2024春七下数学第8章整式乘法与因式分解集训课堂练素养因式分解的七种常见应用课件（沪科版）

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第8章　整式乘法与因式分解沪科版七年级下集训课堂第8章练素养　因式分解的七种常见应用答 案 呈 现习题链接B　　因式分解是整式恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是互逆的过程，是代数式恒等变形的重要手段，在有理数的计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用.应用1 简便计算1.利用因式分解计算：(1)1012＋492＋101×98；【解】原式＝1012＋2×101×49＋492＝(101＋49)2＝1502＝22 500.(2)8002－1 600×798＋7982；【解】原式＝(800－798)2＝22＝4.(3)3.142＋6.28×6.86＋6.862.【解】原式＝(3.14＋6.86)2＝102＝100.应用2 化简求值2.[2023·十堰]若x＋y＝3，xy＝2，则x2y＋xy2的值是 ⁠.6　(1)[2022·衡阳](a＋b)(a－b)＋b(2a＋b)，其中a＝1，b＝－2.【解】原式＝a2－b2＋2ab＋b2＝a2＋2ab＝a(a＋2b)，当a＝1，b＝－2时，原式＝1×(1－4)＝－3.3.先化简，再求值：(2)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值.【解】原式＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2.当x－y＝1，xy＝2时，原式＝2×12＝2.应用3 判断整除4.[2023·河北]若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能(　B　)B【点拨】(2k＋3)2－4k2＝4k2＋12k＋9－4k2＝12k＋9＝3(4k＋3)，因为k为任意整数，所以(2k＋3)2－4k2的值总能被3整除.故选B.【解】能被4整除.理由如下：(n＋1)2－(n－1)2＝(n＋1＋n－1)(n＋1－n＋1)＝4n，因为当n为整数时，4n能被4整除，所以当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除.5.(母题：教材P87复习题C组T4)当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除吗？请说明理由.6.先阅读下列材料，再解决问题.材料：因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，所以(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除.所以x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－6＝0.(1)【类比思考】因为(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋5x＋6能被 整除，所以 是x2＋5x＋6的一个因式，且当x＝ 时，x2＋5x＋6＝0；x＋2或x＋3　x＋2或x＋3　－2或－3　(2)【拓展探究】根据以上材料，若多项式x2＋mx－14能被x＋2整除，试求m的值.【解】因为x2＋mx－14能被x＋2整除，所以当x＝－2时，x2＋mx－14＝0.所以(－2)2＋m×(－2)－14＝0，解得m＝－5.应用4 判断三角形的形状7.已知a，b，c为三角形ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝c2＋2ac.(1)试判断三角形ABC属于哪一类三角形；【解】因为b2＋2ab＝c2＋2ac，所以(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0，所以(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0，所以(b－c)(b＋c＋2a)＝0.易知b＋c＋2a＞0，所以b－c＝0，即b＝c.所以三角形ABC是等腰三角形.(2)若a＝4，b＝3，求三角形ABC的周长.【解】由(1)可知b＝c＝3，所以三角形ABC的周长为a＋b＋c＝4＋3＋3＝10.应用5 比较大小8. [新考法 作差法]已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较P，Q的大小.【解】P－Q＝(2x2＋4y＋13)－(x2－y2＋6x－1)＝x2－6x＋y2＋4y＋14＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1.因为(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0，所以P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1≥1，所以P＞Q.应用6 判断正负9.若正数a，b，c满足条件：其中任意两个数之和大于第三个数，试说明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负.【解】(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c).根据题意得a＋b＋c＞0，a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，则(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.故(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负.应用7 探究规律10.[2022·安徽]观察以下等式：第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，….按照以上规律，解决下列问题：(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并说明理由.【解】第n个等式为(2n＋1)2＝[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2.理由如下：等式左边：(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1，(1)写出第5个等式： ⁠ ⁠；(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2　等式右边：[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2＝[(n＋1)·2n＋1＋(n＋1)·2n]·[(n＋1)·2n＋1－(n＋1)·2n]＝[(n＋1)·4n＋1]×1＝4n2＋4n＋1，故等式(2n＋1)2＝[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2成立.