广西贵港市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，先确定出集合A的元素，再根据交集的运算法则算出答案．
【详解】根据题意，可得，
因为，所以．
故选：D．
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的运算法则、几何意义直接求解．
【详解】，
复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：A
3. 在数列中，已知，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求出，解决问题即可.
【详解】由，，取倒数得：，
则是以为首项，为公差的等差数列．
所以，所以；
由于，故．
故选：C.
4. 已知为第四象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数的关系求解．
【详解】由题意，，又，联立可得．
又为第四象限角，则．
故选：C．
5. 过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得.
【详解】设，，则，
两式作差得，，
当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；
当时，得．
设线段中点，因为坐标，且过焦点，
所以，
则的斜率，
解得．
故选：A.
6. 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知，则是（ ）
A. 9位数B. 10位数C. 11位数D. 12位数
【答案】B
【解析】
【分析】利用及指数与对数的转化计算即可.
详解】记，则，
则，则，
故是10位数．
故选：B
7. 如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，构造正三角形周长满足的等比数列，结合等比数列前项和公式及指数不等式进行求解.
【详解】由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列.
设最小的正三角形的边长为米，
则，则，即，得，
故最小的正三角形的边长为米.
故选：B.
8. 如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，可设，结合椭圆定义以及得，再结合余弦定理知识求得等量关系式，则椭圆的离心率可求.
【详解】由，可设，则，
由对称性知，
由题可知，则，
由椭圆的定义知，则，
在中，，
则，整理得，故的离心率为.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 的公差为1B. 的公差为2
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A，B；根据等差数列通项公式以及前n项和公式即可判断C，D.
【详解】设的公差为d，由，，得，
解得，故A正确，B错误；
，，C，D正确.
故选：ACD
10. 已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先根据题意得到曲线为，直线为，再根据当，，，时，曲线及直线的横截距与纵截距的关系即可逐项判断．
【详解】因为，所以曲线为，直线为，
当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确．
故选：BD．
11. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】化简，利用余弦函数的性质对各个选项逐一分析可得答案．
【详解】
，
对于AB，当时，，
的图象关于点对称，故 A正确，B不正确；
对于C，当时，，
在上单调递减，故 C正确；
对于D，的最小值为，故D不正确．
故选：AC．
12. 已知为正方体所在空间内一点，且，，则（ ）
A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 存在唯一的，使得平面平面
D. 存在唯一的，使得
【答案】AB
【解析】
【分析】对A：由可得点在线段上，建立空间直角坐标系后由坐标计算即可得；对B：借助线面平行得到三棱锥的高为定值，由底面积亦为定值，故体积为定值；对C：由题意可得平面，故C错误；对D：借助空间向量计算即可得.
【详解】以坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，,
因为，故，
即有，即，故点在线段上，有，
则有，，
则，故，故A正确；
由点线段上，且，又平面，
平面，故平面，故点到平面距离不变，
故三棱锥的体积为定值，故B正确；
在正方体中，平面，，
又平面，故，又平面，
且平面，故平面，又平面，
故平面平面恒成立，故C错误；
，
故，
由，得，方程无解，
故不存在实数，使得，故D错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若单位向量，满足，则 ______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据平面向量的模长公式，根据数量积的运算律，可得答案.
【详解】因为、是单位向量，所以，
又因为，所以，
解得．
故答案为：．
14. 已知函数是奇函数，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解．
【详解】因为是奇函数，则，
所以
即，则，
经检验，满足题意.
故答案为：．
15. 若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用圆关于直线对称可知该直线过圆心，可得，再利用定点到圆上点距离的最值的求法即可求得结果.
【详解】由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，
则，解得，
则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为，
易知圆心与的距离为，
故点与该圆上任意一点的距离的最小值为．
故答案为：1
16. 若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则______.
【答案】24
【解析】
【分析】根据韦达定理得，根据等比数列性质求得，再根据等差数列的性质求得，即可得解.
【详解】由题可知，则，
这三个数可适当排序后成等比数列，则3必是等比中项，则，
这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项，
若是等差中项，则，解得，
则，故，
若是等差中项，则，解得，
则.故.
故答案为：24
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 的内角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边求解；
（2）利用余弦定理与三角形的面积公式求解．
【小问1详解】
，，则．
又，所以．
【小问2详解】
，，
因为，则，
故的面积．
18. 已知四边形的三个顶点，，．
（1）求过A，B，C三点的圆的方程．
（2）设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据斜率分析可知，结合直角三角形的外接圆的性质分析求解；方法二：设圆的一般方程，代入A，B，C三点运算求解即可；
（2）利用向量关系求得.方法一：根据题意可知直线l过线段的中点，再利用直线的两点式方程运算求解；方法二：设l与相交于点，可知，利用向量关系求得点，再利用直线的两点式方程运算求解.
【小问1详解】
方法一：因为，，，
则，，
由，得，
则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点，
半径，
所以过A，B，C三点的圆的方程为；
方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为，
则，解得，
故过A，B，C三点的圆的方程为，即.
【小问2详解】
设，
由题意可得：，，
因为线段上靠近点A的三等分点为E，则，
则，解得，即．
方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点，
所以直线l的方程为，整理得；
方法二：设l与相交于点，则，
由直线l平分四边形的面积，可得，
则，解得，即，
所以直线l的方程为，整理得.
19. 杭州亚运会期同，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值及这组数据的第百分位数；
（2）按分层陆机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为可求出的值，再利用百分位数的定义求这组数据的第百分位数即可；
（2）利用古典概型概率公式求解．
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，，
解得，
因为，，
所以这组数据的第百分位数位于，设其为，
则，
解得，即这组数据的第百分位数为；
【小问2详解】
由题可知，从分数在内的学生中抽取人，记为，，
则分数在内的学生中抽取人，记为，，，，
从中任选人，则所有可能结果有：，，，，，，，，
，，，，，，共个，
满足这人成绩之差的绝对值大于分的有，，，，，，，共个，
故所求的概率．
20. 如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且．
（1）求的长;
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合垂直关系，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，利用计算出的长度即可；
（2）利用向量法求出平面的法向量与平面的法向量，进而求出二面角的正弦值即可.
【小问1详解】
因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．
设，由，得，，，．
因为F是的中点，所以，则，．
又，所以，
解得，故．
【小问2详解】
由（1）可知，，则，，．
设平面的法向量为，
则，令，得．
设平面的法向量为，
则，令，得．
所以，
故二面角的正弦值为．
21. 已知数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；
（2）先求数列的通项公式，然后利用错位相减求和即可求解．
【小问1详解】
当时，，
当时，由，得，
则，
因为，所以；
【小问2详解】
由（1）可知，，
则，
则，
则


，
所以．
22. 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
【答案】22. 椭圆的离心率为，双曲线的离心率为
23. 证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解；
（2）由（1）可知，联立方程求点的坐标，结合斜率公式分析证明.
【小问1详解】
椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率．
【小问2详解】
由（1）可知，椭圆，
因为，所以直线的方程为．
联立方程组，整理得，
则，则，
可得，即，
因为，，，
则，，
故．
【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法
解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．