2023-2024学年山东省德州市平原县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省德州市平原县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列代数式中，属于分式的是( )
A. 5xB. xy3C. 3xD. 2 x+1
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 4，6，10B. 3，9，5C. 8，6，1D. 5，7，9
3.下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. ab2÷ab=bB. (a−b)2=a2−b2
C. 2m4+3m4=5m8D. (−2a)3=−6a3
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D.若CD=4，则点D到AB的距离为( )
A. 4
B. 3
C. 7
D. 1
6.与点(4,5)关于直线x=−1对称的点为( )
A. (−4,5)B. (4,−5)C. (−6,5)D. (4,−7)
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=112∘，E，F，D分别是AB，AC，BC上的点，且BE=CD，BD=CF，则∠EDF的度数为( )
A. 30∘B. 34∘C. 40∘D. 56∘
8.以下说法正确的是( )
①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；
②有两条边相等的两个直角三角形全等；
③有一边相等的两个等边三角形全等；
④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．
A. ①②B. ②④C. ①③D. ①③④
9.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是( )
A. 205B. 250C. 502D. 520
10.如图，正方形ABCD的边长为12，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE=7，则△PAE周长的最小值为( )
A. 18
B. 19
C. 20
D. 7+12 2
11.小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为v1千米/时，下山的速度为v2千米/时，则小强上山和下山的平均速度为( )
A. v1+v22千米/时B. 2sv1+v2千米/时C. ssv1+sv2千米/时D. 2v1v2v1+v2千米/时
12.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4.D为斜边BC的中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D，的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；设Pn−1，Dn−2的中点为Dn，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn重合，折痕与AD交于点Pn(n>2)，则AP2024的长为( )
A. 5×3202442025B. 5×3202342024C. 320245×42025D. 320235×42024
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.已知多项式4x2−2(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为______.
14.已知ab=10，a+b=7，则a2b+ab2=______.
15.如图，∠A=∠E，AC⊥BE，AB=EF，BE=26，CF=9，则AC=______.
16.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20∘，∠ACP=50∘，则∠P=______ ∘.
17.∠AOB内部有一点P，OP=5，点P关于OA的对称点为M，点P关于OB的对称点为N，若∠AOB=30∘，则△MON的周长为______.
18.在平面直角坐标系中，点P(x,y)经过某种变换后得到点P′(−y+1,x+2)，我们把点P′(−y+1,x+2)叫做点P(x,y)的终结点，已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、⋯Pn、⋯，若点P1的坐标为(2,0)，则点P2024的坐标为______.
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
化简：
(1)(3x2y−6xy)÷3xy；
(2)3a2⋅a4+(−a2)3+(2a3)2.
20.(本小题10分)
先化简，再求值：(x2−4x2−4x+4−xx−2)÷x2+2xx−2，其中x是方程2x−3−1x=0的解.
21.(本小题10分)
计算题
(1)已知一个多边形的内角和是1260∘，求这个多边形的边数.
(2)用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长等于4cm，求另外两边长.
22.(本小题12分)
如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1=42∘，求∠BDE的度数．
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠ACB=90∘，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE.
(1)若AD=6，求CD的长；
(2)判断△BCE的形状，并说明理由.
24.(本小题12分)
甜酒是长乐美食一张名片，某超市推出两款经典甜酒，一款是色香味俱全的“富硒甜酒”，另一款是清香四溢的“糯米甜酒”.已知2坛“富硒甜酒”和1坛“糯米甜酒”需68元；1坛“富硒甜酒”和2坛“糯米甜酒”需61元.
(1)求“富硒甜酒”和“糯米甜酒”的单价；
(2)糯米是两款美食必不可少的材料，该超市老板发现本月的每千克糯米价格比上个月涨了25%，同样花24元买到的糯米数量比上个月少了1千克，求本月糯米的价格.
25.(本小题14分)
小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
(1)【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90∘，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F.求证：∠CFE=∠CEF；
(2)【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B=40∘，求∠CEF和∠CFE的度数；
(3)【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M=35∘，求∠CFE的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据分式的定义
A.是整式，答案错误；
B.是整式，答案错误；
C.是分式，答案正确；
D.是根式，答案错误；
故选：C.
判断分式的依据是看分母中含有字母，且分子分母都是整式才是整式，逐项判断，从而得出答案．
2.【答案】D
【解析】解：根据三角形的三边关系，知
A、4+6=10，不能组成三角形，故A错误；
B、3+5<9，不能组成三角形；故B错误；
C、1+6<8，不能组成三角形；故C错误；
D、5+7>9，能够组成三角形，故D正确．
故选：D.
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形均不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】A
【解析】解：A、原式=b，符合题意；
B、原式=a2−2ab+b2，不符合题意；
C、原式=5m4，不符合题意；
D、原式=−8a3，不符合题意．
故选：A.
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D作DE⊥AB于E，则DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等)，
∵CD=4，
∴DE=4，
故选：A.
过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的的性质即可得到DE=DC，可得结论．
本题主要考查了角平分线的的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6.【答案】C
【解析】解：点(4,5)关于直线x=−1对称的点的坐标是(−6,5).
故选：C.
点(4,5)与关于直线x=−1对称的点纵坐标不变，两点到x=−1的距离相等，据此可得其横坐标．
本题主要考查坐标与图形的变化，掌握①关于 x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．②关于 y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．③关于直线x=m对称，P(a,b)⇒P(2m−a,b)，④关于直线y=n对称，P(a,b)⇒P(a,2n−b)是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠A=112∘，
∴∠B=∠C=34∘，
在△BDE和△CFD中，
BE=CD∠B=∠CBD=CF，
∴△BDE≌△CFD(SAS)，
∴∠BED=∠CDF，∠BDE=∠CFD，
∴∠BED+∠BDE=∠CDF+∠CFD，
∵∠BED+∠B=∠CDE=∠EDF+∠CDF，
∴∠B=∠EDF=34∘，
故选：B.
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B=∠C=34∘，由“SAS”可证△BDE≌△CFD，可得∠BED=∠CDF，∠BDE=∠CFD，由外角的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，三角形外角的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
8.【答案】C
【解析】解：①一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；根据HL、再用ASA(或AAS)可证得这两个直角三角形全等，此命题正确；
②有两条边相等的两个直角三角形不一定全等；比如一直角三角形的两直角边和另一个直角三角形的一直角边和一斜边相等，则这两个直角三角形并不全等；原命题错误；
③有一边相等的两个等边三角形全等，符合SSS定理，此命题正确；
④两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，根据SSA并不能证明三角形全等；故原命题错误；
故选：C.
根据全等三角形的判定方法或者举出反例能证明原命题是错误的，分别判断各命题的正误即可．
本题考查了全等三角形的判定，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键.
9.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意列出方程，求出解判断即可.
【解答】
解：设较小的奇数为x，较大的为x+2，
根据题意得：(x+2)2−x2=(x+2−x)(x+2+x)=4x+4，
若4x+4=205，即x=2014，不为整数，不符合题意；
若4x+4=250，即x=2464，不为整数，不符合题意；
若4x+4=502，即x=4984，不为整数，不符合题意；
若4x+4=520，即x=129，符合题意．
故选：D.
10.【答案】C
【解析】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，
∴AP=CP，
即AP+PE=CE，此时AP+PE的值最小，
所以此时△PAE周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，AE=7，
∴∠ABC=90∘，BE=12−7=5，
由勾股定理得：CE= BC2+BE2= 122+52=13，
∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=13+7=20，
故选：C.
连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．
本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的P点的位置是解此题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：2s÷(sv1+sv2)=2s÷s(v1+v2)v1v2=2s×v1v2s(v1+v2)=2v1v2v1+v2千米/时．故选D.
平均速度=总路程÷总时间，根据公式列式化简即可．
总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
12.【答案】B
【解析】解：∵直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2=5，
由题意得，AD=12BC=52，AD1=AD−DD1=5×323，AD2=5×3225，AD3=5×3327，…，ADn=5×3n22n+1，
又∵AP1=23AD1，AP2=23AD2…，
∴APn=23ADn，
∴APn=5×3n−122n，
∴AP2024的长为5×32024−122×2024=5×3202342024，
故选：B.
先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度，然后可发现规律推出ADn的表达式，继而根据APn=23ADn即可得出APn的表达式，也可得出AP2024的长．
此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．
13.【答案】−3或1
【解析】解：∵4x2−2(m+1)x+1是完全平方式，
∴−2(m+1)x=±2⋅2x⋅1，
解得：m=−3或1.
故答案为：−3或1.
完全平方式有两个是a2+2ab+b2和a2−2ab+b2，根据以上得出−2(m+1)x=±2⋅2x⋅1，求出即可．
本题考查的是完全平方式，熟知完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2−2ab+b2是解题的关键．
14.【答案】70
【解析】解：∵ab=10，a+b=7，
∴a2b+ab2=ab(a+b)
=10×7
=70.
故答案为：70.
直接提取公因式ab，进而把已知整体代入求出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
15.【答案】17
【解析】解：∵AC⊥BE，
∴∠ACB=∠ECF=90∘，
在△ABC和△EFC中，
∠A=∠E∠ACB=∠ECFAB=EF，
∴△ABC≌△EFC(AAS)，
∴AC=CE，BC=CF=9，
∴AC=CE=BE−BC=26−9=17，
故答案为：17.
由“AAS”可证△ABC≌△EFC，可得AC=CE，BC=CF=9，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
16.【答案】30
【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP=20∘，∠ACP=50∘，
∴∠PBC=∠ABP=20∘，∠PCM=∠ACP=50∘，
∴∠P=∠PCM−∠PBC=30∘.
故答案为：30∘.
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出∠P的度数．
本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
17.【答案】15
【解析】解：如图，
∵P，M关于OA对称，P，N关于OB对称，
∴OP=OM=ON，∠AOP=∠AOM，∠POB=∠BON，
∴∠MON=2∠AOP+2∠BOP=2(∠AOP+∠BOP)=2×30∘=60∘，
∴△OMN是等边三角形，
∴NM=OM=ON=OP=5，
∴△MON的周长为15.
故答案为：15.
证明△OMN是等边三角形，可得结论．
本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】(−2,−1)
【解析】解：根据题意得点P1的坐标为(2,0)，则点P2的坐标为(1,4)，点P3的坐标为(−3,3)，点P4的坐标为(−2,−1)，点P5的坐标为(2,0)，…，
而2024=4×506，
所以点P2023的坐标与点P4的坐标相同，为(−2,−1).
故答案为：(−2,−1).
利用点P(x,y)的终结点的定义分别写出点点P2的坐标为(1,4)，点P3的坐标为(−3,3)，点P4的坐标为(−2,−1)，点P5的坐标为(2,0)，…，从而得到每4次变换为一个循环，然后利用2023=4×505+3可判断点P2024的坐标与点P4的坐标相同．
本题是平面直角坐标系内的点坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(3x2y−6xy)÷3xy
=3x2y÷3xy−6xy÷3xy
=x−2；
(2)3a2⋅a4+(−a2)3+(2a3)2
=3a6−a6+4a6
=6a6.
【解析】(1)原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可得到答案；
(2)原式根据单项式乘以多项式、积的乘方和幂的乘方运算法则计算后再合并即可．
本题主要考查了整式的除法和幂的运算，正确记忆相关知识点是解题关键．
20.【答案】解：(x2−4x2−4x+4−xx−2)÷x2+2xx−2
=[(x+2)(x−2)(x−2)2−xx−2]⋅x−2x(x+2)
=(x+2x−2−xx−2)⋅x−2x(x+2)
=2x−2⋅x−2x(x+2)
=2x2+2x，
由2x−3−1x=0可得x=−3，
检验：当x=−3时，x(x−3)≠0，
∴2x−3−1x=0的解为x=−3，
当x=−3时，原式=2(−3)2+2×(−3)=23.
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后解分式方程，再将分式方程的解代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、解分式方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)设这个多边形的边数为n，根据题意
(n−2)×180=1260
解得，n=9，
答：这个多边形的边数为9；
(2)分两种情况考虑：
①当底边长为4cm，腰长为(18−4)÷2=7cm；
②当腰长为4cm，底边长为18−4×2=10cm时，
因为4+4<10，
所以这样的三角形不存在，
答：这个等腰三角形另两边的长分别是7 cm，7cm.
【解析】(1)直接利用多边形内角和定理得出答案；
(2)分两种情况考虑：①当底边长为4cm，②当腰长为4cm，得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及多边形内角与外角，正确分类讨论是解题关键．
22.【答案】解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE.
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=42∘，
∴∠C=∠EDC=69∘，
∴∠BDE=∠C=69∘.
【解析】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
(2)由(1)可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数.
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
23.【答案】解：(1)∵∠A=30∘，∠ACB=90∘，
∴∠ABC=60∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=∠CBD=12∠ABC=30∘，
∴∠A=∠DBA=30∘，
∴DB=DA=6，
∴CD=12BD=3；
(2)△BCE是等边三角形，
理由：∵DB=DA，DE⊥AB，
∴BE=EA，
在Rt△ACB中，∠A=30∘，
∴BC=12AB=BE，∠ABC=60∘，
∴△BCE是等边三角形．
【解析】(1)先求出∠ABC=60∘，再根据角平分的定义得出∠DBA=∠CBD=12∠ABC=30∘，再根据等角对等边得出DB=DA=6，根据含30度的直角三角形的性质即可得出答案；
(2)根据三线合一得出BE=EA，再根据含30度的直角三角形的性质得出BC=12AB=BE，进而可得出结论．
本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设“富硒甜酒”的单价为x元，“糯米甜酒”的单价为y元，
依题意得：2x+y=68x+2y=61，
解得：x=25y=18，
答：“富硒甜酒”的单价为25元，“糯米甜酒”的单价为18元；
(2)设上个月糯米的价格为m元/千克，
依题意得：24m−24(1+25%)m=1，
解得：m=4.8，
经检验，m=4.8是原方程的解，且符合题意，
∴(1+25%)m=(1+25%)×4.8=6.
答：本月糯米的价格为6元/千克．
【解析】(1)设“富硒甜酒”的单价为x元，“糯米甜酒”的单价为y元，由题意：2坛“富硒甜酒”和1坛“糯米甜酒”需68元；1坛“富硒甜酒”和2坛“糯米甜酒”需61元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设上个月糯米的价格为m元/千克，则本月糯米的价格为(1+25%)m元/千克，由题意：同样花24元买到的糯米数量比上个月少了1千克，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
25.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90∘，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90∘，∠ACD+∠CAB=90∘，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
(2)解：∵∠B=40∘，∠ACB=90∘，
∴∠GAF=∠B+∠ACB=40∘+90∘=130∘，
∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF=12×130∘=65∘，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADF=∠ACE=90∘，
∴∠CFE=90∘−∠GAF=90∘−65∘=25∘，
又∵∠CAE=∠GAF=65∘，∠ACB=90∘，
∴∠CEF=90∘−∠CAE=90∘−65∘=25∘；
(3)证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN=90∘，
又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90∘，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90∘.
∴∠CFE=90∘−∠M=90∘−35∘=55∘.
【解析】(1)由余角的性质可得∠B=∠ACD，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
(2)由三角形内角和定理可求∠GAF=130∘，由角平分线的性质可求∠GAF=65∘，由余角的性质可求解；
(3)由平角的性质和角平分线的性质可求∠EAN=90∘，由外角的性质可求解．
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．