2023-2024学年湖北省咸宁市通山县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖北省咸宁市通山县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列汉字可以看作轴对称图形的是( )
A. 秀B. 美C. 通D. 山
2.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为( )
A. 0.7×10−8B. 7×10−7C. 7×10−8D. 7×10−9
3.若代数式x−1x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x=1B. x=−1C. x≠1D. x≠−1
4.下列计算正确的是( )
A. a3÷a3=aB. a3⋅a3=a6C. (ab2)3=ab6D. (a3)3=a6
5.如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠DEF，点B，E，C，F共线，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A. ∠A=∠DB. BE=CFC. AC//DFD. AC=DF
6.下列分解因式不正确的是( )
A. a2+2a=a(a+2)B. a2−9=(a+3)(a−3)
C. x2+4x+4=(x+2)2D. 4x3+4x+x=x(x+2)2
7.2x2−4−1x(x+2)计算结果是( )
A. xx+2B. 2xx+2C. 2xx−2D. 1x(x−2)
8.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=15∘，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC=( )
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm
9.如图所示.△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AE=AD，若∠BAD=48∘，则∠EDC的度数为( )
A. 24∘B. 28∘C. 30∘D. 38∘
10.已知x，y，z均为正整数，且满足2x×3y×4z=1152，则x+y+z取值不可能是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：(−2)0=__________.
12.一个正多边形的每个外角为72∘，那么这个正多边形的内角和是______.
13.若多项式x2−kx+9是一个完全平方式，则常数k的值是______.
14.如图，在△ABC中，AB=BC，D是BC边上一点，AD=AC，若∠B=50∘，则∠BAD=______度.
15.已知：x2−x=1，则x4−x3−2x2+x+1的值是______.
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，AM是BC边上的中线，点D，E分别在边BC和AC上，DA=DE，DE与AM相交于点N，EF⊥BC于点F，以下结论：①∠DAM=∠CDE；②BC=2DF；③AN=EF；④S△ADE=S四边形AMFE.其中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(2x+y)(2x−y)−(2x−y)2；
(2)因式分解：4a2b−9b3.
18.(本小题8分)
解方程：
(1)3x−2=2x；
(2)xx−1=33x−3+2.
19.(本小题8分)
如图，点P是△ABC内一点，且AC=BC，AP=BP，连接CP.
(1)求证：∠ACP=∠BCP；
(2)若AB=3CP=6，求△APC的面积.
20.(本小题8分)
先化简：x−2x2−1⋅x+1x2−4x+4+1x−1，再从−1，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值.
21.(本小题8分)
请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
(2)如图②，四边形ABCD中，AD//BC，∠A=∠D，画出BC边的垂直平分线n.
22.(本小题10分)
某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
23.(本小题10分)
如图1，已知△ABC是等边三角形，点D在边AB上.
(1)在CB的延长线上取点E，使EB=AD，在BC上截取CG=AD，连接DG.
①求证：△BDG是等边三角形；
②求证：DE=DC.
(2)如图2，在CB的延长线上取点F，使∠DFB=2∠DCB，直接写出BC，BD，BF，DF之间的等量关系.
24.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，CO⊥AB于点O，OA=a，OB=b，且a，b满足等式a2−2ab+b2=0.
(1)判断△ABC的形状并说明理由；
(2)如图2，点D是OC上的点，∠CAD的平分线交CO于点E，延长BD交AC于点F，过点E分别作EG⊥AC于点G，EH⊥BF于点H，求证：EG=EH；
(3)如图3，点P为线段BC上的动点(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥AB于Q，点M为线段PQ上一点，且PM=BM，N为AP的中点，延长MN至I，使IN=MN，连接CM，CI.求证：∠CIM=∠CMI.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：汉字“秀”、“美”、“通”、“山”四个字中，只有“美”沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，则“美”是轴对称图形．
故选：B.
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：0.000000007=7×10−9；
故选：D.
由科学记数法知0.000000007=7×10−9；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：要使代数式x−1x+1在实数范围内有意义，必须x+1≠0，
解得：x≠−1，
故选：D.
根据分式有意义的条件得出x+1≠0，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能熟记式子AB中B≠0是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、同底数幂相除，底数不变指数相减：a3÷a3=1，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、同底数幂相乘，底数不变指数相加：a3⋅a3=a6，原计算正确，故此选项符合题意；
C、积的乘方等于乘方的积：(ab2)3=a3b6，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、幂的乘方底数不变指数相乘：(a3)3=a9，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方和积的乘方的运算法则，可得答案．
本题考查了整式的运算，熟记法则并根据法则计算是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、∠A=∠D，又AB=DE，∠B=∠DEF，由ASA判定△ABC≌△DEF，故A不符合题意；
B、由BE=CF，得到BC=EF，又∠B=∠DEF，AB=DE，由SAS判定△ABC≌△DEF，故B不符合题意；
C、由AC//DE，得到∠ACB=∠F，又∠B=∠DEF，AB=DE，由AAS判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意；
D、AC=DF，∠B和∠DEF分别是AC和DE的对角，不能判定△ABC≌△DEF，故D符合题意．
故选：D.
由全等三角形的判定定理，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS，HL.
6.【答案】D
【解析】解：a2+2a=a(a+2)，则A不符合题意；
a2−9=(a+3)(a−3)，则B不符合题意；
x2+4x+4=(x+2)2，则C不符合题意；
4x3+4x+x=4x3+5x=x(4x2+5)，则D符合题意；
故选：D.
将各式因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：2x2−4−1x(x+2)
=2(x+2)(x−2)−1x(x+2)
=2xx(x+2)(x−2)−x−2x(x+2)(x−2)
=2x−(x−2)x(x+2)(x−2)
=x+2x(x+2)(x−2)
=1x(x−2)，
故选：D.
先通分，再根据同分母分式的减法法则进行计算．
本题考查了分式的减法法则，能正确根据分式的减法法则进行计算是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB=10cm，
∴∠DAB=∠B，
∵∠B=15∘，
∴∠DAB=15∘，
∵∠ADC是△ADB的外角，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30∘，
∵在△ABC中，∠C=90∘，
∴△ACD是Rt△，
∵∠ADC=30∘，
∴AC=12AD=12×10=5cm.
故选：B.
连接AD，由垂直平分线得性质可得AD=DB=10cm，然后由等边对等角可得∠DAB=∠B=15∘，再由外角的性质可得∠ADC=∠DAB+∠B=30∘，在Rt△ACD中，由30∘角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=12AD=12×10=5cm.
此题考查了含30∘角的直角三角形，解题的关键是：熟记含30∘角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及外角的性质．
9.【答案】A
【解析】解：如图，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，
即∠BAD=2∠EDC，
∵∠BAD=48∘，
∴∠EDC=24∘，
故选：A.
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数．
此题考查的知识点是等腰三角形的性质，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵2x×3y×4z=1152，
∴2x×3y×22z=9×128，
2x+2z×3y=32×27，
∴y=2，x+2z=7，
∵x，y，z均为正整数，
∴当x=1时，z=3，则x+y+z=6；
当x=2时，z=2.5(不符合题意)；
当x=3时，z=2，则x+y+z=7；
当x=4时，z=1.5(不符合题意)；
当x=5时，z=1，则x+y+z=8；
当x=6时，z=0.5(不符合题意)；
故x+y+z不可能的值为5.
故选：A.
利用幂的乘方的法则对条件进行整理，再分类讨论即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11.【答案】1
【解析】【分析】
主要考查了零指数幂的意义，即任何非0数的零次幂等于1.
根据零指数幂的运算法则进行计算．
【解答】
解：(−2)0=1.
故答案为1
12.【答案】540∘
【解析】解：这个正多边形的边数为360∘72=5，
所以这个正多边形的内角和=(5−2)×180∘=540∘.
故答案为：540∘.
先利用多边形的外角和为360∘计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．
本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：(n−2)⋅180(n≥3且n为整数)；多边形的外角和等于360度．
13.【答案】±6
【解析】解：∵x2−kx+9=x2−kx+32，
∴−kx=±2×3x，
解得k=±6.
故答案为：±6.
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式求解即可．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．
14.【答案】15
【解析】解：∵AB=BC，∠B=50∘，
∴∠C=∠BAC=12(180∘−50∘)=65∘，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=65∘，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴65∘=50∘+∠BAD，
∴∠BAD=15∘，
故答案为：15.
根据∠ADC=∠B+∠BAD，只要求出∠ADC即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】0
【解析】解：x4−x3−2x2+x+1
=x2(x2−x)−2x2+x+1，
∵x2−x=1，
∴原式=x2−2x2+x+1
=−x2+x+1
=−1+1
=0.
把所给代数式的前两项整理成和x2−x相关的式子，然后把x2−x=1代入继续整理，计算即可．
本题考查因式分解的应用．把前两项整理成和所给等式相关的式子是解决本题的关键．注意整体思想的应用．用到的知识点为：x2−x和−x2+x互为相反数．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠C=45∘，
∵AM是BC边上的中线，
∴AM=BM=CM=12BC，AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=12∠BAC=45∘，
∵EF⊥BC于点F，
∴∠AMD=∠DFE=90∘，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DAE=∠DAM+∠CAM=∠DAM+45∘，∠DEA=∠CDE+∠C=∠CDE+45∘，
∴∠DAM+45∘=∠CDE+45∘，
∴∠DAM=∠CDE，
故①正确；
在△DAM和△FDE中，
∠AMD=∠DFE∠DAM=∠EDFDA=ED，
∴△DAM≌△FDE(AAS)，
∴DF=AM=12BC，DM=EF，
∴BC=2DF，
故②正确；
观察图形可知，当DM逐渐变小时，则AN逐渐变大，
∴AN与DM不一定相等，
∴AN与EF不一定相等，
故③错误；
∵S△DAM=S△FDE，
∴SADN+S△DMN=S四边形NMFE+S△DMN，
∴SADN=S四边形NMFE，
∴SADN+S△ANE=S四边形NMFE+S△ANE，
∴SADE=S四边形AMFE，
故④正确，
故答案为：①②④．
由AB=AC，∠BAC=90∘，得∠B=∠C=45∘，而AM是BC边上的中线，所以AM=BM=CM=12BC，AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=45∘，因为EF⊥BC于点F，所以∠AMD=∠DFE=90∘，由DA=DE，得∠DAE=∠DEA，可推导出∠DAM+45∘=∠CDE+45∘，则∠DAM=∠CDE，可判断①正确；再证明△DAM≌△FDE，得DF=AM=12BC，DM=EF，则BC=2DF，可判断②正确；因为当DM逐渐变小时，则AN逐渐变大，所以AN与DM不一定相等，则AN与EF不一定相等，可判断③错误；由S△DAM=S△FDE，推导出SADN=S四边形NMFE，则SADN+S△ANE=S四边形NMFE+S△ANE，所以SADE=S四边形AMFE，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、“等边对等角”、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质等知识，证明△DAM≌△FDE是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=4x2−y2−4x2+4xy−y2
=4xy−2y2；
(2)原式=b(4a2−9b2)
=b(2a+3b)(2a−3b).
【解析】(1)根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可；
(2)先提公因式b，再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查平方差公式、完全平方公式以及提公因式法和公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
18.【答案】解：(1)去分母得3x=2(x−2)，
解得x=−4，
经检验，原方程的解为x=−4；
(2)xx−1=33x−3+2.
x=1+2(x−1)，
x=1，
经检验，x=1不是原方程的解，
所以原方程无解．
【解析】(1)先去分母，把分式方程化为整式方程，解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；
(2)先变形为3x(x−1)−2(x−1)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查解分式方程，正确记忆解分式方程的步骤是解题关键．
19.【答案】(1)证明：在△ACP和△BCP中，
AC=BCAP=BPCP=CP，
∴△ACP≌△BCP(SSS)，
∴∠ACP=∠BCP；
(2)解：如图所示，延长CP交AB于D，
∵△ACP≌△BCP，
∴∠ACP=∠BCP
∵AC=BC，
∴CD⊥AB,AD=BD=12AB=32，
∵AB=3CP=6，即CP=2，
∴S△ACP=12CP⋅AD=12×2×32=32.
【解析】(1)只需要证明△ACP≌△BCP，即可证明∠ACP=∠BCP；
(2)如图所示，延长CP交AB于D，根据三线合一定理得到CD⊥AB,AD=32，再根据三角形面积公式求解即可．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一定理，三角形面积，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
20.【答案】解：x−2x2−1⋅x+1x2−4x+4+1x−1
=x−2(x+1)(x−1)⋅x+1(x−2)2+1x−1
=1(x−1)(x−2)+1x−1
=1(x−1)(x−2)+x−2(x−1)(x−2)
=1x−2，
当x=0时，原式=1x−2=10−2=−12.
【解析】先化简题目中的式子，然后将x=0代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，注意x不能等于−1，1，2.
21.【答案】解：(1)如图①，直线m即为所求
(2)如图②，直线n即为所求

【解析】(1)连接AC，AC所在直线即为对称轴m.
(2)延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n.
本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线．
22.【答案】解：(1)设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元，
由题意得：2500x=2×2000x+30，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x+30=80.
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．
(2)设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球(50−a)个，
由题意得：50×(1+8%)(50−a)+80×0.9a≤3060，
解得：a≤20，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
【解析】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
(2)设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球(50−a)个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．
23.【答案】(1)证明：①∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60∘，
∵CG=AD，
∴BD=BG，
∴△DBG为等边三角形；
②由①可知：△DBG为等边三角形，
∴∠DBG=∠DGB=60∘，DB=DG，
∴∠DBE=∠DGC=120∘，
∵EB=AD，CG=AD，
∴EB=CG，
在△DBE和△DGC中，
DB=DG∠DBE=∠DBCBE=GC，
∴△DBE≌△DGC(SAS)，
∴DE=DC；
(2)解：BC=BD+BF+DF，
理由如下：如图2，在BF的延长线上取点G，使DG=DC，过点D作DH//BC，交AC于点H，
则∠CDH=∠DCB，
∵△ADH为等边三角形，
∴△ADH为等边三角形，
∴AD=AH，∠AHD=60∘，
∴DB=HC，∠DHC=120∘，
∴∠DHC=∠DBG，
∵DG=DC，
∴∠DGC=∠DCG，
∴∠CDH=∠DGC，
∵∠DFB=2∠DCB，
∴∠DFB=2∠DGC，
∵∠DFB=∠DGC+∠FDG，
∴∠DGC=∠FDG，
∴FD=FG，
在△GBD和△DHC中，
∠DGB=∠CDH∠GBD=∠DHCBD=HC，
∴△GBD≌△DHC(AAS)，
∴BG=DH=AD，
∴BC=AB=AD+DB=BG+BD=BF+DF+BD.
【解析】(1)①根据等边三角形的判定定理证明；
②证明△DBE≌△DGC，根据全等三角形的性质得到DE=DC；
(2)在BF的延长线上取点G，使DG=DC，过点D作DH//BC，交AC于点H，证明△GBD≌△DHC，得到BG=DH=AD，得到答案．
本题考查的是三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24.【答案】(1)解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2−2ab+b2=0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴OA=OB，
∵CO⊥AB，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)证明：如图2，连接EB，
∵OA=OB，CO⊥AB，
∴AE=BE，AD=BD，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△BDE(SSS)，
∴∠DAE=∠DBE，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∴∠CAE=∠DBE，
又∵∠AGE=∠BHE=90∘，AE=BE，
∴△AGE≌△BHE(AAS)，
∴EG=EH；
(3)证明：如图3，连接AI，
∵N为AP的中点，
∴AN=PN，
又∵∠ANI=∠PNM，IN=MN，
∴△AIN≌△PMN(SAS)，
∴AI=PM，∠IAN=∠MPN，
∴AI//PM，
∵PQ⊥AB，
∴∠IAB=90∘，
∵PM=BM，
∴PM=BM=AI，∠BPM=∠PBM，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CAB+∠CAI=90∘=∠CBA+∠BPM，
∴∠CAI=∠BPM，
∴∠PBM=∠CAI，
又∵AI=BM，AC=BC，
∴△AIC≌△BMC(SAS)，
∴CI=CM，
∴∠CIM=∠CMI.
【解析】(1)由线段垂直平分线可得AC=BC，即可求解；
(2)由“SSS”可证△ADE≌△BDE，可得∠DAE=∠DBE，由“AAS”可证△AGE≌△BHE，可得EG=EH；
(3)由“SAS”可证△AIN≌△PMN，可得AI=PM，∠IAN=∠MPN，由△AIC≌△BMC，可得CI=CM，由等腰三角形的性质可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．