DEC，
∴∠AEB=∠DCE，BE=EC=c，
∵∠D=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△CDE+SRt△BEC，
∴AB+CD⋅AD2=AE⋅AB2+ED⋅DC2+BE⋅EC2，
即a+ba+b2=ab2+ba2+ca2，
∴a2+2ab+b22=c2+2ab2，
∴a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键．
34．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【答案】(1)c2=a2+b2
(2)见解析
(3)m2+n22
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形ABCD的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积=c2，大正方形的面积=4×12×a×b+b−a2，
∴c2=4×12×a×b+b−a2，
∴c2=a2+b2，
故答案为：c2=a2+b2；
（2）证明：如图：连接BD，
∵Rt△ABC≌Rt△DAE，
∴∠ADE=∠BAC，
∴∠DAE+∠ADE=90°=∠DAE+∠BAC，
∴∠DAB=90°，
∵S四边形ABCD=12c2+12ab−a， S四边形ABCD=2×12ab+12bb−a，
∴12c2+12ab−a=2×12ab+12bb−a，
∴c2=a2+b2；
（3）解：由题意可得：CE=CD+DE，GH=AG−AH，
∴m=a+b，n=b−a，
∴a=m−n2，b=m+n2，
∴BD2=BC2+CD2=a2+b2=m2+n22，
∴正方形BDFA的面积为m2+n22．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
35．（2022秋·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）公股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板 ABC和直角三角板DEF ，顶点F在BC边止，项点C、D重合，连接AE 、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a ，AC=DF=b （a>b ），AB=DE=c． 请你回答以下问题：
(1)请猜想AB与DE的位置关系，并加以证明．
(2)填空：S四边形ADBE =___________（用含有c的代数式表示）
(3)请尝试利用此图形证明勾股定理．
【答案】(1)AB⊥DE，见解析
(2)12c2
(3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠EDF=∠CAB ，求得∠ACE+∠CAB=90∘ ，得到∠AGC=90∘ ，根据垂直的定义可得AB⊥DE．
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
（3）根据三角形面积和梯形面积公式用两种方法求得四边形ACBE 的面积，可得到结论．
【详解】（1）解：AB⊥DE
证明：∵△ABC≌△DEF
∴∠EDF=∠CAB
∵∠EDF+∠CAE=90∘
∴∠ACE+∠CAB=90∘
∴∠AGC=90∘
∴∠AGE=180∘−∠AGC=90∘
∴DE⊥AB
（2）解：∵DE⊥AB
∴S四边形ADBE=S△ACB+S△ABE
=12AB⋅DG+12AB⋅EG
=12AB(DG+EG)
=12AB⋅DE=12c2
故答案为：12c2
（3）解：∵ S四边形ACBE =S△ACB+S△ABE
=12AB⋅DG+12AB⋅EG
=12AB⋅(DG+EG)
=12AB⋅DE=12c2
∴S四边形ACBE=S四边形ACFE+S△EFB
=12×(AC+EF)⋅CF+12BF⋅EF
=12(b+a)b+12(a−b)a
=12b2+12ab+12a2−12ab
=12a2+12b2
∴12c2=12a2+12b2
即a2+b2=c2
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的计算，全等三角形的性质，正确识别图形是解题的关键．
36．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b−a2，从而得到等式c2=12ab×4+b−a2，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
【答案】(1)见解析
(2)655
(3)x=94
【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2+b2=c2；
（2）计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高；
（3）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；
【详解】（1）证明：∵S四边形ABCD=12c2，S梯形AEDC=12b+ab，S△BED=12a−ba，
S四边形ABCD=S梯形AEDC+S△BED
∴12c2=12b+ab+12a−ba
∴12c2=12b2+12ab+12a2−12ab
∴a2+b2=c2
（2）S△ABC=4×4−12×2×4−12×2×4−12×2×2=6，
AB=22+42=25，
∵S△ABC=12AB×ℎ=12×25ℎ=6，
∵ℎ=655
即AB边上的高是655
（3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得
AD2=AB2−BD2=42−x2=16−x2
∵BD+CD=BC=6，
∴CD=BC−BD=6−x
在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD2=AC2−CD2=52−6−x2=−11+12x−x2
∴16−x2=−11+12x−x2，
∴x=94
【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
类型七、勾股定理与弦图问题
37．（2022秋·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2的值．
【答案】(1)见解析
(2)CD=125
(3)25
【分析】（1）分别用两种方法求出大正方形的面积，根据面积相等列等式，即可证明；
（2）先根据勾股定理求出AB，再根据等面积法即可求解；
（3）根据（1）的结果，可得c2=a2+b2=13，b−a2=a2+b2−2ab=1，即有a2+b2−a2+b2−2ab=2ab=13−1=12，则问题得解．
【详解】（1）∵S大正方形=c2，S小正方形=b−a2，4个直角三角形的面积为：S=4×12ab=2ab，
又∵S大正方形=S小正方形+S，
∴c2=2ab+b−a2=2ab+b2−2ab+a2=a2+b2，
即c2=a2+b2；
（2）由勾股定理得：BC2+AC2=AB2，AC=4，BC=3，
∴32+42=AB2，
∴AB=5，
∵S△ABC=12×AC×BC=6，
又∵S△ABC=12×AB×CD，
∴12×AB×CD=12×AC×BC=6，
∵AB=5，
∴CD=6×2AB=125；
（3）根据（1）有：S大正方形=c2，S小正方形=b−a2，c2=a2+b2，
又∵S大正方形=c2=13，S小正方形=b−a2=1，
∴c2=a2+b2=13，b−a2=a2+b2−2ab=1，
∴a2+b2−a2+b2−2ab=2ab=13−1=12，
∴a+b2=a2+b2+2ab=13+12=25，
即值为25．
【点睛】本题考查了勾股定理的验证，勾股定理以及完全平方公式的知识，理解并灵活运用等面积法是解答本题的关键．
38．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD=2cm，则徽标的外围周长为________cm．
【答案】(1)见解析
(2)52
【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明；
（2）设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有a−b=3，4×12ab+1=113，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c，
∴正方形的面积等于c2，
∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为a−b的小正方形组成的，
∴正方形的面积为：4×12ab+a−b2=a2+b2，
∴c2=a2+b2；
（2）解：设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，
根据题意得，a−b=3，4×12ab+1=113，
又∵c2=a2+b2
=a−b2+2ab
=32+112
=121
∴c=11cm，
故徽标的外围周长为：4×11+2=52cm．
故答案为：52．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键．
39．（2022秋·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3=20，则S2= ．
【答案】(1)证明见详解
(2)“勾股风车”图案的面积为24
(3)5
【分析】（1）根据图形可知S大正方形=4S△ABC+S小正方形，由此即可求解；
（2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知OC=3，则可求出直角三角形的两条直角边，由此即可求出“勾股风车”图案的面积；
（3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，S1+2S2+S3=20，设直角三角形的两条直角边分别为m，n，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：由图①可知S大正方形=4S△ABC+S小正方形，
∵S大正方形=c2，S△ABC=12ab，S小正方形=(a−b)2，
∴c2=4×12ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2，
即c2=a2+b2．
（2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，设AC=x，
∴4AB+4AC=24，即4AB+4x=24，
∴AB=6−x，
在Rt△OAB中，AB2=OB2+OA2，OB=OC=3，OA=OC+AC=3+x，
∴(6−x)2=32+(3+x)2，解方程得，x=1，即AC=1，
∴OA=3+1=4，OB=3，
∴S△OAB=12×3×4=6，
∴“勾股风车”图案的面积是6×4=24．
（3）解：设AE=m，AH=n，
∴S1=4×12mn+m2+n2，S2=m2+n2，S3=(n−m)2=n2−2mn+m2，
∴S1+2S2+S3=2mn+m2+n2+2m2+2n2+m2−2mn+n2=4m2+4n2=4S2=20，
∴S2=5．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键．
40．（2022春·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．如图，由4个全等的直角三角形(RtΔAFB≅RtΔBGC ≅RtΔCHD≅RtΔDEA)和与一个小正方形EFGH恰好拼成一个大正方形ABCD，每个直角三角形的两条直角边分别为a，ba