2023-2024学年河南省新乡市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省新乡市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，如图为“杭州亚运”的方正小篆体，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称.柘丝的平均直径约为0.00002m，将0.00002用科学记数法表示为( )
A. 0.2×10−4B. 2×10−5C. 2×10−7D. 20×10−4
4.计算3mm−1+31−m的结果是( )
A. 3B. 3m+3C. 2D. 6mm+1
5.下列计算正确的是( )
A. a6÷a3=a2B. (−a2b3)2=a4b9C. 3b3⋅2b2=6b5D. 2a2−a2=2
6.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC=2，OD=4，则△POD的面积为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
7.已知关于y的方程k2−y−1y−2=3的解为y=1，则实数k的值为( )
A. −3B. 3C. −2D. 2
8.如图，被树叶遮掩的部分是一个正n边形，若直线a，b所夹锐角为36∘，则n的值是( )
A. 10
B. 8
C. 6
D. 5
9.观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若(x+a)(x+b)=x2−9x+14，则a，b的值可能分别是( )
A. −2，−7B. −2，7C. 2，−7D. 2，7
10.如图，在等边三角形ABC中，AD为∠BAC的平分线，在AB，CB上分别取点M，N，且AM=BN=4，DN=2，在AD上有一动点P，则PM+PN的最小值为( )
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若分式1x−2024有意义，则x的取值范围是______.
12.如图，∠1=∠2，∠C=∠E，若要证明△ABC≌△ADE，需要补充的一个条件是______.(写出一个即可)
13.如图，在△ABC中，AD，BE分别为BC和AC边上的高线，已知BC=5，AC=4，若BE=4，则AD=______.
14.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4−y4，因式分解的结果是(x+y)(x−y)(x2+y2)，若取x=9，y=9，则各个因式的值是：x+y=18，x−y=0，x2+y2=162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码.那么对于多项式9x3−xy2，取x=11，y=6时，用上述方法产生的密码是______(写出一个即可).
15.在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线DE交直线AB于点E，连接CE，如果∠AEC=80∘，那么∠B的度数为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)化简：a2−1a2−2a÷(a+1a−2)；
(2)先化简，再求值6xy−[(2x2+4xy−y2)−(x2+3xy−y2)]，其中x=−12，y=−14.
17.(本小题8分)
如图，在单位长度为1的7×8的正方形网格系中，△ABC的三个顶点均在格点上.
(1)画出△ABC关于直线m对称的△DEF；
(2)若将点C向右平移n个单位，使其落在△DEF的内部(不包括边界)，请写出n的取值范围.
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90∘，AB=AD.求证：CO垂直平分BD.
19.(本小题9分)
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE=EF，求证：AC=BF.
20.(本小题9分)
剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花.图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)观察图2中阴影部分面积，直接写出(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系；
(2)根据(1)中的等量关系，已知a+b=4，ab=3，求(a−b)2的值.
21.(本小题9分)
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，(1)请用尺规作AB边的垂直平分线交AB于A，交BC于点E；(保留痕迹，不写作法)
(2)若DE=3，求线段CE，BC的长.
22.(本小题10分)
某打字员承接了一份36000字的稿件输入工作，实际操作时，将打字的效率提高了20%，比原计划提前40分钟完成.
(1)求实际操作时该打字员的打字速度；
(2)输入40分钟后，由于客户加急，打字员决定再次加快输入速度，以确保用时不超过184分钟，那么该打字员每分钟至少要多输入多少字？
23.(本小题12分)
如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，直角顶点B在x轴上，一锐角顶点C在y轴上.
(1)如图1，若点B的坐标是(−2,0)，点A的坐标是(3,2)，则点C的坐标为______.
(2)如图2，若y轴恰好平分∠ACB，AB与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于点E，问CD与AE有怎样的数量关系？并说明理由.
(3)如图3，直角边BC的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第三象限内，过点A作AF⊥y轴于点F，在滑动的过程中，OB−AFOC为定值，求出这个定值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的方正小篆体都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的方正小篆体能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：如果等腰三角形的腰长是2，
∴等腰三角形的底边长是8−2×2=4，
∵2+2=4，不满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长不能是2；
如果等腰三角形的底边长是2，
∴等腰三角形的腰长是12×(8−2)=3，
∵3+2>3，满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长是3，
综上所述，等腰三角形的腰长是3.
故选：B.
如果等腰三角形的腰长是2，得到等腰三角形的底边长是4，不满足三角形三边关系定理，因此等腰三角形的腰长不能是2；如果等腰三角形的底边长是2，求出等腰三角形的腰长是3，满足三角形三边关系定理，等腰三角形的腰长是3.
本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论，由三角形三边关系定理进行判断．
3.【答案】B
【解析】解：0.00002=2×10−5.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】A
【解析】解：3mm−1+31−m
=3mm−1−3m−1
=3m−3m−1
=3(m−1)m−1
=3，
故选：A.
根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可．
本题考查了分式的加减，熟练掌握同分母的分式相加减的运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、应为a6÷a3=a3，故本选项不符合题意；
B、(−a2b3)2=a4b6，故本选项不符合题意；
C、3b3⋅2b2=6b5，故本选项符合题意；
D、2a2−a2=a2，故本选项不符合题意．
故选：C.
分别根据同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，单项式乘单项式法则和合并同类项法则判断即可．
本题主要考查同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则，单项式乘单项式法则和合并同类项法则，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：过P作PK⊥OB于K，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，
∴PK=PC=2，
∵OD=4，
∴△POD的面积=12OD⋅PK=12×4×2=4.
故选：A.
过P作PK⊥OB于K，由角平分线的性质推出PK=PC=2，而OD=4，即可求出△POD的面积=12OD⋅PK=4.
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到PK=PC.
7.【答案】D
【解析】解：把y=1代入关于y的方程k2−y−1y−2=3得：
k2−1−11−2=3，
整理得：k+1=3，
解得：k=2，
故选：D.
把y=1代入关于y的方程k2−y−1y−2=3得关于k的方程，解方程即可．
本题主要考查了分式方程的解，解题关键是把方程的解代入分式方程得关于k的方程．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
由题意得，∠1=36∘，
又∵∠1+∠2+∠3=180∘，
∴∠2+∠3=144∘，
∵正多边形的每个外角都相等，
∴∠2=∠3=72∘，
∵正多边形的外角和为360∘，
∴这个正多边形的边数是360∘÷72∘=5，
故选：D.
根据三角形内角和定理求出∠2+∠3的度数，再根据正多边形的每个外角都相等即可求出其外角的度数，再根据多边形的外角和为360∘即可得出正多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角，熟知三角形三个内角的和为180∘，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意，知：a+b=−9，ab=14，
∴a，b的值可能分别是−2，−7，
故选：A.
从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出a、b.
本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵BN=4，DN=2，
∴BD=6.
∵等边三角形ABC中，AD为∠BAC的平分线，
∴AD为等边三角形的中线．AD所在的直线为△ABC的对称轴．
∴CD=BD=6.
∴BC=12.
作点M关于AD的对称点M′，则点M′在线段AC上．
∴MP=M′P.
∵AM=4，
∴AM′=AM=4.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=12，∠C=60∘.
∴CM′=8.
连接M′N交AD于点P，
∴PM+PN=PM′+PN=M′N.
∵CN=CD+DN=8，
∴CN=CM′.
∴△CNM′是等边三角形．
∴M′N=8.
∴PM+PN的最小值为8.
故选：B.
根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD为等边三角形的中线，AD所在的直线也是等边三角形的对称轴．易得BD的长度为6，那么CD=8，等边三角形的边长为12.作点M关于AD的对称点M′，根据轴对称图形的性质可得点M′在线段AC上．连接M′N交AD于点P，则MP=M′P，那么PM+PN的最小值也就是M′N的长度．易得△M′NC为等边三角形，边长为8，那么PM+PN的最小值为8.
本题考查最短路线问题．用到的知识点为：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置，对称点和另一个点的连线长也就是两个定点和动点的距离和的最小值．
11.【答案】x≠2024
【解析】解：∵分式1x−2024有意义，
∴x−2024≠0，
即x≠2024.
故答案为：x≠2024.
根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不等于零．
12.【答案】BC=DE(答案不唯一)
【解析】证明：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE∠C=∠EBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(AAS)，
∴要证明△ABC≌△ADE，需要补充的一个条件是BC=DE(答案不唯一).
故答案为：BC=DE(答案不唯一).
由∠1=∠2，得到∠BAC=∠DAE，而∠C=∠E，添加BC=DE(答案不唯一)，由AAS即可证明△ABC≌△ADE.
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL.
13.【答案】165
【解析】解：∵AD，BE分别为BC和AC边上的高线，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE，
∵BC=5，AC=4，BE=4，
∴5AD=4×4，
解得AD=165，
故答案为：165.
由三角形面积公式得出S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE，结合已知条件即可求出AD的长．
本题考查了三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
14.【答案】113927(答案不唯一)
【解析】解：9x3−xy2
=x(9x2−y2)
=x(3x+y)(3x−y).
当x=11，y=6时，
各个因式的值是：x=11，3x+y=39，3x−y=27.
用上述方法产生的密码是：113927或112739或391127或392711或273911或271139.
故答案为：113927(答案不唯一).
把所给式子提公因式x后．继续用平方差公式进行因式分解，算出各个因式的值，任选一组当密码即可．
本题考查因式分解的应用．把所给多项式进行因式分解时分解到底是解决本题的关键．
15.【答案】65∘或25∘
【解析】解：如图，当E在线段AB上时，
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠A=∠ACE，
∵∠AEC=80∘，
∴∠A=12×(180∘−80∘)=50∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12×(180∘−50∘)=65∘；
如图，当E在BA的延长线时，
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEC=80∘，
∴∠EAC=12×(180∘−80∘)=50∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠B+∠ACB=∠EAC=50∘，
∴∠B=12×50∘=25∘，
∴∠B的度数为65∘或25∘.
故答案为：65∘或25∘.
分两种情况，当E在线段AB上，由线段垂直平分线的性质推出EA=EC，得到∠A=∠ACE，求出∠A=12×(180∘−80∘)=50∘，由等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=12×(180∘−50∘)=65∘；当E在线段BA的延长线上，由线段垂直平分线的性质推出EA=EC，得到∠EAC=∠ACE，求出∠EAC=12×(180∘−80∘)=50∘，由等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，由三角形外角的性质求出∠B=12×50∘=25∘，于是得到∠B的度数为65∘或25∘.
本题考查出等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是要分两种情况讨论．
16.【答案】解：(1)原式=a2−1a2−2a÷(a(a−2)a−2+1a−2)
=a2−1a2−2a÷(a(a−2)+1a−2)
=a2−1a2−2a÷a2−2a+1a−2
=a2−1a2−2a÷(a−1)2a−2
=a2−1a2−2a×a−2(a−1)2
=(a+1)(a−1)a(a−2)×a−2(a−1)2
=a+1a(a−1).
(2)6xy−[(2x2+4xy−y2)−(x2+3xy−y2)]
=6xy−(2x2+4xy−y2−x2−3xy+y2)
=6xy−2x2−4xy+y2+x2+3xy−y2
=−x2+5xy.
将x=−12，y=−14代入：
−x2+5xy=−14+5×18=38.
【解析】(1)将分母变为相同的格式，分子分母进行化简．
(2)对式子进行去括号，合并同类项，代入数值进行计算．
本题考查了整式的加减，解题关键在于去括号，合并同类项．
17.【答案】解：(1)△DEF如图所示；
(2)2
【解析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于直线m对称的点D、E、F的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数写出即可，再根据图形写出n的取值范围．
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18.【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AC=ACAB=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC=DC，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∵AB=AD，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴CO垂直平分BD.
【解析】证明Rt△ABC≌Rt△ADC，得到BC=DC，再根据AB=AD即可证明结论．
本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，本题的关键是熟练运用全等三角形的性质和垂直平分线的判定解题．
19.【答案】证明：延长AD到点G，使GD=AD，连接GB，
∵AD为△ABC中线，
∴BD=CD，
在△GBD和△ACD中，
GD=AD∠GDB=∠ADCBD=CD，
∴△GBD≌△ACD(SAS)，
∴GB=AC，∠G=∠CAF，
∵AE=EF，
∴∠CAF=∠EFA，
∴∠G=∠EFA，
∵∠EFA=∠BFG，
∴∠G=∠BFG，
∴GB=BF，
∴AC=BF.
【解析】延长AD到点G，使GD=AD，连接GB，可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△GBD≌△ACD，得GB=AC，∠G=∠CAF，由AE=EF，得∠CAF=∠EFA，可推导出∠G=∠BFG，得GB=BF，所以AC=BF.
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵图2中阴影部分的面积为：
(a+b)2−4ab或(a−b)2，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab；
(2)由(1)题得(a−b)2=(a+b)2−4ab，
∴当a+b=4，ab=3时，
(a−b)2=42−4×3=4.
【解析】(1)通过分别运用整体求解和部分求和差的方式表示图2阴影部分的面积进行求解；
(2)运用第(1)题结果进行求解．
此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想进行求解．
21.【答案】解：(1)分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交交BC于点D，交AB于点F，如图所示，DF即为所求；
(2)∵AB=AC，∠BAC=120∘，
∴∠B=∠C=30∘，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，DE⊥AB，
∴BE=AE=2DE=6，
∴∠BAE=∠B=30∘，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=60∘，
∴∠EAC=90∘，
∴CE=2AE=12，
∴BC=BE+CE=6+12=18.
【解析】(1)根据垂线的尺规作图方法，进行作图即可；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30∘，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，DE⊥AB，求得BE=AE=2DE=6，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设原计划打字员的打字速度为x字/分钟，则实际操作时该打字员的打字速度为(1+20%)x字/分钟，
由题意得：36000x−36000(1+20%)x=40，
解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴(1+20%)x=(1+20%)×150=180，
答：实际操作时该打字员的打字速度为180字/分钟；
(2)设该打字员每分钟输入y字，
由题意得：36000−40×180y≤184−40，
解得：y≥200，
∴该打字员每分钟至少要输入200字，
∴200−180=20(字)，
答：该打字员每分钟至少要多输入20字．
【解析】(1)设原计划打字员的打字速度为x字/分钟，则实际操作时该打字员的打字速度为(1+20%)x字/分钟，根据“一份36000字的稿件输入工作，实际操作时，比原计划提前40分钟完成”，列出分式方程，解分式方程即可；
(2)设该打字员每分钟输入y字，根据“输入40分钟后，由于客户加急，打字员决定再次加快输入速度，以确保用时不超过184分钟”，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据数量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(0,−5)
【解析】解：(1)如图1，过点A作AN⊥x轴于点N，
则∠ANB=∠BOC=90∘，
∴∠ABN+∠BAN=90∘，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，
∴∠ABN+∠CBO=∠ABC=90∘，
∴∠BAN=∠CBO，
在△BAN和△CBO中，
∠ANB=∠BOC∠BAN=∠CBOAB=BC，
∴△BAN≌△CBO(AAS)，
∴BN=CO，
∵点B的坐标是(−2,0)，点A的坐标是(3,2)，
∴BN=2+3=5，
∴CO=5，
∴点C的坐标为(0,−5)，
故答案为：(0,−5)；
(2)CD与AE的数量关系为：CD=2AE，理由如下：
如图2，延长AE交CB的延长线于点G，
∵y轴平分∠ACB，AE⊥y，
∴△ACG是等腰三角形，∠AED=90∘，
∴AE=GE=12AG，∠GAB+∠ADE=90∘，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，
∴∠CBD=∠ABG=90∘，∴
∠DCB+∠CDB=90∘，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠GAB=∠DCB，
在△GAB和△DCB中，
∠ABG=∠CBDAB=BC∠GAB=∠DCB，
∴△GAB≌△DCB(ASA)，
∴AG=CD，
∴AE=12CD，
∴CD=2AE；
(3)如图3，过点A作AH⊥OB于点H，
则∠AHB=∠AHO=90∘，
∵AF⊥y轴，
∴四边形AHOF是矩形，
∴OH=AF，
∵∠ABH+∠CBO=90∘，∠CBO+∠BCO=90∘，
∴∠ABH=∠BCO，
在△ABH和△BCO中，
∠AHB=∠BOC=90∘∠ABH=∠BCOAB=BC，
∴△ABH≌△BCO(AAS)，
∴HB=OC，
∵HB=OB−OH=OB−AF，
∴OC=OB−AF，
∴OB−AFOC=1.
(1)过点A作AN⊥x轴于点N，证△BAN≌△CBO(AAS)，得出BN=CO，求出BN=5，即可得出答案；
(2)延长AE交CB的延长线于点G，先证△ACG是等腰三角形，得出AE=GE=12AG，再证△GAB≌△DCB(ASA)，得出AG=CD，即可得出结论；
(3)过点A作AH⊥OB于点H，先证四边形AHOF是矩形，得出OH=AF，再证△ABH≌△BCO(AAS)，得出HB=OC，推出OC=OB−AF，即可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质、同角的余角相等、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．