江苏省常州市钟楼区明德实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况
【详解】解：∆，
所以方程无实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2-4ac；当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．
3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=40°，则∠D的度数为（ ）
A. 70°B. 120°C. 140°D. 110°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】解：∵BC=CD，
∴，
∵∠DAB=40°，
∴∠BAC=∠DAB=20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D=180°﹣∠B=110°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆
B. 三角形的外心是三角形角平分线的交点
C. 等弧所对的圆心角相等
D. 在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．根据确定圆的条件对A进行判断；根据三角形外心的性质对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆周角定理和圆内接四边形的性质对D进行判断．
【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以本选项不符合题意；
B、三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，所以本选项不符合题意；
C、等弧所对的圆心角相等，所以本选项符合题意；
D、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，所以本选项不符合题意．
故选：C．
5. 已知一个三角形的两边长是方程x2﹣8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（ ）
A. y＜8B. 3＜y＜5C. 2＜y＜8D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【详解】x2-8x+15=0，∴（x-3）（x-5）=0，∴x1=3，x2=5，
∴三角形第三边y的取值范围为：5-3＜y＜5+3，即2＜y＜8．故选C.
6. 两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据连续奇数的关系用x表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可．
【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x＋2
∴
故选B．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键．
7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取的正整数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：根据题意得，
解得，
正整数的值为．
故选：A．
8. 如图，Rt△ABC的直角顶点C在⊙O上滑动，且各边与⊙O分别交于点D，E，F，G，若，，的度数比为2：3：5，BE＝BF，则∠A的度数为（ ）
A. 30°B. 32°C. 34°D. 36°
【答案】D
【解析】
【分析】连接OG、OD、OE、OF、EF，首先根据圆周角的性质推出GF为直径，进一步结合，，的度数比为2：3：5，求出∠EOF和∠DOE，从而结合圆的基本性质求出∠OEF和∠OED，从而可得到∠BEF，然后根据等边对等角推出∠B，最后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OG、OD、OE、OF、EF，
由题意，∠C=90°，C、G、F三点均在⊙O上，
∴GF为直径，
∵，，的度数比为2：3：5，
∴，
∴，，
∵OE、OF、OD均为半径，
∴OF=OE=OD，
∴，
，
∴，
∵BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE=63°，
∴∠B=180°-2×63°=54°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=90°-54°=36°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及等腰三角形的判定与性质等，理解圆中的基本性质，圆周角定理等是解题关键．
二、填空题：（每题2分，共20分）
9. 一元二次方程的解是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据直接开平方法解方程求解即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．
10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可．
【详解】关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键．
11. 在RtABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则它的外接圆的半径为___
【答案】7.5####
【解析】
【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形外接圆直径是斜边长度得出即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，
∴AB==15，
∴其外接圆的直径为15，半径为：7.5．
故答案为：7.5．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形外接圆的性质，得出直角三角形外接圆直径是斜边长度是解题关键．
12. 圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高．
【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3＝6，
设母线长为L，则有×6L＝15，
解得：L＝5，
∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，
∴在直角△AOC中高AO＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了圆锥体的侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般．
13. 某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该店销售额平均每月的增长率为，根据该店7月份及9月份的销售额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该店销售额平均每月的增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故答案为：．
14. 一个扇形的面积是，圆心角是120°，则此扇形的半径是______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用扇形的面积计算公式直接代入计算即可．
【详解】解：设这个扇形的半径是rcm．
根据扇形面积公式，得：，
整理得：
解得：r＝±3（负值舍去），即r＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，一元二次方程的解法，掌握扇形面积的计算公式是解决问题的关键．
15. 已知m是一元二次方程一个根，则的值为______．
【答案】2023
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由m是一元二次方程一个根得，然后代入所给代数式求解即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023．
16. 如图，为的直径，C是延长线上一点，且，的延长线交于点E，，则的度数为________．
【答案】##57度
【解析】
【分析】先利用等边对等角的性质得出，再利用三角形外角的定义得出，同理，再利用三角形内角和定理得出，最后根据角的和差关系即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的性质、三角形外角的定义，等边对等角的性质，以及三角形内角和定理，掌握圆的性质和三角形外角的定义是解题的关键．
17. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为______°．
【答案】68
【解析】
【分析】根据切线的性质得∠OBC＝90°，则利用OC⊥OA得到∠AOC＝90°，则可计算出∠OAD＝22°，由于∠OBA＝∠OAB＝22°，则可利用互余计算出∠ABC的度数．
【详解】解：连接OB，
∵BC为切线，
∴OB⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠ODA＝∠BDC＝68°，
∴∠OAD＝90°﹣68°＝22°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝22°，
∴∠ABC＝90°﹣∠OBA＝90°﹣22°＝68°．
故答案为：68．
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形中两锐角互余，对顶角相等，等腰三角形等边对等角等知识，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【详解】∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＋∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB，
∴∠CAP＋∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
∵AC＝4，BC＝3
在Rt△CBO中，OB＝＝，
∴PB＝OB−OP＝．
∴PB最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．
三、解答题：（共64分，其中第19题16分，第20-24题每题6分，第25题8分，26题10分）
19. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答；
（3）整理后，利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
（4）整理后，利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
【小问3详解】
解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
【小问4详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
【答案】（1）；（2）的值为，方程的另一个根为．
【解析】
【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）将x＝1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次方程即可得出方程的另一个根．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝4m﹣4≥0，解得：m≥1．
（2）将x＝1代入原方程，1+2﹣（m﹣2）＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴m的值为5，方程的另一个根为x＝﹣3．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及十字相乘法解一元二次方程，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△＝b2﹣4ac≥0”是解题的关键．
21. 如图，在边长为1的正方形网格中，点，，都在格点上．
（1）画出的外接圆；
（2）连接，在（1）中的上画出点，使得是直角三角形；
（3）求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）作出线段，的垂直平分线的交点，以为圆心，为半径作即可；
（2）利用圆周角定理作出直径，即可；
（3）利用勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，或即为所求；
【小问3详解】
解：的半径．
22. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米．
（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
【答案】（1）；
（2）当x的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程应用．
（1）设的长度为米，则的长度为米；
（2）根据矩形的面积公式列出方程．
【小问1详解】
解：依题意得，．
则；
【小问2详解】
解：根据题意得，
解得，．
则或．
，
，舍去．
即，．
答：当的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米．
23. 如图，，都是圆中的弦，连接，，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理和等腰三角形的判定等．连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的判定得出即可．
【详解】证明：连接，
，
，
，
．
24. 某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒元．
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______盒；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
【答案】（1）
（2）要获得1200元利润，应按每盒70元销售
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
（2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合每盒售价不得高于72元，即可确定的值．
【小问1详解】
解：根据题意，提价后平均每天的销售量为：（盒．
故答案：；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
整理得：．
解得：，，
该款口罩每盒售价不得高于72元，
不合题意，舍去．
答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售．
25. 如图，在中，，以为直径作交于点E，连接，.

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）⊙O的半径为3
【解析】
【分析】对于（1），连接，先说明，可得，再根据同角的余角相等得，然后根据“等边对等角”得，进而得出，即可得出答案；
对于（2），设的半径为r，根据勾股定理可得，再根据勾股定理用含有r的式子表示，即可得出关于r的方程，然后求出解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵，
∴.
∵是的直径，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，即，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：在中，，，
设的半径为r，则，，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去）．
∴的半径为3．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理是求线段长的常用方法．
26. [学习心得]
（）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决
例如：如图，在中，，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则两点必在上，则_______．
[初步运用]
（）如图，在四边形中，，，则_______；
[方法迁移]
（）如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）：
[问题拓展]
（）如图，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_______．
如图，在中，，且，，求．
【答案】（）；（）；（）见解析；（）；．
【解析】
【分析】（）由圆周角定理可得出答案；
（）取的中点，连接，由直角三角形的性质证明点共圆，由圆的性质得出，则可得出答案；
（）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可；
（）在上截取，连接 ，以为直径，由图形可知 ，由勾股定理求出和 的长，则可得出答案；
作的外接圆，过圆心作 于点，作于点，连接，由圆周角定理及勾股定理可得出答案．
【详解】解：（）∵是的圆心角，是的圆周角，，
∴；
故答案为：；
（）如图，取的中点，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴点共圆，
∴，
∵，
∴，
故答案：；
（）作图如下：
由图知，，同理．
（）在上截取，连接，交于，连接，过作的切线交于，交于，
∵，
∴，
∴的半径为，即，
∵，
∴，
∴，
∴，﹣4，
∴
∵满足的点恰好有两个，
∴，
∴，
故答案为：；
如图，作的外接圆，过圆心作于，作OF⊥AD于点F，连接，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，为圆心，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．