2023-2024学年山东省滨州市博兴县八年级(上)期末数学试卷(含详细答案解析)
展开1.下列各组线段中,不能组成三角形的是( )
A. 3,3,5B. 5,6,7C. 3,8,8D. 5,6,11
2.下列运算不正确的是( )
A. b6÷b3=b3B. x4+x4=2x8C. (−3a4)2=9a8D. m⋅m6=m7
3.下列图形:①线段,②圆,③三角形,④长方形,其中轴对称图形的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.如图,在△ABC中,AB=BC,AD是中线,BE=CF,则下列说法:①AD平分∠EDF,②△EBD≌△FCD,③BD=FD,④AD⊥BC,其中正确的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.下列各式:①(a−4)(a+4),②(−x−3)(−x+3),③(m−5)(−5−m),④(−x+y)(−y+x),其中在进行乘法运算时,能够利用平方差公式进行运算的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
6.把分式方程xx+1=3x−1+1变形为x(x−1)=3(x+1)+(x+1)(x−1)的形式,其依据为( )
A. 等式性质1B. 等式性质2C. 分式的基本性质D. 分式的乘法法则
7.如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线.若∠BAC=60∘,∠C=70∘,则∠EAD的大小为( )
A. 5∘
B. 10∘
C. 15∘
D. 20∘
8.如图,△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,且BD//AC,小明同学得出了下列结论:①PM=PN;②点P在∠CAB的平分线上;③∠CPB=90∘−∠A;④AB=CB.其中错误的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
9.若代数式x+2x−2有意义,则x的取值范围是______.
10.一个多边形的内角和为900∘,则这个多边形的边数为______.
11.如图,将两根长度相等的钢条AA′,BB′的中点固定在O点,使AA′,BB′可以绕着O点转动,就做成了一个测量工具,则A′B′的长等于内槽宽AB,原因是△OAB和△OA′B′全等,那么判定△OAB和△OA′B′全等的依据为______.
12.在平面直角坐标系中,点P(1,−6)关于x轴对称的点Q的坐标为______.
13.如果分式x2−42x2−5x+2的值是0,则x的值为______.
14.我们规定:等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特色值”,记作m.若m=2,则该等腰三角形底角的大小为______.
15.已知xm=6,xn=3,则x2m−n的值为______.
16.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如图所示的三角形来解释二项和(a+b)n的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的各项系数.例如三角形第4行的4个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项(a+b)5的系数,此三角形称为“杨辉三角”.若根据“杨辉三角”的特征写出(a+b)10的展开式,则其第三项的系数为______.
三、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示,其中点B,E,C,F在同一条直线上.若AB//DE,AB=DE,BE=CF,那么AC与DF平行吗?为什么?
18.(本小题12分)
计算:
(1)(2x+y)(3x−y+1);
(2)3(a−b)2−(2a+b)(−b+2a).
19.(本小题12分)
分解因式:
(1)(3x−2)2−(2x+7)2;
(2)4+12(x−y)+9(x−y)2.
20.(本小题12分)
先化简,再求值:(a−2a2+2a−a−1a2+4a+4)÷a−4a+2,其中a是方程aa−1−1=3a2−1的解.
21.(本小题12分)
在Rt△ABC中∠C=90∘,AD是∠BAC的平分线,DE是线段AB的垂直平分线.
(1)求∠B的大小;
(2)求证:BC=3DC.
22.(本小题12分)
如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边EF上建一自来水厂向A村与B村供水.若要使水厂到A,B村的水管(同样的料)用料最省,则水厂应建在什么位置?
(1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置(保留作图痕迹);
(2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤;
(3)请根据画法证明你的结论.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:A.3+3=6>5,∴3,3,5能组成三角形,故A不符合题意;
B.5+6=11>7,∴5,6,7能组成三角形,故B不符合题意;
C.3+8=11>8,∴3,8,8能组成三角形,故C不符合题意;
D.5+6=11,∴5,6,11不能组成三角形,故D符合题意;
故选:D.
根据三角形的三边关系即可解答.
本题主要考查了三角形三边关系的应用,解题的关键是熟练掌握“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”.
2.【答案】B
【解析】解:A.b6÷b3=b3,故该选项正确;
B.x4+x4=2x4,故该选项错误;
C. (−3a4)2=9a8,故该选项正确;
D.m⋅m6=m7,故该选项正确;
故选:B.
根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、合并同类项、积的乘方法则逐项计算,即可得出答案.
本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方,熟练掌握各项运算法则是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:线段、圆、长方形是轴对称图形,三角形不是轴对称图形,
∴轴对称图形的个数为3个;
故选:C.
根据轴对称图形的概念判断即可.
本题考查了轴对称图形:如果一个图形沿着某条直线对折后,直线两旁的部分能够重合,则称这个图形是轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
4.【答案】C
【解析】解:∵AB=BC,AD是中线,
∴AD⊥BC,∠B=∠C,BD=CD,
即④正确;
在△EBD和△FCD中,
BD=CD∠B=∠CBE=CF,
∴△EBD≌△FCD(SAS),
故②正确;
∴∠BDE=∠CDF;
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90∘,
∴∠ADE=∠ADF,
∴AD平分∠EDF,
故①正确;
∵△EBD≌△FCD,
∴DE=FD,
∴当DE=BD时,有BD=FD,否则不相等,
故③错误;
故正确的有3个,
故选:C.
由等腰三角形的性质可判断④正确,且∠B=∠C,进而可证明△EBD≌△FCD,即可判断②正确;从而可判断①正确;至于③不一定正确.
本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,掌握这些知识点是关键.
5.【答案】B
【解析】解:(a−4)(a+4),(−x−3)(−x+3),(m−5)(−5−m)均符合平方差公式的结构特点,能够利用平方差公式进行运算;而(−x+y)(−y+x)中,前一多项式的两项与后一多项式中的两项分别互为相反数,故不能用平方差公式进行运算;
故选:B.
根据平方差公式的特点进行判断即可.
本题考查了平方差公式,从相乘的两个多项式的项来看,平方差公式的结构特点:从相乘的两个多项式的项来看,有相同的项,有互为相反数的项,乘积的结果是相同的项的平方减去互为相反数的项的平方;从运算来看,是两数的和与两数的差的积,结果是两数的平方差,掌握这一特点是关键.
6.【答案】B
【解析】解:分式方程xx+1=3x−1+1等式两边同时乘以(x+1)(x−1)得到x(x−1)=3(x+1)+(x+1)(x−1),
∴A、等式性质1:等式两边同时加上或者减去同一个式子,等式仍成立,不符合题意;
B、等式性质2:等式两边同时乘同一个式子,等式仍成立,符合题意;
C、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为0的整式,分式值不变,不符合题意;
D、分式的乘法法则:分式的分子和分母分别相乘,即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘,不符合题意;
故选:B.
根据等式的性质,分式的性质,逐一判断即可.
本题考查解分式方程,掌握分式方程的性质是解题的关键.
7.【答案】B
【解析】解:∵∠BAC=60∘,∠C=70∘,
∴∠B=180∘−∠BAC−∠C
=180∘−60∘−70∘
=50∘.
∵AD是高,AE是角平分线.
∴∠ADC=90∘,∠BAE=12∠BAC=30∘.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠ADC−∠B=90∘−50∘=40∘.
∵∠BAD=∠BAE+∠EAD,
∴∠EAD=∠BAD−∠BAE=40∘−30∘=10∘.
故选:B.
先利用三角形的内角和定理及推论求出∠B、∠BAD,再利用角平分线的性质求出∠BAE,最后利用角的和差关系得结论.
本题主要考查了三角形的内角和定理及推论,掌握“三角形的内角和是180∘”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、角的和差关系等知识点是解决本题的关键.
8.【答案】A
【解析】解:过点P作PG⊥BC于点G,
∵BD平分∠MBD,CE平分∠BCN,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,
∴PM=PG,PN=PG,
∴PM=PN,故①正确;
连接AP,
∵PM=PN,
∴点P在∠CAB的平分线上,故②正确;
∵BD//AC,
∴∠A=∠MBP,
∵PM⊥AB,
∴∠MBP+∠BPM=90∘,
∴∠MPB=90∘−∠A,
在Rt△BPM与Rt△BPG中,
MP=GPBP=BP,
∴Rt△BPM≌Rt△BPG(HL),
∴∠GPB=∠MPB,
∴∠GPB=90∘−∠A,由图可知∠BPC≠∠BPG,故③错误;
∵BD是∠MBC的平分线,
∴∠MBP=∠PBC,
∵BD//AC,
∴∠A=∠MBP,∠ACB=∠PBC,
∴∠A=∠ACB,
∴AB=CB,故④正确.
故选:A.
过点P作PG⊥BC于点G,由角平分线的性质可得出PM=PG=PN,故①正确;连接AP,由PM=PN可知点P在∠CAB的平分线上,故②正确;由平行线的性质可知∠A=∠MBP,再由∠MBP+∠BPM=90∘可知∠MPB=90∘−∠A,由HL定理可知Rt△BPM≌Rt△BPG,故∠GPB=∠MPB,所以∠GPB=90∘−∠A,由图可知∠BPC≠∠BPG,故③错误;根据BD是∠MBC的平分线可知∠MBP=∠PBC,再由BD//AC可知∠A=∠MBP,∠ACB=∠PBC,故可得出∠A=∠ACB,据此得出结论.
本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质,熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
9.【答案】x≠2
【解析】解:∵代数式x+2x−2有意义,
∴x−2≠0,
∴x≠2,
故答案为:x≠2.
分式有意义的条件是:分母≠0,可得x−2≠0,解不等式可得答案.
此题主要考查了分式有意义的条件,关键是把握:分母≠0.
10.【答案】7
【解析】解:设这个多边形的边数为n,则有
(n−2)×180∘=900∘,
解得:n=7,
∴这个多边形的边数为7.
故答案为:7.
根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900∘,列出方程,解出即可.
本题主要考查多边形的内角和定理,解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题.
11.【答案】边角边
【解析】解:连接AB、A′B′,
∵两根长度相等的钢条AA′,BB′的中点固定在O点,
∴OA=OA′,OB=OB′,
∵∠AOB=∠A′OB′,
∴△OAB≌△OA′B′(SAS);
故答案为:边角边.
由题意得OA=OA′,OB=OB′,由对顶角相等即可判定两个三角形全等.
本题考查了全等三角形的判定与性质的应用,掌握其性质定理是解决此题的关键.
12.【答案】(1,6)
【解析】解:点P(1,−6)关于x轴对称的点Q(1,6),
故答案为:(1,6).
直接利用关于x轴对称点的性质得出Q点坐标.
本题主要考查了关于x轴对称点的性质以及点的坐标特点,正确掌握关于x轴对称点的性质是解题关键.
13.【答案】−2
【解析】解:∵x2−4=0,
∴x=±2,
当x=2时,2x2−5x+2=0,
当x=−2时,2x2−5x+2≠0,
∴当x=−2时,分式的值是0.
故答案为−2.
分式的值是0的条件是:分子为0,分母不为0.
分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0,这是经常考查的知识点.
14.【答案】72∘
【解析】解:设等腰三角形的顶角是α,底角是β,
∵等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特色值”,记作m.若m=2,
∴β:α=m=2,
∴β=2α,
∵β+β+α=180∘,
∴5α=180∘,
∴α=36∘,
∴β=72∘.
∴该等腰三角形底角的大小为72∘.
故答案为:72∘.
设等腰三角形的顶角是α,底角是β,根据题意得β:α=m=2,则β=2α,由三角形内角和定理即可求解.
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质,能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出5α=180∘是解此题的关键.
15.【答案】12
【解析】解:x2m−n=(xm)2÷xn=36÷3=12.
故答案为:12.
根据同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减,进行运算即可.
本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识,属于基础题.
16.【答案】45
【解析】解:根据“杨辉三角”的特征可得:
(a+b)0的第三项的系数为0,
(a+b)1的第三项的系数为0,
(a+b)2的第三项的系数为1,
(a+b)3的第三项的系数为3=1+2,
(a+b)4的第三项的系数为6=1+2+3,
(a+b)5的第三项的系数为10=1+2+3+4,
,
∴(a+b)10的第三项的系数为1+2+3+...+9=9×(9+1)2=45,
故答案为:45.
根据“杨辉三角”的特征确定出每个展开式中第三项的系数的规律解答即可.
本题考查了完全平方公式,数字的规律,弄清“杨辉三角”中的系数规律是解题的关键.
17.【答案】解:AC//DF,理由如下:
∵BE=CF,
∴BC=EF.
∵AB//DE,
∴∠B=∠DEF.
在△ABC和△DEF中,
AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB=∠F,
∴AC//DF.
【解析】根据线段的和差求出BC=EF,根据平行线的性质得出∠B=∠DEF,利用SAS证明△ABC≌△DEF,根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠F,根据平行线的判定即可得解.
此题考查了全等三角形的判定与性质,熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键.
18.【答案】解:(1)(2x+y)(3x−y+1)
=6x2−2xy+2x+3xy−y2+y
=6x2+xy+2x−y2+y.
(2)3(a−b)2−(2a+b)(−b+2a)
=3(a2−2ab+b2)−(4a2−b2)
=3a2−6ab+3b2−4a2+b2
=−a2−6ab+4b2.
【解析】(1)根据多项式乘多项式的法则展开,最后合并同类项即可;
(2)分别利用完全平方公式与平方差公式展开,再合并同类项即可.
本题考查了整式乘法的混合运算,乘法公式,正确进行运算是解题的关键.
19.【答案】解:(1)原式=[(3x−2)+(2x+7)][(3x−2)−(2x+7)]
=(3x−2+2x+7)(3x−2−2x−7)
=(5x+5)(x−9)
=5(x+1)(x−9);
(2)原式=22+2×2×[3(x−y)]+[3(x−y)]2
=[2+3(x−y)]2
=(3x−3y+2)2.
【解析】(1)原式运用平方差公式进行因式分解即可;
(2)原式运用完全平方公式进行因式分解即可.
此题考查了分解因式,熟记完全平方公式和平方差公式是解答的关键.
20.【答案】解:原式=[a−2a(a+2)−a−1(a+2)2]⋅a+2a−4
=a−4a(a+2)2⋅a+2a−4
=1a2+2a,
解方程aa−1−1=3a2−1,
去分母得:a(a+1)−(a2−1)=3,
去括号得:a2+a−a2+1=3,
解得a=2,
当a=2时,原式=1a2+2a=18.
【解析】先根据分式的混合运算法则计算化简,再求出方程的解,代入求值即可.
本题主要考查了分式的化简求值及分式方程的解,熟知分式混合运算的法则是解题的关键.
21.【答案】(1)解:∵∠C=90∘,
∴∠B+∠BAC=90∘,
∴∠B+∠BAD+∠DAC=90∘,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵DE是AB垂直平分线,
∴DA=DB,
∴∠B=∠BAD,
∴∠B=∠BAD=∠DAC=30∘,
∴∠B的度数为30∘;
(2)证明:在Rt△BDE中,∠B=30∘,
∴BD=2DE,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC,
∴BD=2CD,
∴BC=3DC.
【解析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAC=90∘,从而可得∠B+∠BAD+∠DAC=90∘,然后根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC,
再根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB,从而可得∠B=∠BAD=∠DAC=30∘,即可解答;
(2)在Rt△BDE中,利用含30度角的直角三角形的性质可得BD=2DE,然后利用角平分线的性质可得DE=DC,从而进行计算即可解答.
本题考查了含30度角的直角三角形,线段垂直平分线的性质,熟练掌握含30度角的直角三角形,以及线段垂直平分线的性质是解题的关键.
22.【答案】解:(1)过A作EF的垂线MN,交EF于K,在射线KN上截取KA′=KA,连接A′B交EF于O,如图:
点O即为水厂应建位置;
(2)作法:
①以点A为圆心.以大于点A到直线EF的距离为半径画弧,交直线EF于两点C,D;
②分别以点C,D为圆心.以大于12CD的长为半径画弧交于异于点A的另一点M;
③过M,A作直线MN,交直线EF于点K;
④在射线KN上截取KA′=KA:
⑤连接BA′交直线EF于点O;
点O即为所求;
(3)证明:由作图可知:AC=AD,MC=MD,
∵AM=AM,
∴△ACM≌△ADM(SSS),
∴∠CAM=∠DAM,
∵MC=MD,
∴MK⊥EF,
∵KA=KA′,
∴EF是AA′的垂直平分线,
∴OA=OA′,
∴OA+OB=OA′+OB,
∵A′,O,B共线,
∴此时OA+OB最小,最小值即为A′B的长度.
【解析】(1)过A作EF的垂线MN,交EF于K,在射线KN上截取KA′=KA,连接A′B交EF于O,点O即为水厂应建位置;
(2)根据作图写出作法即可;
(3)证明:△ACM≌△ADM(SSS),知∠CAM=∠DAM,可得MK⊥EF,而KA=KA′,即得EF是AA′的垂直平分线,故OA=OA′,OA+OB=OA′+OB,又A′,O,B共线,从而知此时OA+OB最小,最小值即为A′B的长度.
本题考查作图-应用与设计作图,解题的关键是掌握“将军饮马”问题的解决方法.
2023-2024学年山东省滨州市邹平市八年级(上)期末数学试卷(含详细答案解析): 这是一份2023-2024学年山东省滨州市邹平市八年级(上)期末数学试卷(含详细答案解析),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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