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    博白县中学2023-2024学年高二上学期月考(一)数学试卷(含答案)

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    这是一份博白县中学2023-2024学年高二上学期月考(一)数学试卷(含答案),共17页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.过点且斜率为的直线l的方程是( )
    A.B.C.D.
    2.直线与直线平行,则a的值为( )
    A.B.C.D.或
    3.已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2,则m的值为( )
    A.B.C.5D.3
    4.已知圆,过点作圆C的切线m,则m的方程为( )
    A.B.
    C.或D.或
    5.已知线段AB的端点B的坐标是,端点A在圆上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是( )
    A.B.
    C.D.
    6.圆上到直线距离为的点有( )
    A.2个B.3个C.4个D.无数个
    7.已知点,,若直线与线段有公共点,则k的取值范围是( )
    A.B.C.或D.
    8.若椭圆上一点P到左焦点的距离为6,是右焦点,则的面积是( )
    A.B.8C.D.16
    二、多项选择题
    9.如图,在正方体中,E、F、G分别为、、的中点,则( )
    A.B.与所成角为C.D.平面
    10.已知点和点,P是直线上的一点,则的可能取值是( )
    A.B.C.D.
    11.已知,为椭圆()的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,,则椭圆的离心率的取值可以是( )
    A.B.C.D.
    12.直线与圆相交于M、N两点,若,则k的取值可以是( )
    A.B.C.0D.1
    三、填空题
    13.直线,,若,则__________.
    14.若点在圆上运动,则的取值范围___________.
    15.如图所示,F是椭圆的左焦点,P是椭圆上的一点,轴,,则椭圆的离心率为________.
    16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,,平面ABCD且,,则PB与平面PCD所成角的正弦值为________.
    四、解答题
    17.已知直线:.
    (1)若直线在x轴上的截距为2,求实数a的值;
    (2)若直线与直线:平行,求两平行线之间的距离.
    18.椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,且经过点.
    (1)求满足条件的椭圆方程;
    (2)求该椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率.
    19.如图,在四棱锥中,是以AD为斜边的等腰直角三角形,,,平面平面ABCD,,底面ABCD的面积为,E为PD的中点.
    (1)证明:平面PAB;
    (2)求直线CE与平面PAB间的距离.
    20.已知圆C的圆心在x轴上,且经过点,.
    (1)求圆C的标准方程;
    (2)若过点的直线l与圆C相交于M、N两点,且,求直线l的方程.
    21.如图,已知四棱锥,底面为长方形,平面,E,F分别是,的中点.
    (1)求证:;
    (2)若,,求二面角的余弦值.
    22.已知椭圆的离心率为,直线恒过椭圆E的右焦点F.
    (1)求椭圆E的方程;
    (2)设直线l与椭圆E交于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得当m变化时,总有直线的斜率和直线的斜率满足?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
    参考答案
    1.答案:C
    解析:过点且斜率为的直线l的方程是,
    即.
    故选:C.
    2.答案:C
    解析:依题意,直线与直线平行或重合时,,
    解得或,
    当时,直线与直线重合,
    当时,直线与直线平行,
    所以a的值为.
    故选:C.
    3.答案:D
    解析:因为焦点在y轴,故,而焦距是2,故即,
    故选:D.
    4.答案:C
    解析:将圆化为标准方程,
    则圆心,,
    当切线l的斜率不存在时,切线l的方程为,
    当切线l的斜率存在时,设切线l的方程为,
    即,由题意知,.解得.
    此时切线l的方程为.
    综上,切线l的方程为或.
    故选:C.
    5.答案:D
    解析:设,则由中点坐标公式可得,将代入中得,
    故选:D.
    6.答案:B
    解析:因为化为标准方程为,
    所以圆心,圆的半径,
    又因为圆心C到直线的距离为,
    所以,
    所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点,另一条与直线的距离为的平行线与圆相切,只有1个交点,如图所示,
    所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.
    故选:B.
    7.答案:C
    解析:直线l:经过定点,,.
    又直线l:与线段相交,所以或,
    故选:C.
    8.答案:C
    解析:由椭圆定义可得,,,,
    而,
    由余弦定理可得:,

    .
    故选:C.
    9.答案:ABD
    解析:以点D为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    设正方体的棱长为2,则、、、、、、、、、、.
    对于A选项,,,,所以,故A选项正确;
    对于B选项,,,

    所以,向量与向量的夹角是,与所成角为,故B选项正确;
    对于C选项,,,则,故C选项错误;
    对于D选项,设平面的法向量为,,,
    由,可得,取,可得,
    又,
    ,,平面,平面,故D选项正确
    故选:ABD.
    10.答案:ABC
    解析:点和点,P是直线上的一点,
    过点A作直线的对称点,设,
    可得,,
    解得,,即,
    连接,可得,
    当且仅当,P,B三点共线时,取得最小值为,
    结合选项可知的可能取值是,,.
    故选:ABC.
    11.答案:ABC
    解析:由椭圆的定义可知:
    ,,则,

    ,即,
    ,又,.
    故选:ABC.
    12.答案:ABC
    解析:由圆可得圆心为,半径为,
    故圆心到直线的距离为,
    因为,所以,
    即,,
    整理得,,
    结合选项可得k的取值可以是,,0.
    故选:ABC.
    13.答案:或0.5
    解析:直线,,,
    ,解得.
    故答案为:.
    14.答案:
    解析:令,则与圆有公共点,
    可得,即,
    所以的取值范围为.
    故答案为:.
    15.答案:或
    解析:因为P是椭圆上一点,且轴,则P点的坐标为,
    法一:设椭圆方程为,则,,,
    可得,
    因为,则直线OP的斜率为,可得其方程为,
    可得,整理得,
    所以椭圆的离心率;
    法二:设椭圆方程为,,,,
    因为,则,
    可得,即,整理得,
    所以椭圆的离心率.
    故答案为:.
    16.答案:或
    解析:因为平面ABCD,,平面ABCD,
    所以,,
    因为,
    所以PA,AB,AD两两垂直,
    以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
    因为,,
    所以,,,,
    设平面PCD的法向量为,
    则,
    令,则,,
    故,
    设PB与平面PCD所成角的大小为,
    则.
    故答案为:.
    17.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)由题意,在直线:中,
    令,可得,
    直线在x轴上的截距为,
    解得:.
    (2)由题意及(1)得,在直线:中,
    直线与直线:平行,

    直线的方程可化为,
    两平行线之间的距离为:.
    18.答案:(1)
    (2)顶点坐标,;长轴长4,短轴长;离心率
    解析:(1)由已知焦点在x轴上,设椭圆方程为,
    ,,焦点坐标为,,

    ,,
    椭圆方程为.
    (2)顶点坐标,;长轴长4,短轴长;离心率.
    19.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)记的中点为O,连接,,
    因为,,所以底面ABCD为直角梯形,
    又底面ABCD的面积为,,
    所以,得,所以,
    所以且,所以为平行四边形,故,
    因为平面,平面,所以平面,
    因为O,E分别为AD,PD的中点,所以,
    又平面,平面,所以平面,
    又,,平面,
    所以平面平面,
    又平面,所以平面PAB.
    .
    (2)因为是以AD为斜边的等腰直角三角形,,
    所以,,
    由(1)可知,,,所以,
    又因为平面平面ABCD,所以,故,,两两垂直,
    以,,所在直线分别为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系,
    则,,,,,
    则,,,
    设为平面的法向量,
    则,令得,
    所以点C到平面的距离为,
    由(1)知,平面PAB,所以直线CE与平面PAB间的距离即为.
    20.答案:(1)
    (2)或
    解析:(1)设圆C的圆心为,由得,
    所以,所以,则,,
    所以圆C的标准方程为.
    (2)当直线l的斜率不存在时,
    直线l的方程为,代入得,,,
    满足.
    当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,
    即,
    依题意可知,到直线l的距离,
    即,解得,
    直线l的方程为,即.
    综上所述,直线l的方程为或.
    21.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)证明:因为平面,平面,
    所以,
    由底面为长方形,可得,
    又,且平面,平面;
    所以平面,
    又平面,故,
    因为E,F分别是,的中点,
    所以,故.
    (2)由(1)可知,、、两两垂直,
    以点A为坐标原点,分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴,
    建立如图所示的空间直角坐标系,
    因为,,
    所以,,,,
    又E,F分别是,的中点,
    所以,;
    因此,,,
    设平面的一个法向量为,
    则,即,所以,则,
    不妨令,则,
    又平面,即平面;
    所以为平面的一个法向量,
    所以,
    由图可知,二面角为锐二面角,
    所以二面角的余弦值为.
    22.答案:(1)
    (2)存在,P点的坐标为
    解析:(1)设椭圆E的焦距为,则椭圆E的右焦点为.
    因为直线l恒过定点,
    所以,
    又因为,,
    所以,,
    所以椭圆E的方程为.
    (2)将椭圆与直线联立方程组,
    消去x,可得,
    设,,
    由韦达定理得,,
    设点满足题意,
    则,所以,
    所以,
    所以,
    因为当m变化时,总有直线的斜率和直线的斜率满足,
    所以当时,上式恒成立,
    所以在x轴上存在定点满足题设条件.
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