2023-2024学年河南省信阳市固始县八年级(上)期末数学试卷(含详细答案解析)
展开1.下列四个图案中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.化简(−2a23b)2的结果是( )
A. −4a29b2B. 4a29b2C. −4a49b2D. 4a49b2
3.若分式x2x−3有意义,则x的取值范围是( )
A. x>3B. x>−3C. x≠0D. x≠3
4.化简a2a−1−1−2a1−a的结果为( )
A. a+1a−1B. a−1C. aD. 1
5.如图,在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,∠A=∠D,再添加一个条件,如果仍不能证明△ABC≌△DEF成立,则添加的条件是( )
A. AC//DF
B. BC=EF
C. AC=DF
D. ∠ACB=∠F
6.某市生态园计划种植一批梨树,原计划总产量30万公斤,现改换梨树品种,改换后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万公斤,且种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?若设原来平均每亩产量为x万公斤,则可列方程为( )
A. 30x−301.5x=10B. 30x−361.5x=10C. 361.5x−30x=10D. 30x+361.5x=10
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,BE⊥CE于D,DE=4cm,AD=6cm,则BE的长是( )
A. 2cm
B. 1.5cm
C. 1cm
D. 3cm
8.如图,△ABC中,AB=AC=8,BC=6,AE平分∠BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连接DE,则△BDE的周长是( )
A. 7+ 5
B. 10
C. 4+2 5
D. 11
9.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律,你发现的规律是( )
A. ∠A=∠1+∠2
B. 2∠A=∠1+∠2
C. 3∠A=2∠1+∠2
D. 3∠A=2(∠1+∠2)
10.=如图,在△ABC中,内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P,BE=BC,D在AC延长线上,PG//AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论:①∠ACB=2∠APB;②S△PAC:S△PAB=AC:AB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF;⑤GF+FC=GA,其中正确的有( )
A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤
二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。
11.分解因式:3x2−12xy=__________.
12.已知三角形的三边长分别是8、10、x,则x的取值范围是______.
13.在平面直角坐标系中,若点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于x轴对称,则点P(n,m)位于第______象限.
14.如图,将四边形ABCD去掉一个70∘的角得到一个五边形BCDEF,则∠1+∠2=______ ∘.
15.如图,两个正方形边长分别为m,n,如果m+n=mn=5,则阴影部分的面积为______.
三、解答题:本题共8小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
M=a2−4a+4a+1÷a−2a2−1.
(1)化简代数式M;
(2)请在以下四个数中:1,−1,2,−2,选择一个合适的数代入,求M的值.
17.(本小题9分)
如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)直接写出点C关于x轴对称的点C1的坐标;
(2)画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2,并写出点B的对应点B2的坐标;
(3)在x轴上求作一点P,使点P到A、B两点的距离和最小,请标出点P.
18.(本小题9分)
如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)若∠C=80∘,∠BAC=60∘,求∠ADB的度数;
(2)若∠BED=65∘,求∠C的度数.
19.(本小题9分)
如图,有一块长和宽分别为10和6的长方形纸片,将它的四角截去四个边长为a(0(1)求这个无盖长方体纸盒的表面积(用含a的代数式表示).
(2)求这个无盖长方体纸盒的容积(用含a的代数式表示并化简).并求出当a=32时,此时纸盒的容积.
20.(本小题9分)
如图,△ABC.
(1)用直尺和圆规作图,在BC边上作出一点P,使PA=PB;
(2)连接AP,若AP=AC,∠B=25∘,求∠BAC的度数.
21.(本小题9分)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,点D是AC上一点,过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E,交BC的延长线于F,且BD=2AE.
求证:(1)∠EAC=∠DBC.
(2)BD平分∠ABC.
22.(本小题10分)
某校计划购买A,B两种型号的教学仪器,已知A型仪器价格是B型仪器价格的1.5倍,用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台.
(1)求A,B型仪器单价分别是多少元;
(2)该校需购买两种仪器共100台,且A型仪器数量不少于B型仪器数量的14,那么A型仪器最少需要购买多少台?求A型仪器执行最少购买量时购买两种仪器的总费用.
23.(本小题10分)
(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE;
(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,在(2)的条件下,若a=120∘,且△ACF为等边三角形,试判断△DEF的形状,并说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:A、是轴对称图形,不符合题意;
B、是轴对称图形,不符合题意;
C、不是轴对称图形,符合题意;
D、是轴对称图形,不符合题意;
故选:C.
根据轴对称图形的定义;平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,就叫做轴对称图形,据此即可作答.
本题考查了轴对称图形的定义,掌握平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,就叫做轴对称图形是解题的关键.
2.【答案】D
【解析】解:原式=(−2a2)2(3b)2=4a49b2.
故选:D.
把分子、分母分别乘方即可.
本题考查了分式的乘方,关键是按法则进行运算,分式的乘方法则:把分子、分母分别乘方.
3.【答案】D
【解析】解:根据题意得:x−3≠0
解得:x≠3
故选:D.
要使分式有意义,分式的分母不能为0.
解此类问题,只要令分式中分母不等于0,求得字母的值即可.
4.【答案】B
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案.
解:原式=a2a−1+1−2aa−1
=(a−1)2a−1
=a−1
故选:B.
本题考查分式的运算法则,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
5.【答案】B
【解析】解:A.∵AC//DF,
∴∠ACB=∠F,
∵AB=DE,∠B=∠DEF,
∴△ABC≌△DEF(AAS),
故A不符合题意;
B.∵∠A=∠D,AB=DE,BC=EF,
∴△ABC和△DEF不一定全等,
故B符合题意;
C.∵AC=DF,AB=DE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
故C不符合题意;
D.∵∠ACB=∠F,∠B=∠DEF,AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(ASA),
故D不符合题意;
故选:B.
根据一般三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,如果是两个直角三角形,除了前边的四种,还可以利用HL,判断即可.
本题考查了全等三角形的判定,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
6.【答案】B
【解析】解:∵改换梨树品种后平均每亩产量是原来的1.5倍,且原来平均每亩产量为x万公斤,
∴改换梨树品种后平均每亩产量为1.5x万公斤.
根据题意得:30x−30+61.5x=10,
即30x−361.5x=10.
故选:B.
根据更换梨树品种前后平均每亩产量间的关系,可得出改换梨树品种后平均每亩产量为1.5x万公斤,利用种植亩数=总产量÷平均每亩产量,结合改换梨树品种后种植亩数减少了10亩,可得出关于x的分式方程,此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
7.【答案】A
【解析】解:∵∠DCA+∠BCE=90∘,∠DCA+∠DAC=90∘,
∴∠DAC=∠BCE,∵AD⊥CE,BE⊥CE
∴∠ADC=∠BEC
在△ACD和△CBE中,
∵∠ADC=∠BEC∠DAC=∠BCEAC=BC,
∴△ACD≌△CBE(AAS)
∴CE=AD=6cm,CD=BE,
BE=CD=CE−DE=6−4=2(cm).
故选:A.
由题中AC=BC可得△ACD≌△CBE,得出对应线段CE=AD,CD=BE,进而可得出结论;
本题主要考查了全等三角形的判定及性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
8.【答案】D
【解析】解:∵在△ABC中,AB=AC=6,AE平分∠BAC,
∴BE=CE=12BC=3,
又∵D是AB中点,
∴BD=12AB=4,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=12AC=4,
∴△BDE的周长为BD+DE+BE=3+4+4=11.
故选:D.
根据等腰三角形三线合一的性质,先求出BE,再利用直角三角形斜边中线定理求出DE即可.
本题主要考查了直角三角形斜边中线定理,中位线定理及等腰三角形的性质,熟练掌握直角三角形及等腰三角形的性质是解题的关键.
9.【答案】B
【解析】解:2∠A=∠1+∠2,
理由:∵在四边形ADA′E中,∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360∘,
则2∠A+180∘−∠2+180∘−∠1=360∘,
∴可得2∠A=∠1+∠2.
故选:B.
根据四边形的内角和为360∘及翻折的性质,就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质.
本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点,解决本题的关键是熟记翻折的性质.
10.【答案】A
【解析】解:∵PA平分∠CAB,PB平分∠CBE,
∴∠PAB=12∠CAB,∠PBE=12∠CBE,
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,
∠PBE=∠PAB+∠APB,
∴∠ACB=2∠APB;故①正确;
过P作PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,PS⊥BC于S,
∴PM=PN=PS,
∴PC平分∠BCD,
∵S△PAC:S△PAB=(12AC⋅PN):(12AB⋅PM)=AC:AB;故②正确;
∵BE=BC,BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE(三线合一),故③正确;
∵PG//AD,
∴∠FPC=∠DCP
∵PC平分∠DCB,
∴∠DCP=∠PCF,
∴∠PCF=∠CPF,故④正确,
根据条件不能得出GA=FC+FG,故⑤错误,
本题正确的有:①②③④.
故选:A.
利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④⑤进行一一判断,从而求解.
此题主要考查了角平分线的性质和定义,平行线的性质,线段的垂直平分线的判定,等腰三角形的性质等.
11.【答案】3x(x−4y)
【解析】【分析】
本题主要考查了因式分解-提公因式法,熟知分解因式的方法是解题的关键.直接提取公因式3x进行分解因式即可.
【解答】
解:原式=3x(x−4y).
12.【答案】2
此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握第三边的范围是:大于已知的两边的差,而小于两边的和.
13.【答案】四
【解析】解:∵点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于x轴对称,
∴1+m=−3,1−n=−2,
解得m=−4,n=3,
∴点P坐标为(3,−4)在第四象限,
故答案为:四.
根据点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于x轴对称,可得1+m=−3,1−n=−2,进一步求出点P坐标,即可确定答案.
本题考查了关于x轴对称的点的坐标,熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键.
14.【答案】250
【解析】【分析】
本题考查的是多边形的内角与外角,掌握三角形的内角和定理是解题的关键.根据三角形内角和定理求出∠AEF+∠AFE,根据邻补角的性质计算即可.
【解答】
解:∵∠A=70∘,
∴在△AEF中,∠AEF+∠AFE=180∘−∠A=110∘,
∴∠1+∠2=360∘−110∘=250∘.
15.【答案】5
【解析】解:∵两个正方形边长分别为m,n,
∴阴影部分的面积为:m2+n2−12m2−12(m+n)n=m2+n2−12m2−12mn−12n2=12m2−12mn+12n2;
∵m+n=mn=5,
∴原式=12(m2−mn+n2)
=12[(m+n)2−3mn]
=12(52−3×5)
=12×10
=5.
故答案为:5.
先根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积,再利用完全平方公式的变形求解代数式的值即可.
本题考查的是列代数式,整式的乘法运算,完全平方公式的变形,熟练的利用完全平方公式的变形求解代数式的值是解本题的关键.
16.【答案】解:(1)M=a2−4a+4a+1÷a−2a2−1
=(a−2)2a+1⋅(a+1)(a−1)a−2
=(a−2)(a−1)
=a2−3a+2;
(2)∵a2−1≠0,a−2≠0,
∴a≠±1,a≠2,
∴当a=−2时,M=(−2)2−3×(−2)+2=4+6+2=12.
【解析】(1)利用分式的除法法则进行计算,即可解答;
(2)把a的值代入(1)中的结论进行计算,即可解答.
本题考查了分式的化简求值,准确熟练地进行计算是解题的关键.
17.【答案】解:(1)(1)∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称,C(3,4),
∴点C1(3,−4).
(2)如图,△A2B2C2即为所求,B2(−4,2).
(3)如图,点P即为所标.
【解析】(1)关于x轴对称的点,横坐标不变,纵坐标互为相反数,由此可得答案.
(2)根据轴对称的性质作图,再根据图写出点坐标即可.
(3)作点A关于x轴的对称点A1,连接A1B,与x轴交于点P,连接AP,此时点P到A、B两点的距离和最小.
本题考查作图-轴对称变换,轴对称-最短路线问题,熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.
18.【答案】解:(1)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60∘,
∴∠DAC=12∠BAC=30∘,
∵∠ADB是△ADC的外角,∠C=80∘,
∴∠ADB=∠C+∠DAC=110∘;
(2)∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAC=2∠BAD,∠ABC=2∠ABE.
∵∠BED是△ABE的外角,∠BED=65∘,
∴∠BAD+∠ABE=∠BED=65∘.
∴∠BAC+∠ABC=2(∠BAD+∠ABE)=130∘.
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180∘,
∴∠C=180∘−(∠BAC+∠ABC)=50∘.
【解析】(1)根据角平分线的定义得到∠DAC=30∘,再由三角形外角的性质即可得到∠ADB=∠C+∠DAC=110∘;
(2)根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAD,∠ABC=2∠ABE.再由三角形外角的性质得到∠BAC+∠ABC=130∘,即可利用三角形内角和定理得到答案.
本题主要考查了三角形外角的性质,三角形内角和定理,角平分线的定义,熟知三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键.
19.【答案】解:(1)由题意可知,无盖长方体纸盒的表面积即长方形纸片的面积减去四个小正方形的面积,S=10×6−4a2=60−4a2,
∴这个无盖长方体纸盒的表面积为60−4a2.
(2)长方形纸盒的长为10−2a,宽为6−2a,高为a,
容积=长×宽×高=(10−2a)×(6−2a)×a=4a3−32a2+60a,
将a=32代入,得:4×(32)3−32×(32)2+60×(32)=31.5.
答:容积为31.5.
【解析】(1)根据题意易知,无盖长方体纸盒的表面积即长方形纸片的面积减去四个小正方形的面积;
(2)长方形纸盒的长为10−2a,宽为6−2a,高为a,容积=长×宽×高,再将a=32代入即可.
本题考查了列代数式,解题的关键是正确表示纸盒的长,宽,高.
20.【答案】解:(1)如图:点P即为所求;
(2)∵AP=AC,PA=PB,
∴∠C=∠APC,∠B=∠BAP=25∘,
∴∠C=∠APC=∠B+∠BAP=50∘,
∴∠PAC=180∘−∠C−∠APC=80∘,
∴∠BAC=∠CAP+∠BAP=80∘+25∘=105∘.
【解析】(1)作AB的垂直平分线与BC的角点即可;
(2)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求解.
本题考查了复杂作图,掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键.
21.【答案】证明:(1)∵AE⊥BE,
∴∠AEB=90∘=∠C,
∵∠EAC+∠ADE=90∘,∠DBC+∠BDC=90∘,
又∵∠ADE=∠BDC,
∴∠EAC=∠CBD.
(2)在△ACF和△BCD中,
∠FAC=∠DBCAC=BC∠ACF=∠BCD,
∴△ACF≌△BCD(ASA),
∴AF=BD.
∵BD=2AE,AE+EF=BD,
∴AE=FE,即E为AF中点
∵BE⊥AF,
∴BA=BF,
∴BD平分∠ABC.
【解析】(1)由∠EAC+∠ADE=90∘,∠DBC+∠BDC=90∘,因为∠ADE=∠BDC,即可推出∠EAC=∠CBD.
(2)由△ACF≌△BCD(ASA),推出AF=BD,由BD=2AE,AE+EF=BD,推出AE=FE,即E为AF中点,再根据等腰三角形的性质即可证明.
本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
22.【答案】解:(1)设B型仪器的单价是x元,则A型仪器的单价是1.5x元,
根据题意得:4501.5x−240x=2,
解得:x=30,
经检验,x=30是所列方程的解,且符合题意,
∴1.5x=1.5×30=45.
答:A型仪器的单价是45元,B型仪器的单价是30元;
(2)设购买m台A型仪器,则购买(100−m)台B型仪器,
根据题意得:m≥14(100−m),
解得:m≥20,
∴m的最小值为20,
当m=20时,45m+30(100−m)
=45×20+30×(100−20)
=3300元.
答:A型仪器最少需要购买20台,A型仪器执行最少购买量时购买两种仪器的总费用为3300元.
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
(1)设B型仪器的单价是x元,则A型仪器的单价是1.5x元,利用数量=总价÷单价,结合用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台,可得出关于x的分式方程,解之经检验后,可得出B型仪器的单价,再将其代入1.5x中,即可求出A型仪器的单价;
(2)设购买m台A型仪器,则购买(100−m)台B型仪器,根据购买A型仪器数量不少于B型仪器数量的14,可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,将其中的最小值代入45m+30(100−m)中,即可求出结论.
23.【答案】证明:(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90∘,
∵∠BAC=90∘,
∴∠BAD+∠CAE=90∘,
∵∠BAD+∠ABD=90∘,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中,
∵∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180∘−α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中,
∵∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)△DEF为等边三角形,理由如下:
由(2)知△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ACF为等边三角形,
∴∠CAF=60∘,AF=AC,
又∵AB=AC,
∴AB=AF,
∵∠BAC=120∘,
∴∠BAF=60∘,
∴△ABF是等边三角形,
∴∠ABF=60∘,BF=AF,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠EAF,
∵BF=AF,
∴△BDF≌△AEF(AAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60∘,
∴△DEF为等边三角形.
【解析】(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90∘,而∠BAC=90∘,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;
(2)利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180∘−α,得出∠CAE=∠ABD,进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案.
(3)证△BDF≌△AEF,得出DF=EF,∠BFD=∠AFE,而得出∠DFE=60∘,即可推出△DEF为等边三角形.
本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
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