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    2023-2024学年山东省滨州市博兴县八年级(上)期末数学试卷(含详细答案解析)
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    2023-2024学年山东省滨州市博兴县八年级(上)期末数学试卷(含详细答案解析)

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    这是一份2023-2024学年山东省滨州市博兴县八年级(上)期末数学试卷(含详细答案解析),共15页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.下列各组线段中,不能组成三角形的是( )
    A. 3,3,5B. 5,6,7C. 3,8,8D. 5,6,11
    2.下列运算不正确的是( )
    A. b6÷b3=b3B. x4+x4=2x8C. (−3a4)2=9a8D. m⋅m6=m7
    3.下列图形:①线段,②圆,③三角形,④长方形,其中轴对称图形的个数为( )
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    4.如图,在△ABC中,AB=BC,AD是中线,BE=CF,则下列说法:①AD平分∠EDF,②△EBD≌△FCD,③BD=FD,④AD⊥BC,其中正确的个数为( )
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4
    5.下列各式:①(a−4)(a+4),②(−x−3)(−x+3),③(m−5)(−5−m),④(−x+y)(−y+x),其中在进行乘法运算时,能够利用平方差公式进行运算的个数为( )
    A. 4B. 3C. 2D. 1
    6.把分式方程xx+1=3x−1+1变形为x(x−1)=3(x+1)+(x+1)(x−1)的形式,其依据为( )
    A. 等式性质1B. 等式性质2C. 分式的基本性质D. 分式的乘法法则
    7.如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线.若∠BAC=60∘,∠C=70∘,则∠EAD的大小为( )
    A. 5∘
    B. 10∘
    C. 15∘
    D. 20∘
    8.如图,△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,且BD//AC,小明同学得出了下列结论:①PM=PN;②点P在∠CAB的平分线上;③∠CPB=90∘−∠A;④AB=CB.其中错误的个数为( )
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
    9.若代数式x+2x−2有意义,则x的取值范围是______.
    10.一个多边形的内角和为900∘,则这个多边形的边数为______.
    11.如图,将两根长度相等的钢条AA′,BB′的中点固定在O点,使AA′,BB′可以绕着O点转动,就做成了一个测量工具,则A′B′的长等于内槽宽AB,原因是△OAB和△OA′B′全等,那么判定△OAB和△OA′B′全等的依据为______.
    12.在平面直角坐标系中,点P(1,−6)关于x轴对称的点Q的坐标为______.
    13.如果分式x2−42x2−5x+2的值是0,则x的值为______.
    14.我们规定:等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特色值”,记作m.若m=2,则该等腰三角形底角的大小为______.
    15.已知xm=6,xn=3,则x2m−n的值为______.
    16.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如图所示的三角形来解释二项和(a+b)n的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的各项系数.例如三角形第4行的4个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项(a+b)5的系数,此三角形称为“杨辉三角”.若根据“杨辉三角”的特征写出(a+b)10的展开式,则其第三项的系数为______.
    三、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题12分)
    某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示,其中点B,E,C,F在同一条直线上.若AB//DE,AB=DE,BE=CF,那么AC与DF平行吗?为什么?
    18.(本小题12分)
    计算:
    (1)(2x+y)(3x−y+1);
    (2)3(a−b)2−(2a+b)(−b+2a).
    19.(本小题12分)
    分解因式:
    (1)(3x−2)2−(2x+7)2;
    (2)4+12(x−y)+9(x−y)2.
    20.(本小题12分)
    先化简,再求值:(a−2a2+2a−a−1a2+4a+4)÷a−4a+2,其中a是方程aa−1−1=3a2−1的解.
    21.(本小题12分)
    在Rt△ABC中∠C=90∘,AD是∠BAC的平分线,DE是线段AB的垂直平分线.
    (1)求∠B的大小;
    (2)求证:BC=3DC.
    22.(本小题12分)
    如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边EF上建一自来水厂向A村与B村供水.若要使水厂到A,B村的水管(同样的料)用料最省,则水厂应建在什么位置?
    (1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置(保留作图痕迹);
    (2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤;
    (3)请根据画法证明你的结论.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】解:A.3+3=6>5,∴3,3,5能组成三角形,故A不符合题意;
    B.5+6=11>7,∴5,6,7能组成三角形,故B不符合题意;
    C.3+8=11>8,∴3,8,8能组成三角形,故C不符合题意;
    D.5+6=11,∴5,6,11不能组成三角形,故D符合题意;
    故选:D.
    根据三角形的三边关系即可解答.
    本题主要考查了三角形三边关系的应用,解题的关键是熟练掌握“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”.
    2.【答案】B
    【解析】解:A.b6÷b3=b3,故该选项正确;
    B.x4+x4=2x4,故该选项错误;
    C. (−3a4)2=9a8,故该选项正确;
    D.m⋅m6=m7,故该选项正确;
    故选:B.
    根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、合并同类项、积的乘方法则逐项计算,即可得出答案.
    本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方,熟练掌握各项运算法则是解题的关键.
    3.【答案】C
    【解析】解:线段、圆、长方形是轴对称图形,三角形不是轴对称图形,
    ∴轴对称图形的个数为3个;
    故选:C.
    根据轴对称图形的概念判断即可.
    本题考查了轴对称图形:如果一个图形沿着某条直线对折后,直线两旁的部分能够重合,则称这个图形是轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
    4.【答案】C
    【解析】解:∵AB=BC,AD是中线,
    ∴AD⊥BC,∠B=∠C,BD=CD,
    即④正确;
    在△EBD和△FCD中,
    BD=CD∠B=∠CBE=CF,
    ∴△EBD≌△FCD(SAS),
    故②正确;
    ∴∠BDE=∠CDF;
    ∵AD⊥BC,
    ∴∠ADB=∠ADC=90∘,
    ∴∠ADE=∠ADF,
    ∴AD平分∠EDF,
    故①正确;
    ∵△EBD≌△FCD,
    ∴DE=FD,
    ∴当DE=BD时,有BD=FD,否则不相等,
    故③错误;
    故正确的有3个,
    故选:C.
    由等腰三角形的性质可判断④正确,且∠B=∠C,进而可证明△EBD≌△FCD,即可判断②正确;从而可判断①正确;至于③不一定正确.
    本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,掌握这些知识点是关键.
    5.【答案】B
    【解析】解:(a−4)(a+4),(−x−3)(−x+3),(m−5)(−5−m)均符合平方差公式的结构特点,能够利用平方差公式进行运算;而(−x+y)(−y+x)中,前一多项式的两项与后一多项式中的两项分别互为相反数,故不能用平方差公式进行运算;
    故选:B.
    根据平方差公式的特点进行判断即可.
    本题考查了平方差公式,从相乘的两个多项式的项来看,平方差公式的结构特点:从相乘的两个多项式的项来看,有相同的项,有互为相反数的项,乘积的结果是相同的项的平方减去互为相反数的项的平方;从运算来看,是两数的和与两数的差的积,结果是两数的平方差,掌握这一特点是关键.
    6.【答案】B
    【解析】解:分式方程xx+1=3x−1+1等式两边同时乘以(x+1)(x−1)得到x(x−1)=3(x+1)+(x+1)(x−1),
    ∴A、等式性质1:等式两边同时加上或者减去同一个式子,等式仍成立,不符合题意;
    B、等式性质2:等式两边同时乘同一个式子,等式仍成立,符合题意;
    C、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为0的整式,分式值不变,不符合题意;
    D、分式的乘法法则:分式的分子和分母分别相乘,即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘,不符合题意;
    故选:B.
    根据等式的性质,分式的性质,逐一判断即可.
    本题考查解分式方程,掌握分式方程的性质是解题的关键.
    7.【答案】B
    【解析】解:∵∠BAC=60∘,∠C=70∘,
    ∴∠B=180∘−∠BAC−∠C
    =180∘−60∘−70∘
    =50∘.
    ∵AD是高,AE是角平分线.
    ∴∠ADC=90∘,∠BAE=12∠BAC=30∘.
    ∵∠ADC=∠B+∠BAD,
    ∴∠BAD=∠ADC−∠B=90∘−50∘=40∘.
    ∵∠BAD=∠BAE+∠EAD,
    ∴∠EAD=∠BAD−∠BAE=40∘−30∘=10∘.
    故选:B.
    先利用三角形的内角和定理及推论求出∠B、∠BAD,再利用角平分线的性质求出∠BAE,最后利用角的和差关系得结论.
    本题主要考查了三角形的内角和定理及推论,掌握“三角形的内角和是180∘”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、角的和差关系等知识点是解决本题的关键.
    8.【答案】A
    【解析】解:过点P作PG⊥BC于点G,
    ∵BD平分∠MBD,CE平分∠BCN,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,
    ∴PM=PG,PN=PG,
    ∴PM=PN,故①正确;
    连接AP,
    ∵PM=PN,
    ∴点P在∠CAB的平分线上,故②正确;
    ∵BD//AC,
    ∴∠A=∠MBP,
    ∵PM⊥AB,
    ∴∠MBP+∠BPM=90∘,
    ∴∠MPB=90∘−∠A,
    在Rt△BPM与Rt△BPG中,
    MP=GPBP=BP,
    ∴Rt△BPM≌Rt△BPG(HL),
    ∴∠GPB=∠MPB,
    ∴∠GPB=90∘−∠A,由图可知∠BPC≠∠BPG,故③错误;
    ∵BD是∠MBC的平分线,
    ∴∠MBP=∠PBC,
    ∵BD//AC,
    ∴∠A=∠MBP,∠ACB=∠PBC,
    ∴∠A=∠ACB,
    ∴AB=CB,故④正确.
    故选:A.
    过点P作PG⊥BC于点G,由角平分线的性质可得出PM=PG=PN,故①正确;连接AP,由PM=PN可知点P在∠CAB的平分线上,故②正确;由平行线的性质可知∠A=∠MBP,再由∠MBP+∠BPM=90∘可知∠MPB=90∘−∠A,由HL定理可知Rt△BPM≌Rt△BPG,故∠GPB=∠MPB,所以∠GPB=90∘−∠A,由图可知∠BPC≠∠BPG,故③错误;根据BD是∠MBC的平分线可知∠MBP=∠PBC,再由BD//AC可知∠A=∠MBP,∠ACB=∠PBC,故可得出∠A=∠ACB,据此得出结论.
    本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质,熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
    9.【答案】x≠2
    【解析】解:∵代数式x+2x−2有意义,
    ∴x−2≠0,
    ∴x≠2,
    故答案为:x≠2.
    分式有意义的条件是:分母≠0,可得x−2≠0,解不等式可得答案.
    此题主要考查了分式有意义的条件,关键是把握:分母≠0.
    10.【答案】7
    【解析】解:设这个多边形的边数为n,则有
    (n−2)×180∘=900∘,
    解得:n=7,
    ∴这个多边形的边数为7.
    故答案为:7.
    根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900∘,列出方程,解出即可.
    本题主要考查多边形的内角和定理,解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题.
    11.【答案】边角边
    【解析】解:连接AB、A′B′,
    ∵两根长度相等的钢条AA′,BB′的中点固定在O点,
    ∴OA=OA′,OB=OB′,
    ∵∠AOB=∠A′OB′,
    ∴△OAB≌△OA′B′(SAS);
    故答案为:边角边.
    由题意得OA=OA′,OB=OB′,由对顶角相等即可判定两个三角形全等.
    本题考查了全等三角形的判定与性质的应用,掌握其性质定理是解决此题的关键.
    12.【答案】(1,6)
    【解析】解:点P(1,−6)关于x轴对称的点Q(1,6),
    故答案为:(1,6).
    直接利用关于x轴对称点的性质得出Q点坐标.
    本题主要考查了关于x轴对称点的性质以及点的坐标特点,正确掌握关于x轴对称点的性质是解题关键.
    13.【答案】−2
    【解析】解:∵x2−4=0,
    ∴x=±2,
    当x=2时,2x2−5x+2=0,
    当x=−2时,2x2−5x+2≠0,
    ∴当x=−2时,分式的值是0.
    故答案为−2.
    分式的值是0的条件是:分子为0,分母不为0.
    分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0,这是经常考查的知识点.
    14.【答案】72∘
    【解析】解:设等腰三角形的顶角是α,底角是β,
    ∵等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特色值”,记作m.若m=2,
    ∴β:α=m=2,
    ∴β=2α,
    ∵β+β+α=180∘,
    ∴5α=180∘,
    ∴α=36∘,
    ∴β=72∘.
    ∴该等腰三角形底角的大小为72∘.
    故答案为:72∘.
    设等腰三角形的顶角是α,底角是β,根据题意得β:α=m=2,则β=2α,由三角形内角和定理即可求解.
    本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质,能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出5α=180∘是解此题的关键.
    15.【答案】12
    【解析】解:x2m−n=(xm)2÷xn=36÷3=12.
    故答案为:12.
    根据同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减,进行运算即可.
    本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识,属于基础题.
    16.【答案】45
    【解析】解:根据“杨辉三角”的特征可得:
    (a+b)0的第三项的系数为0,
    (a+b)1的第三项的系数为0,
    (a+b)2的第三项的系数为1,
    (a+b)3的第三项的系数为3=1+2,
    (a+b)4的第三项的系数为6=1+2+3,
    (a+b)5的第三项的系数为10=1+2+3+4,

    ∴(a+b)10的第三项的系数为1+2+3+...+9=9×(9+1)2=45,
    故答案为:45.
    根据“杨辉三角”的特征确定出每个展开式中第三项的系数的规律解答即可.
    本题考查了完全平方公式,数字的规律,弄清“杨辉三角”中的系数规律是解题的关键.
    17.【答案】解:AC//DF,理由如下:
    ∵BE=CF,
    ∴BC=EF.
    ∵AB//DE,
    ∴∠B=∠DEF.
    在△ABC和△DEF中,
    AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,
    ∴△ABC≌△DEF(SAS),
    ∴∠ACB=∠F,
    ∴AC//DF.
    【解析】根据线段的和差求出BC=EF,根据平行线的性质得出∠B=∠DEF,利用SAS证明△ABC≌△DEF,根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠F,根据平行线的判定即可得解.
    此题考查了全等三角形的判定与性质,熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键.
    18.【答案】解:(1)(2x+y)(3x−y+1)
    =6x2−2xy+2x+3xy−y2+y
    =6x2+xy+2x−y2+y.
    (2)3(a−b)2−(2a+b)(−b+2a)
    =3(a2−2ab+b2)−(4a2−b2)
    =3a2−6ab+3b2−4a2+b2
    =−a2−6ab+4b2.
    【解析】(1)根据多项式乘多项式的法则展开,最后合并同类项即可;
    (2)分别利用完全平方公式与平方差公式展开,再合并同类项即可.
    本题考查了整式乘法的混合运算,乘法公式,正确进行运算是解题的关键.
    19.【答案】解:(1)原式=[(3x−2)+(2x+7)][(3x−2)−(2x+7)]
    =(3x−2+2x+7)(3x−2−2x−7)
    =(5x+5)(x−9)
    =5(x+1)(x−9);
    (2)原式=22+2×2×[3(x−y)]+[3(x−y)]2
    =[2+3(x−y)]2
    =(3x−3y+2)2.
    【解析】(1)原式运用平方差公式进行因式分解即可;
    (2)原式运用完全平方公式进行因式分解即可.
    此题考查了分解因式,熟记完全平方公式和平方差公式是解答的关键.
    20.【答案】解:原式=[a−2a(a+2)−a−1(a+2)2]⋅a+2a−4
    =a−4a(a+2)2⋅a+2a−4
    =1a2+2a,
    解方程aa−1−1=3a2−1,
    去分母得:a(a+1)−(a2−1)=3,
    去括号得:a2+a−a2+1=3,
    解得a=2,
    当a=2时,原式=1a2+2a=18.
    【解析】先根据分式的混合运算法则计算化简,再求出方程的解,代入求值即可.
    本题主要考查了分式的化简求值及分式方程的解,熟知分式混合运算的法则是解题的关键.
    21.【答案】(1)解:∵∠C=90∘,
    ∴∠B+∠BAC=90∘,
    ∴∠B+∠BAD+∠DAC=90∘,
    ∵AD平分∠BAC,
    ∴∠BAD=∠DAC,
    ∵DE是AB垂直平分线,
    ∴DA=DB,
    ∴∠B=∠BAD,
    ∴∠B=∠BAD=∠DAC=30∘,
    ∴∠B的度数为30∘;
    (2)证明:在Rt△BDE中,∠B=30∘,
    ∴BD=2DE,
    ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
    ∴DE=DC,
    ∴BD=2CD,
    ∴BC=3DC.
    【解析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAC=90∘,从而可得∠B+∠BAD+∠DAC=90∘,然后根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC,
    再根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB,从而可得∠B=∠BAD=∠DAC=30∘,即可解答;
    (2)在Rt△BDE中,利用含30度角的直角三角形的性质可得BD=2DE,然后利用角平分线的性质可得DE=DC,从而进行计算即可解答.
    本题考查了含30度角的直角三角形,线段垂直平分线的性质,熟练掌握含30度角的直角三角形,以及线段垂直平分线的性质是解题的关键.
    22.【答案】解:(1)过A作EF的垂线MN,交EF于K,在射线KN上截取KA′=KA,连接A′B交EF于O,如图:
    点O即为水厂应建位置;
    (2)作法:
    ①以点A为圆心.以大于点A到直线EF的距离为半径画弧,交直线EF于两点C,D;
    ②分别以点C,D为圆心.以大于12CD的长为半径画弧交于异于点A的另一点M;
    ③过M,A作直线MN,交直线EF于点K;
    ④在射线KN上截取KA′=KA:
    ⑤连接BA′交直线EF于点O;
    点O即为所求;
    (3)证明:由作图可知:AC=AD,MC=MD,
    ∵AM=AM,
    ∴△ACM≌△ADM(SSS),
    ∴∠CAM=∠DAM,
    ∵MC=MD,
    ∴MK⊥EF,
    ∵KA=KA′,
    ∴EF是AA′的垂直平分线,
    ∴OA=OA′,
    ∴OA+OB=OA′+OB,
    ∵A′,O,B共线,
    ∴此时OA+OB最小,最小值即为A′B的长度.
    【解析】(1)过A作EF的垂线MN,交EF于K,在射线KN上截取KA′=KA,连接A′B交EF于O,点O即为水厂应建位置;
    (2)根据作图写出作法即可;
    (3)证明:△ACM≌△ADM(SSS),知∠CAM=∠DAM,可得MK⊥EF,而KA=KA′,即得EF是AA′的垂直平分线,故OA=OA′,OA+OB=OA′+OB,又A′,O,B共线,从而知此时OA+OB最小,最小值即为A′B的长度.
    本题考查作图-应用与设计作图,解题的关键是掌握“将军饮马”问题的解决方法.
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