2023-2024学年江西省上饶市广信区、余干县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年江西省上饶市广信区、余干县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，属于全等图形的一对是( )
A. B. C. D.
2.如图，△ABC的边BC上的高是( )
A. 线段AF
B. 线段DB
C. 线段CF
D. 线段BE
3.下列“表情图”中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算中，正确的是( )
A. (−b2)3=b6B. a3+a3=a4
C. (x+2y)(x−2y)=x2−4y2D. 2a6÷a2=2a3
5.如果分式11−2x的值为负数，则x的取值范围是( )
A. x≤12B. x<12C. x≥12D. x>12
6.如图已知，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，有下列结论：①EF平分∠MED；②∠2=2∠3；③∠1+12∠3=90∘；④∠1+2∠3=180∘，其中一定正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.三角形内角和定理：三角形内角和等于______.
8.△ABC和△DEF全等，记作______.
9.一个等腰三角形的一个底角为40∘，则它的顶角的度数是______度．
10.若分式|y|−55−y的值等于0，则y=______.
11.已知a+b=1，ab=−2，则a2+b2=______.
12.整数m为______时，式子3m−1为整数.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.以下是小明同学解方程1−xx−3=13−x−2的过程．
【解析】方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2.…第一步
解得x=4.…第二步
检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0.…第三步
所以，原分式方程的解为x=4.…第四步
(1)小明的解法从第______步开始出现错误；
(2)写出解方程1−xx−3=13−x−2的正确过程．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
计算：
(1)51×49；
(2)1032.
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高.请完成以下填空：
(1)BF=______=12______；
(2)∠BAD=______=12______；
(3)∠AEB=______=90∘；
(4)S△ABC=______.
16.(本小题8分)
分解因式：x2y−4y.
17.(本小题8分)
计算：3b216a÷bc2a2⋅(−2ab).
18.(本小题8分)
(1)如图1，已知BE，CD是△ABC的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出∠BAC的平分线；
(2)如图2，已知∠ABC=∠DCB，且BD，CA分别平分∠ABC与∠DCB，AC与BD相交于O，请你仅用无刻度的直尺作出∠BOC的平分线．
19.(本小题8分)
如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)求证：AB+AD=2AE.
20.(本小题8分)
阅读材料：解方程x2+2x−35=0，我们可以按下面的方法解答：
试用上述这种十字相乘法解下列方程：
(1)x2+5x+4=0；
(2)x2+3x−10=0.
21.(本小题8分)
某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品.甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg产品，甲型机器人搬运800kg产品所用时间与乙型机器人搬运600kg产品所用时间相等.
根据以上信息，解答下列问题.
(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为______.小惠同学设甲型机器人搬运800kg产品所用时间为y小时，可列方程为______.
(2)求乙型机器人每小时搬运多少千克产品.
22.(本小题8分)
先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则
原式=A2+2A+1=(A+1)2
再将“A”还原，得：原式=(x+y+1)2.
上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1+2(x−y)+(x−y)2=______.
(2)因式分解：(a+b)(a+b−4)+4
(3)证明：若n为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．
23.(本小题8分)
如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M，连接CM.
(1)求证：BE=AD；
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数(直接写出结果)；
(3)当α=90∘时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项B中的两个图形的形状一样，大小相等，
∴该选项中的两个图形是全等形，
故选项B符合题意；
选项C中的两个图形形状一样，但大小不相等，
选项A，D中的两个图形不是全等形，
故选项A，C，D不符合题意．
故选：B.
根据图形全等的定义对题目中给出的四个选项注意进行判断即可得出答案．
此题主要考查了图形全等的定义，正确理解图形全等的定义是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF.
故选：A.
根据三角形的高的定义进行分析即可得出结果．
本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：A不属于轴对称图形，故错误；
B不属于轴对称图形，故错误；
C不属于轴对称图形，故错误；
D属于轴对称图形，故正确；
故选：D.
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
4.【答案】C
【解析】解：A、(−b2)3=−b6，不符合题意；
B、a3+a3=2a3，不符合题意；
C、(x+2y)(x−2y)=x2−4y2，符合题意；
D、2a6÷a2=2a4，不符合题意．
故选：C.
分别根据幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则，平方差公式，单项式除以单项式法则计算即可得出答案．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则，平方差公式，单项式除以单项式法则，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了分式的值，解题的关键是得到关于x的不等式．
由于分式11−2x的值为负数，而分子为正数，则分母1−2x小于0，然后解不等式即可．
【解答】
解：∵分式11−2x的值为负数，
∴1−2x<0，
∴x>12.
故选D.
6.【答案】C
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠4=∠3，∠1+∠2=180∘，
由折叠得：∠4=∠5=12∠DEG，
∴EF平分∠DEM，∠3=∠5=∠4=12∠DEM，
∵∠2是△EFG的一个外角，
∴∠2=∠3+∠5=2∠3，
∴∠1+2∠3=180∘，
∵∠1+∠DEM=180∘，
∴12∠1+12∠DEM=90∘，
∴12∠1+∠3=90∘，
所以，上列结论，其中一定正确的是①②④，有3个，
故选：C.
先利用长方形的性质可得：AD//BC，从而利用平行线的性质可得∠4=∠3，∠1+∠2=180∘，再利用折叠的性质可得：∠4=∠5=12∠DEG，从而可得EF平分∠DEM，∠3=∠5=∠4=12∠DEM，然后利用三角形的外角性质可得：∠2=∠3+∠5=2∠3，从而可得∠1+2∠3=180∘，再利用平角定义可得∠1+∠DEM=180∘，最后利用等式的性质以及等量代换可得：12∠1+∠3=90∘，即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
7.【答案】180∘
【解析】解：∵三角形内角和等于180∘.
故答案为：180∘.
根据三角形内角和定理即可得答案．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题关键．
8.【答案】△ABC≌△DEF
【解析】解：△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，
故答案为：△ABC≌△DEF.
根据全等三角形的表示符号求解即可．
此题考查了全等三角形，熟记全等三角形的表示方法是解题的关键．
9.【答案】100
【解析】解：因为其底角为40∘，所以其顶角=180∘−40∘×2=100∘.
故答案为100.
已知给出了一个底角为40∘，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180∘即可解本题．
此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180∘.利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
10.【答案】−5
【解析】【分析】
本题主要考查分式的值为0的条件和绝对值的知识点．
分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可.
根据分式的值为0的条件解题即可.
【解答】
解：若分式|y|−55−y的值等于0，
则|y|−5=0，y=±5.
又∵5−y≠0，y≠5，
∴y=−5.
若分式|y|−55−y的值等于0，则y=−5.
故答案为−5.
11.【答案】5
【解析】解：∵a+b=1，ab=−2，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=1.
∴a2+b2=1−2ab=1−2×(−2)=5.
故答案为：5.
根据完全平方公式解决此题．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
12.【答案】2，0，4，−2
【解析】解：∵3×1=(−1)×(−3)=3，
∴m−1=3或m−1=1或m−1=−1或m−1=−3.
解得：m=4或m=2或m=0或m=−2.
故答案为：2，0，4，−2.
由式子为整数可知m−1=3或m−1=1或m−1=−1或m−1=−3，从而可解得m的值．
本题主要考查的是求代数式的值，根据式子为整数确定出m−1的值是解题的关键．
13.【答案】一
【解析】解：(1)小明的解法从第一步开始出现错误．
故答案为：一．
(2)方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2(x−3).
解得x=4.
检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0.
所以，原分式方程的解为x=4.
(1)第一步去分母时整数漏乘．
(2)根据解分式方程的步骤，先确定最简公分母，然后去分母，解整式方程，检验，得出解．
本题考查解分式方程的问题，确定最简公分母，然后去分母是解分式方程的首要步骤，在去分母时不要漏乘，注意对分式方程要检验．
14.【答案】解：(1)51×49
=(50+1)×(50−1)
=502−12
=2500−1
=2499；
(2)1032
=(100+3)2
=1002+2×100×3+32
=10000+600+9
=10609.
【解析】(1)先把原式变形为(50+1)×(50−1)，然后根据平方差公式计算即可；
(2)先把原式变形为(100+3)2，然后根据完全平方公式计算即可．
本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键．
15.【答案】CFBC∠CAD∠BAC∠AEC12BC⋅AE
【解析】解：(1)∵AF是中线，
∴BF=CF=12BC，
故答案为：CF，BC；
(2)∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
故答案为：∠CAD，∠BAC；
(3)∵AE是△ABC的高，
∴∠AEB=∠AEC=90∘，
故答案为：∠AEC；
(4)∵AE是△ABC的高，
∴S△ABC=12BC⋅AE，
故答案为：12BC⋅AE.
由三角形的中线、高线、角平分线的定义，即可得到答案．
本题考查三角形的中线、高线、角平分线，关键是掌握三角形的中线、高线、角平分线的定义．
16.【答案】解：原式=y(x2−4)
=y(x+2)(x−2).
【解析】先提公因式y，再利用平方差公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
17.【答案】解：原式=3b216a⋅2a2bc⋅(−2ab)
=−3a24c.
【解析】先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的乘除法则的应用，注意：把除法变成乘法后进行约分即可．
18.【答案】解：(1)如图1，AF为所作；
(2)如图2，OQ为所作．

【解析】(1)连接A点和BE与CD的交点，并延长交BC于F，则AF满足条件；
(2)BA、CD的延长线相交于P点，可证明△PAB和△OBC都为等腰三角形，同时可判断O点为△PBC的角平分线的交点，则延长PO交BC于Q，所以OQ满足条件．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图．也考查了三角形三条角平分线相交于点．
19.【答案】证明：(1)∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
CE=CFBC=CD，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).
(2)∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=EB，CE=CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
CE=CFAC=AC，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴AE=AF=AD+DF.
∵AE=AB−EB，
∴AD+AB=2AE.
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质及角平分线性质.
(1)根据角平分线性质推出CE=CF，又由BC=CD.根据HL证出两直角三角形全等即可.
(2)根据全等三角形性质推出DF=BE，由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，证出Rt△ACE≌Rt△ACF，得出AE=AF，因为AE=AF=AD+DF=AB−EB，可证AD+AB=2AE.
20.【答案】解：(1)x2+5x+4=0，
(x+1)(x+4)=0，
∴x+1=0或x+4=0，
∴x1=−1，x2=−4.
(2)x2+3x−10=0，
(x+5)(x−2)=0，
∴x+5=0或x−2=0，
∴x1=−5，x2=2.
【解析】根据题中所给的十字相乘法，将方程的二次项和常数项进行竖分，确保交叉相乘再相加等于一次项即可．
本题考查因式分解法解一元二次方程，将二次项和常数项进行正确的竖分是解题的关键．
21.【答案】800x+10=600x 800y−600y=10
【解析】解：(1)设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运(x+10)kg产品，
依题意得：800x+10=600x；
设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，
依题意得：800y−600y=10.
故答案为：800x+10=600x；800y−600y=10.
(2)选择小华同学的思路：800x+10=600x，
化简得：800x=600x+6000，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意．
选择小惠同学的思路：800y−600y=10，
变形得：800−600=10y，
解得：y=20，
经检验，y=20是原方程的解，且符合题意，
∴600y=30.
所以乙型机器人每小时搬运30kg产品．
(1)设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运(x+10)kg产品，根据甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等，即可得出关于x的分式方程；设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，即可得出关于y的分式方程；
(2)任选一位同学的思路，解分式方程即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(x−y+1)2
【解析】解：(1)1+2(x−y)+(x−y)2
=(x−y+1)2；
(2)令A=a+b，则原式变为A(A−4)+4=A2−4A+4=(A−2)2，
故(a+b)(a+b−4)+4=(a+b−2)2；
(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1
=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．
(1)把(x−y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
(2)令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
(3)将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
23.【答案】解：(1)∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD；
(2)∠AMB=α；
(3)△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由(1)可得，BE=AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
CA=CB∠CAP=∠CBQAP=BQ，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90∘，
∴∠BCQ+∠PCB=90∘，
∴∠PCQ=90∘，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE，可得BE=AD；
(2)根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根据三角形内角和即可得到∠AMB=α；
(3)先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根据∠ACB=90∘即可得到∠PCQ=90∘，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．
解：(1)见答案；
(2)∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180∘−α，
∴∠BAM+∠ABM=180∘−α，
∴△ABM中，
∠AMB=180∘−(180∘−α)=α；
(3)见答案.(1)分解因式x2+2x−35
①竖分二次项与常数项：x2=x⋅x，−35=(−5)×(+7)
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：x2+2x−35=(x−5)(x+7)
(2)根据乘法原理，若ab=0，则a=0或b=0，则方程x2+2x−35可以这样求解：
方程左边因式分解得(x−5)(x+7)=0
∴x−5=0或x+7=0
∴x1=5，x2=−7