2023-2024学年湖北省黄冈市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖北省黄冈市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.当分式x−3x+1的值为零时，x=( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
3.点(2,−1)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (2,1)B. (−2,−1)C. (−2,1)D. (−1,2)
4.瑞典皇家科学院10月3日宣布，将2023年诺贝尔物理学奖授予皮埃尔⋅阿戈斯蒂尼、费伦茨⋅克劳斯和安妮⋅吕利耶三位科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.在这三位科学家的努力下，光脉冲已经可以达到阿秒级.1阿秒就是十亿分之一秒的十亿分之一，即0.000000000000000001秒.用科学记数法表示该数是( )
A. 10−20B. 10−18C. 0.1×10−17D. 10×10−18
5.分式12x3y2与14x2y3的最简公分母是( )
A. x3y3B. 2x2y3C. 4x3y2D. 4x3y3
6.下列从左到右的变形是因式分解的是
A. ab+ac+d=a(b+c)+dB. (a+1)(a−1)=a2−1
C. x2−2x+1=(x−1)2D. a(a+1)=a2+a
7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=10，D是BC的中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
8.在平面直角坐标系中有一点P(2,1.5)，连接OP，在x轴上找一点Q，使△OPQ是以OP为腰的等腰三角形，则点Q的坐标不能是( )
A. (−2.5,0)
B. (2.5,0)
C. (4,0)
D. (2516,0)
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算：20−|−5|+(−12)−2=______.
10.已知y= x−2+ 2−x+3，则xy=______.
11.已知一个多边形的每个外角都是45∘，则这个多边形的边数为______.
12.△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是______.
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，BC//x轴，若A(2,4)，C(5,1)，则点B的坐标为______.
14.如图，在△ABC中，∠ABC=110∘，点D在AC上，将△ABD沿BD折叠，点A落在BC上的点E处，若∠EDC=25∘，则∠C的度数为______.
15.若关于x的一元一次不等式组x+32≤42x−a≥2至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______.
16.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52−32，16就是一个“智慧优数”，可以利用m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究.若将“智慧优数”从小到大排列，则第4个“智慧优数”是______，第23个智慧优数是______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
(1)解方程：12x=2x+3.
(2)因式分解：(x−4)(x+1)+3x.
18.(本小题7分)
如图，△ABC≌△CDE.点C，A，D在同一条直线上.
(1)求证：AB//CE；
(2)当CE=7，AB=12时，求线段AD的长.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：已知x−1x−2⋅x2−4x2−1−3x+1，从−220.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，求证：△ABE≌△ACE.
21.(本小题8分)
已知(3x−m)(x2+x+1)的展开式中不含x的二次项，a2+5b2+4(ab+b+1)=0，求：
(1)m的值；
(2)(a−b)m的值.
22.(本小题10分)
两个小组同时开始攀登一座480m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早20min到达顶峰.
(1)求两个小组的攀登速度各是多少？
(2)加强系统性体能训练后，两个小组的攀登速度显著提升.现已知两个小组的攀登速度均提高m%，两个小组再次分别攀登480m高的山，共耗时176min，求m.
23.(本小题11分)
请认真观察下列等式：
(x+1x)2=x2+2+1x2；
(x−1x)2=x2−2+1x2；
并解决下列问题：
(1)填空：①(x+1x)2−(x−1x)2=______；
②已知(x+1x)2=8，则x−1x=______；
(2)计算：①已知x2−3x+1=0，求x−1x的值；
②已知|1x|−x=1，求|1x|+x的值.
24.(本小题12分)
如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60∘，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H.
(1)求证：∠BEC=∠ADC；
(2)请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明；
(3)如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B=60∘，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请问，你在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故正确；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选A.
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：∵x−3=0，x+1≠0，
∴x=3.
故选：B.
根据分式的值为零的条件：分子等于0，且分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0，且分母不等于0是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：点(2,−1)关于x轴对称的点的坐标为(2,1).
故选：A.
直接利用关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：0.000000000000000001=10−18.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】D
【解析】解：12x3y2与14x2y3的最简公分母是4x3y3，
故选：D.
根据最简公分母的定义解答即可．
本题考查的是最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
6.【答案】C
【解析】解：A、ab+ac+d=a(b+c)+d，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解解，故此选项不符合题意；
B、(a+1)(a−1)=a2−1，是整式的乘法，不属于因式分，故此选项不符合题意；
C、x2−2x+1=(x−1)2，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；
D、a(a+1)=a2+a，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C.
根据因式分解的定义逐个判断即可．
此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：
∵EF垂直平分AB，
∴EF上的点到A、B的距离相等，
∴BP=AP，
∴PB+PD最小，即AP+PD最小，
∵AP+PD最小即为AD，
∴PB+PD最小为10，
故选：A.
因为EF垂直平分AB，所以EF上的点到A、B的距离相等，即BP=AP，所以PB+PD最小，就是AP+PD最小时，两点之间线段最短，所以AP+PD最小，即为AD，可得PB+PD最小值．
本题考查了最短线路问题，关键是掌握垂直平分线的性质．
8.【答案】D
【解析】解：过点P作PH⊥x轴于点H，
∵点P的坐标为(2,1.5)，
∴OH=2，PH=1.5，
由勾股定理得，OP= OH2+PH2= 22+1.52=2.5，
设点Q的坐标为(x,0)，
则OQ=|x|，
①当OP=OQ时，|x|=2.5，
∴x=±2.5，
即点Q的坐标为(2.5,0)或(−2.5,0)；
②当PO=PQ时，
∵PH⊥x轴，
∴OH=HQ=2，
∴OQ=4，
即点Q的坐标为(4,0)；
综上，点Q的坐标为(2.5,0)或(−2.5,0)或(4,0)；
故选：D.
根据勾股定理求出OP的长，然后分两种情况：①OP=OQ；②PO=PQ；分别计算即可．
本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的判定，勾股定理，能够正确分类求解是解题的关键．
9.【答案】0
【解析】解：原式=1−5+4
=0，
故答案为：0.
利用零指数幂，绝对值的性质，负整数指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10.【答案】6
【解析】解：∵式子 x−2与 2−x在实数范围内有意义，
∴x−2≥02−x≥0，解得x=2，
∴y=3，
∴xy=2×3=6.
故答案为：6.
先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，再求出xy的值即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
11.【答案】八
【解析】解：∵360÷45=8(边)，
∴多边形的边数为八，
故答案为：八．
根据多边形的外角和是360∘求解即可．
本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360∘是解题的关键．
12.【答案】2【解析】【分析】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形三边关系的运用，解答时运用三角形全等将线段转化在同一三角形中是关键．
如图，延长AD至E，使DE=AD，就可以得出△ADB≌△EDC，就可以得出CE=AB，在△ACE中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
【解答】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD.
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴AC=EB.
∵AC=3，
∴EB=3.
∴7−3∴4<2AD<10，
∴2故答案为：213.【答案】(−1,1)
【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵A(2,4)，C(5,1)，BC//x轴，
∴D(2,1)，
∴CD=3，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
∴B(−1,1)，
故答案为：(−1,1).
过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质推出BD=CD，再坐标与图形的性质求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】22.5∘
【解析】解：∵∠ABC=110∘，
∴∠A+∠C=180∘−110∘=70∘，
由翻折变换可知，∠A=∠BED，
∵∠BED=∠C+∠EDC=∠C+25∘，
∴∠A=∠C+25∘，
∴∠C+25∘+∠C=70∘，
即∠C=22.5∘，
故答案为：22.5∘.
根据翻折的性质得到∠A=∠BED，再根据三角形内角和定理和外角的性质得出∠C+25∘+∠C=80∘即可求解．
本题考查三角形内角和定理，掌握翻折的性质以及三角形内角和是180∘是正确解答的前提．
15.【答案】4
【解析】解：解不等式组x+32≤42x−a≥2，得x≤5x≥a+22，
∵至少有2个整数解，
∴a+22≤4，
∴a≤6，
解分式方程a−1y−2+42−y=2，
得y=a−12，
∵y的值是非负整数，a≤6，
∴当a=5时，y=2，
当a=3时，y=1，
当a=1时，y=0，
∵y=2是分式方程的增根，
∴a=5(舍去)，
∴满足条件的a的值有3和1，
∵3+1=4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是4.
故答案为：4.
先解不等式组，根据至少有2个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可．
本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．
16.【答案】16 57
【解析】解：∵m−n>1，m、n均为正整数，
∴m−n=2，m−n=3，m−n=4，m−n=5...
∴m=n+2，m=n+3，m=n+4，m=n+5...
∵m2−n2=(m+n)(m−n)，
∴(n+2)2−n2=(n+2+n)(n+2−n)=(2n+2)⋅2，得到的“智慧优数”分别为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80...
(n+3)2−n2=(n+3+n)(n+3−n)=(2n+3)⋅3，得到的“智慧优数”分别为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81...
(n+4)2−n2=(n+4+n)(n+4−n)=(2n+4)⋅4，得到的“智慧优数”分别为：24，32，40，48，56，64，72，80...
(n+5)2−n2=(n+5+n)(n+5−n)=(2n+5)⋅5，得到的“智慧优数”分别为：35，45，55，65，75，85...
(n+6)2−n2=(n+6+n)(n+6−n)=(2n+6)⋅6，得到的“智慧优数”分别为：48，60，72，84...
(n+7)2−n2=(n+7+n)(n+7−n)=(2n+7)⋅7，得到的“智慧优数”分别为：63，77...
(n+8)2−n2=(n+8+n)(n+8−n)=(2n+8)⋅8，得到的“智慧优数”为：80...
∴把这些“智慧优数”从小到大排列为：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60...
∴第4个“智慧优数”是16，第23个“智慧优数”是57.
故答案为：16，57.
根据m−n>1，m、n均为正整数，可得m−n=2，m−n=3，m−n=4，m−n=5...那么m=n+2，m=n+3，m=n+4，m=n+5...把平方差公式中的m换成和n相关的式子，代入可得一个新的公式，然后把n=1，2，3...依次代入，得到的数按照从小到大的顺序排列后，找到第4个和第23个“智慧优数”即可．
本题考查因式分解的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．易错点是利用平方差公式进行分类求解．
17.【答案】解：(1)原方程去分母得：x+3=4x，
解得：x=1，
将x=1代入2x(x+3)得2×1×4≠0，
故原方程的解为x=1；
(2)原式=x2+x−4x−4+3x
=x2−4
=(x+2)(x−2).
【解析】(1)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
(2)将原式整理后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查解分式方程及因式分解，熟练掌握解方程及因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC=∠DCE.
∴AB//CE；
(2)解：∵△ABC≌△CDE，
∴CD=AB=12，AC=CE=7，.
∴AD=CD−AC=12−7=5.
【解析】(1)由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DCE，根据平行线的判定即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得出CD=AB=12，AC=CE=7，则可得出答案．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式=x−1x−2⋅(x+2)(x−2)(x+1)(x−1)−3x+1
=x+2x+1−3x+1
=x−1x+1，
在−2由题意得：x≠±1和2，
当x=0时，原式=0−10+1=−1.
【解析】根据分式的乘法法则、减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：∵AB=AC，D是BC的中点
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，
AB=AC∠BAE=∠CAEAE=AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS).
【解析】根据等腰三角形的性质求出∠BAE=∠EAC，利用SAS即可证明△ABE≌△ACE.
此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵(3x−m)(x2+x+1)
=3x3+(3−m)x2+(3−m)x−m
由题意得3−m=0，
解得m=3，
即m的值为3；
(2)∵a2+5b2+4(ab+b+1)
=(a2+4ab+4b2)+(b2+4b+4)
=(a+2b)2+(b+2)2
=0
∴a+2b=0，b+2=0，
解得a=4，b=−2，
∴(a−b)m
=[4−(−2)]3
=63
=216.
【解析】运用整式的混合运算确定m，a，b的值，并进行正确地计算、求解．
此题考查了整式的混合运算、完全平方公式和非负数的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
22.【答案】解：(1)设第二小组的攀登速度是xm/min，则第一小组的攀登速度是1.2xm/min，
根据题意得：480x−4801.2x=20，
解得：x=4，
经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×4=4.8(m/min).
答：第一小组的攀登速度是4.8m/min，第二小组的攀登速度是4m/min；
(2)根据题意得：4804.8(1+m%)+4804(1+m%)=176，
解得：m=25，
经检验，m=25是所列方程的解，且符合题意．
答：m的值为25.
【解析】(1)设第二小组的攀登速度是xm/min，则第一小组的攀登速度是1.2xm/min，利用时间=路程÷速度，结合第一组比第二组早20min到达顶峰，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出第二小组的攀登速度，再将其代入1.2x中，即可求出第一小组的攀登速度；
(2)利用时间=路程÷速度，结合两个小组再次分别攀登480m高的山共耗时176min，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】4±2
【解析】解：(1)①(x+1x)2−(x−1x)2
=(x2+2x⋅1x+1x2)−(x2−2x⋅1x+1x2)
=x2+2+1x2−x2+2−1x2
=4.
故答案为：4；
②∵(x+1x)2=8，
∴x2+2x⋅1x+1x2=8，
∴x2+2+1x2=8，
∴x2+1x2=8−2=6，
∴(x−1x)2=x2−2x⋅1x+1x2=6−2=4，
∴x−1x=± 4=±2.
故答案为：±2；
(2)①x2−3x+1=0，
除以x，得x−3+1x=0，
x+1x=3，
所以(x−1x)2=(x+1x)2−4x⋅1x=32−4=9−4=5，
即x−1x=± 5；
②当x>0时，|1x|−x=1，
1x−x=1，
所以(1x+x)2=(1x−x)2+4⋅1x⋅x
=12+4
=1+4
=5，
即1x+x=± 5，
∵x>0，
∴1x+x= 5，
当x<0时，|1x|−x=1，
−1x−x=1，
1x+x=−1，
(x−1x)2
=(x+1x)2−4x⋅1x
=(−1)2−4
=1−4
=−3，
即此时无解，
综合上述：|1x|+x= 5.
(1)①先根据完全平方公式展开，再算加减即可；
②先根据完全平方公式展开，求出x2+1x2=6，再根据完全平方公式得出(x−1x)2=x2−2x⋅1x+1x2，再求出答案即可；
(2)分为两种情况：①x>0，②x<0，再去掉绝对值符号，再根据完全平方公式求出答案即可．
本题考查了完全平方公式和分式的混合运算，能正确根据完全平方公式得出(x−y)2=(x+y)2−4xy是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=12∠BAC=15∘，∠ACE=12∠ACB=45∘，
∴∠CDA=∠BAD+∠ABD=75∘，∠BEC=∠BAC+∠ECA=75∘，
∴∠BEC=∠ADC；
(2)相等，
理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H.作FG⊥AB于G，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴HF=FG，∠DHF=∠EGF=90∘，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=60∘，
∴∠BAC=30∘，
∴∠DAC=12∠BAC=15∘，
∴∠CDA=75∘，
∵∠HFC=45∘，∠HFG=120∘，
∴∠GFE=15∘，
∴∠GEF=75∘=∠HDF，
在△DHF和△EGF中，
∠DHF=∠EGF∠HDF=∠GEFHF=GF，
∴△DHF≌△EGF(AAS)，
∴FE=FD；
(3)成立．
理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M.作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90∘，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC=60∘，
∴∠MFN=180∘−∠ABC=120∘，
∵∠CFA=180∘−(∠FAC+∠FCA)=180∘−12(∠ABC+∠ACB)=180∘−12(180∘−∠ABC)=180∘−12(180∘−60∘)=120∘，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120∘.
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE，
在△DMF和△ENF中，
∠DMF=∠ENFMF=NF∠DFN=∠NFE
∴△DMF≌△ENF(ASA)，
∴FE=FD.
【解析】(1)利用角平分线的性质以及三角形外角的性质得出即可；
(2)首先过点F作FH⊥BC于H.作FG⊥AB于G，连接BF，根据角平分线的性质，可得FH=FG，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=60∘，求得∠GEF=75∘=∠HDF，又由∠DHF=∠EGF=90∘，利用AAS，即可证得△DHF≌△EGF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD；
(3)过点F作FM⊥BC于M.作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN=FM，由∠ABC=60∘，即可求得∠MFN=120∘，∠EFD=∠AFC=120∘，继而求得∠DFM=∠DFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD.
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．