南京市玄武区2022-2023学年七年级下学期数学期末试卷（含答案解析）

这是一份南京市玄武区2022-2023学年七年级下学期数学期末试卷（含答案解析），共23页。试卷主要包含了如图，，点是外一点，若，，则______等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共6页，考试时间为100分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干争后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效。
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题（本大题共6小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列计算结果为a6的是（）
A．B．C．D．
2．关于的二元一次方程的一个解是，则的值为（）
A．B．C．D．
3．若，则下列不等式不成立的是（）
AB．C．D．
4．如图，在中，，过点的直线，若，则的度数是（）
A．B．C．D．
5．从地到地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为，平路速度为，下坡速度为．已知他从地到地需用，从地返回地需用．问从地到地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数、，且列出一个方程为，则另一个方程是（）
A．B．C．D．
6．如图，，点是外一点（点不在直线、、上），连接、．若，，，对于①；②；③；④，则的度数可能是（）
A．①②B．②③④C．①②③D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首西方世界的技术封锁，已知7nm=0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为________．
8．分解因式a3-4a的结果是 ______________．
9．如图，直线与相交，，，要使直线与平行，则直线绕点顺时针旋转的角度至少是______°．
10．若，，则______．
11．一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和为______．
12．如图，直角三角形沿方向平移至三角形的位置，若三角形面积是5，平移的距离是的2倍，则图中四边形的面积为___________．
13．由方程组可得______．（用只含x的代数式表示）
14．已知关于的不等式的正整数解有且只有2个，则的取值范围为______．
15．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2=30°．则ACDE；②∠2+∠CAD=180°；③如果BCAD，则有∠2=60°；④如果∠CAD=150°，必有∠4=∠C；其中正确的结论有____________．
16．如图，在中，点分别在上，，，、相交于点．若的面积为，则四边形的面积是______．（用含的代数式表示）
三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；（2） .
18．分解因式：
（1）；（2）．
19．解方程组
20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出．
21．请把下面的证明过程补充完整．
已知：如图，是的高，点在上，在上，，．
求证：
证明：∵是的高．
∴（三角形高线的定义）．
∴（）．
∴（直角三角形两个锐角互余），
又∵（已知），
∴（）．
又∵（已知），
∴（）．
∴（）．
22．3台大收割机和1台小收割机同时工作4小时共收割小麦公顷，2台大收割机和3台小收割机同时工作3小时共收割小麦公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
23．如图，在数轴上，点A、B分别表示数，，且点在点的左侧．
（1）求的取值范围；
（2）若点表示的数是关于的不等式的解，求的整数解．
24．如图，在中，，是线段延长线上的动点，在线段上取一点，使．
（1）当点在线段上时，且，求的度数；
（2）若，且是直角三角形，则______
25．某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
（1）求甲、乙两种水果进价；
（2）第一次和第二次购进水果全部售完后，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元；
①求购进的甲种水果至少为多少千克？
②第三次购进的甲、乙两种水果的售价分别为22元/千克、35元/千克．由于失水和腐烂，甲种水果减少了千克，乙种水果减少了千克．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润为1134元，则常数的值为______．
26．定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．
（1）已知四边形是对补四边形．
①若，则______°．
②如图①，、的平分线分别与相交于点，且．求证：；
（2）如图②，在四边形中，对角线交于点，且平分，，平分，与交于点，且于点，则四边形是对补四边形吗？请说明理由；
（3）已知四边形ABCD是对补四边形，其三个顶点A，B，C，D如图③所示，连接AB，AD．若AE平分∠BAD，CE平分∠BCD，且直线AE，CF交于点O（与点C不重合），请直接写出∠AOC与∠D之间的数量关系．
进货批次
甲种水果（单位：千克）
乙种水果（单位：千克）
总费用（单位：元）
第一次
80
50
2500
第二次
40
70
2420
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．C
【解析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．B
【解析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
3．C
【解析】根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：，
，
选项A不符合题意；
，
，
选项B不符合题意；
，
，
，
选项C符合题意；
，
，
选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．B
【解析】根据平角的定义求出，根据，求出，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
5．D
【解析】设A地到B地的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合从A地到B地需35分钟已经列出一个方程，再根据从B地到A地需24分钟，即可得出关于，的另一个二元一次方程．
【详解】解：设A地到B地的上坡路长，平路长，
根据题意得：，
∴另一个方程为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．D
【解析】根据点P与的位置关系，分情况画出可能的图形，利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质求解即可作出判断．
【详解】解：如图1，则，
∴，则①正确；
如图2，延长交于点O，则，，
∴，故②正确；
如图3，延长交于点O，则，，
∴，故③正确；
如图4，则，，
∴，
∴，故④正确，
综上，的度数可能是①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．
二、填空题（本大题共10小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．7×10-7
【解析】
【分析】直接用科学记数法的形式表示即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，要熟记科学记数法的形式为，其中，n是正整数，且n等于原数中左边第一个非0数的左边所有0的个数（包括整数位0）．
8．a（a+2）（a-2）
【解析】
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2），
故答案为：a（a+2）（a-2）．
【点睛】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9．25
【解析】
【分析】要使，则，根据已知条件即可确定旋转的度数．
【详解】解：当时，，
又，，
，
直线顺时针旋转的度数至少是，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
10．
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则和幂的乘方变形，代入运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，解答本题的关键是掌握运算法则的逆用．
11．1080°##1080度
【解析】
【分析】先根据外角和与外角的度数求出多边形的边数，再根据多边形内角和公式 (n−2)×180° 计算即可．
【详解】解：∵多边形的每一个外角都为45°，
∴它的边数： 360°÷45°=8 ，
∴它的内角和： (n−2)×180°=(8−2)×180°=1080° ，
故答案为：1080°．
【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和，关键是正确计算多边形的边数．
12．15
【解析】
【分析】先根据平移性质得到，再由平移的距离是的2倍，得到，则，再根据平行线间间距相等结合三角形面积公式求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
由平移的性质可得，
∵平移距离是的2倍，
∴，
∴，
∵三角形面积是5，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平移的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
13．##
【解析】
【分析】方程组消去，用表示出即可．
【详解】解：，
将代入中得：，
解得：．
故答案：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及解二元一次方程，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．
【解析】
【分析】先解不等式，再根据题意列出不等式组求解．
【详解】解：解关于的不等式得：，
由题意得：不等式的正整数解为：1，2，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，掌握解不等式的方法是解题的关键．
15．①②④
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④．
【详解】解：∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴ACDE，故①正确；
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；
∵BCAD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°-45°=45°，故③错误；
∵∠D=30°，∠CAD=150°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴ACDE，
∴∠4=∠C，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
16．
【解析】
【分析】连接，根据和同高，和同高可得，，则，，再根据和同高，和同高得，，然后设，，，根据上述的等式列出关于，，的等式可得出，由此得，，据此可得出答案．
【详解】解：连接，
，
，
和同高，和同高，
，，
，，
，
，
和同高，和同高，
，，
，，
设，，，
由，得：，
由，得：，
由，得：，
即：，整理得：，
由，得：，
即：，整理得：，
，
，
，整理得：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积，解答此题的关键是准确识图，理解同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于底边的比，难点是设置适当的未知数，结合图形找出各个三角形面积之间的关系．
三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）化简零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法、有理数乘方，然后计算；
（2）利用完全平方公式、多项式乘以多项式进行计算．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查实数的运算、整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】此题考查了提公式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．
【解析】
【分析】利用代入消元法求解即可．
【详解】解：，
由①，得③，
将③代入②，得，
解这个一元一次方程，得，
将代入③，得，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法求解二元一次方程组是解题的关键．
20．，数轴见解析
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，可得解集，再在数轴上表示出来．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集是．
在数轴上表示如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．垂直的定义；；同角的余角相等；等量代换：内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据垂线的定义得到，可得，利用同角的余角相等得到，等量代换可知，最后根据内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】证明：∵是的高．
∴（三角形高线的定义）．
∴（垂直的定义）．
∴（直角三角形两个锐角互余），
又∵（已知），
∴（同角的余角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，余角的性质，三角形高的定义，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
22．1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦公顷和公顷
【解析】设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦公顷和公顷，根据题意，列出方程组求解．
【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦公顷和公顷．
由题意得：，
解得：，
答：1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦公顷和公顷．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．
23．（1）（2）0，1
【解析】
【分析】（1）根据数轴得出关于的不等式，解不等式即可；
（2）先求出不等式的解集，然后根据点、表示的数是关于的不等式的解，得出，求其整数解即可．
【小问1详解】
解：数轴上点在点的左侧，
，
解得；
【小问2详解】
不等式的解集为，
又点、表示的数是关于的不等式的解，
，
解得，
又，．
又是整数，
的值为0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，能够理解题意，结合数轴得出关于的不等式是解题的关键．
24．（1）（2）或
【解析】
（1）根据三角形外角的定义与角的和差关系求解，即可得到答案；
（2）先利用三角形内角和定理，得到，再分两种情况讨论：①当时；②当时，利用三角形内角和定理与三角形外角的定义分别求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：，，
，
是的外角，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
①如图，当时，
，
，
，
，
是的外角，
，
；
②如图，当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
综上可知，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，根据图形找出角度之间的数量关系是解题关键．
25．（1）甲种水果的进价是15元，乙种水果的进价是26元
（2）①至少为；②
【解析】
（1）设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元，列出方程组求解即可；
（2）①设购进的甲种水果为，则有：，即可求解；②利润为，值最小时，利润最大，从而得解．
【小问1详解】
解：设甲种水果的进价是每千克元，乙种水果的进价是每千克元．
由题意得：，
解得：，
答：甲种水果的进价是15元，乙种水果的进价是26元．
【小问2详解】
①设购进的甲种水果为，则有：
，
解得，
答：购进的甲种水果至少为．
②设利润为元，
，
整理得：，
所以，当时，最大为1134；
即：，
解得：，
所以的值为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组及不等式的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题．
26．（1）①115；②见解析（2）四边形是对补四边形，见解析（3）
【解析】
【分析】（1）①由对补四边形的定义进行计算即可得到答案；②由对补四边形的定义及角平分线的定义可得，由同角的余角相等可得，从而即可得证；
（2）由角平分线的性质、三角形外角的定义以及同角的余角相等可求得，从而即可得到四边形是对补四边形；
（3）根据题意画出图形，再根据对补四边形的定义、角平分线的性质、四边形的内角和为，以及三角形外角的定义，进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：（1）①四边形是对补四边形，
，
，
，
故答案为：115；
②如图，
，
又∵四边形是互补四边形，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：四边形对补四边形，
理由：如图，
，
∵是的外角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴．
又∵，
∴，
∵、分别平分，
∴，，
∴，
∴四边形是对补四边形；
【小问3详解】
解：根据题意画出图如图所示：
，
四边形是对补四边形，
，
平分，平分，
，
，，，，，
，
三个顶点位置固定，且四边形是对补四边形，
只有一种情况，即．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形外角的定义、同角的余角相等等知识点，熟练掌握角平分线的性质、三角形外角的定义、同角的余角相等，理解对补四边形的定义，是解题的关键．