河南省周口市部分重点高中2023-2024学年高三下学期2月开学收心考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省周口市部分重点高中2023-2024学年高三下学期2月开学收心考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数,则( )
A.B.C.D.
2．若“”是“”的必要不充分条件,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．已知向量,若与的夹角为,则( )
A.B.C.D.
4．某旅游团计划去北京旅游,因时间原因,要从北京的9个景点中选出4个作为主要景点,并从余下景点中选出3个作为备选景点,若A,B不能作为主要景点,C不能作为备选景点,则不同的选法种数为( )
A.290B.260C.200D.160
5．过圆外一点作圆O的切线,切点分别为A,B,则( )
A.B.C.D.
6．已知,分别是圆柱P的上､下底面,的中心,是以为顶点,为底面的圆锥,若圆柱P的体积为,那么圆锥,的公共部分的体积为( )
A.B.C.D.
7．如图,已知双曲线的左､右焦点分别为,,以线段为直径的圆在第一象限交E于点A,交E的左支于点B,若B为线段的中点,则E的离心率为( )
A.B.2C.3D.
8．若,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.在锐角中,恒成立
B.若,则
C.将的图象向右平移个单位长度,可得到的图象
D.若函数在上单调递增,则
10．斐波那契数列又称为黄金分割数列,在现代物理､化学等领域都有应用.斐波那契数列满足,,则( )
A.,
B.,使得,,成等比数列
C.,对,,,成等差数列
D.,
11．已知椭圆,,F为C的左焦点,P为C上一点,则( )
A.的最小值为B.的最大值为
C.面积的最小值为D.面积的最大值为
三、填空题
12．已知集合中仅有3个整数,则a的取值范围为____________.
13．如图,已知正方体的棱长为6,长为6的线段的一个端点E在棱（不含端点）上运动,点F在正方体的底面内运动,则的中点P的轨迹与正方体的面,面,面所围成的几何体的表面积是_____________.
14．已知定义在R上的函数满足,,若函数的最大值和最小值分别为M,m,则____________.
四、解答题
15．2023年10月26日,神舟十七号载人飞船把汤洪波､唐胜杰､江新林送入太空,他们是载人航天工程进入空间站应用和发展阶段的第二批航天员,他们的轮换和在轨工作也趋于常态化,主要包括人员和物资的正常轮换补给､空间站组合体平台照料､在轨实（试）验､开展科普及公益活动以及异常情况处置等工作.空间站的公益活动是与大众比较接近和感兴趣的空间站的工作任务.为了解学生对空间站的公益活动是否感兴趣,某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查,得到如下列联表中的部分数据：
已知从这300名学生中随机抽取1人,抽到对此项活动感兴趣的学生的概率为.
(1)将上述列联表补充完整,并依据的独立性检验,能否认为该校学生对空间站开展的公益活动感兴趣与性别有关联？
(2)该学校对参与问卷调查的学生按性别,利用按比例分配的分层随机抽样的方法,从对此项活动感兴趣的学生中抽取7人组成“我国载人航天事迹”宣传小组,从这7人中任选3人,随机变量X表示3人中女生的人数,求X的分布列及数学期望.
附：
参考公式：,其中.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(1)求角C;
(2)若,D为边AB上一点,,求CD的最大值.
17．如图,在中,,,,D,E分别为边,上一点,且,将沿折起到的位置,使得,F为上一点,且.
(1)求证：平面;
(2)若H为线段上一点（异于端点）,且二面角的正弦值为,求的值.
18．在平面直角坐标系中,一动圆过点且与直线相切,设该动圆的圆心C的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)设P为在第一象限内的一个动点,过P作曲线的切线,直线过点P且与垂直,与的另外一个交点为Q,求的最小值.
19．已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,若,分别为的极大值点和极小值点,且,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,所以,
所以.
故选：C.
2．答案：A
解析：因为“”是“”的必要不充分条件,
所有,所以,
即实数a的取值范围为.
故选：A.
3．答案：D
解析：由题意得,又,所以,
所以.
故选：D.
4．答案：B
解析：若C入选主要景点,有种选法,
若C没入选主要景点,有种选法,
所以故不同的选法种数为260.
故选：B.
5．答案：A
解析：如图,由题意知,,,,
所以,根据圆的对称性易知,
则,解得.
故选：A.
6．答案：C
解析：如图所示,四边形为圆柱P的轴截面,
圆锥,的公共部分为同底的圆锥和,
设圆柱P底面圆的半径为r,高为h,则,
由,得,所以E为和的中点,
同理F为和的中点,所以,
即圆锥,公共部分的圆锥的底面圆的半径为,且每个小圆锥的高为,
所以所求公共部分的体积为.
故选：C.
7．答案：D
解析：连接,,设,,则,
由双曲线的定义知,
所以,,
在中,由勾股定理,得,即,
所以或（舍）.
在中,由勾股定理,得,即,
所以,所以.
故选：D.
8．答案：B
解析：由题意知,
令,则,
所以在上单调递减,又,
所以,即,所以,即,所以,
又,,又,所以,
所以,所以.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A,由题意知,
所以,同理,所以,故A正确;
对于B,因为,所以,
所以,所以或所以,
故B正确;
将的图像向右平移个单位长度,得的图像,故C错误;
对于D,的单调递增区间为,
所以,所以解得,所以,故D正确.
故选：ABD.
10．答案：ACD
解析：对于A,因为,
所以
,故A正确;
对于B,由递推公式可知,,中有两个奇数,一个偶数,不可能成等比数列,故B错误;
对于C,,所以,
故,,成等差数列,所以存在,使得,,成等差数列,故C正确;
对于D,由,得,
所以
,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：设C的右焦点为,则,
所以,所以,
当P,A,三点共线,且P在线段的延长线上时,的值最小,,
所以的最小值为,当P,A,三点共线,
且P在延长线上时,最大,且,
故,故A,B均正确;
因为F在椭圆内部,因此直线与椭圆必相交,当P是交点时,显然的面积为零,因此无最小值,故错误;
易知直线的方程为,
设与直线平行且与C相切的直线为,与C的方程联立,
得,
由,得,显然直线与距离较远,
易求直线与直线间的距离,
当P为直线与C的交点时,的面积最大,
此时其面积为,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为,所以在数轴上集合A的端点关于点1对称,
从而A中的三个整数为0,1,2,
所以,且,解得.
即实数a的取值范围为,
故答案为：.
13．答案：
解析：连接DF,则为直角三角形,在中,,P为的中点,
连接,则,所以点P在以D为球心,半径的球面上,
又点P只能落在正方体的表面或其内部,所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的,
即,又几何体在正方体的面,面,
面上的部分面积的和为,
故所求几何体的表面积.
故答案为：.
14．答案：4048
解析：令,得,令,则,
所以,故为奇函数,
所以,.
令,
则,
即为奇函数,所以.
而,
所以.
故答案为：4048
15．答案：(1)填表见解析;认为对该项目感兴趣与性别有关联
(2)分布列见解析;期望为
解析：（1）因为从这300名学生中随机抽取1人,抽到对此感兴趣的学生的概率为,
所以对此项活动感兴趣的学生数为人,不感兴趣的有90人,
所以列联表为：
零假设为：对空间站开展的公益活动感兴趣与性别无关联,
根据列联表,经计算得,
根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,
即认为对该项目感兴趣与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）由分层随机抽样知在抽取的7人中,男生有人,女生有人,
所以随机变量X可能的取值为0,1,2,3,
,
,
所以分布列为：
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,
所以,
所以,
由正弦定理,得,
由余弦定理,得,
因为,所以.
（2）因为,且,
所以,
化简,得,解得,
由（1）,得,即,
由,得,
解得（当且仅当时取等号）,
又,所以.
而,且是关于的增函数,
所以当时,.
17．答案：(1)证明见解析;
(2)或.
解析：（1）连接交于点G,连接,由,得,
在中,由,得,于是,
则,,而又平面CEF,平面,
所以平面.
（2）由,,,,平面,得平面,
又平面,则,又,因此,直线CP,CD,CB两两垂直,
以C为坐标原点,直线CD,CB,CP,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,
,,,
设,则,
设平面的法向量,则,
令,得,
设平面的法向量,则,
令,得,
设二面角的大小为,则,
解得或,所以或.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意得,点C到点F的距离等于到直线的距离,
由抛物线的定义知,点C的轨迹是以坐标原点O为顶点,以为焦点的抛物线,
设,则,所以,
故的方程为.
（2）当时,,所以,设,
则,即的斜率为,
因为,所以的斜率为,
所以的方程为,即,
代入,得.设,
由韦达定理得,即,代入,
得,即,故,
所以.
令,则,
易知函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,,所以,
故,又
所以所求切线方程为,即.
（2）,
因为,所以,
令,得或,令,得,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,在处取得极小值,即,.
所以,,
因为在上单调递减,所以.
要使,则.
,
令,则,且,
,
令,当时,,
所以在上单调递增,所以,
①当,即时,,所以,
故在上单调递减,又,所以当时,,符合题意;
②当时,则.
首先证明：当时,,即证明.
当时,,在上单调递减,
所以,即.
而,
当时,要使,因为,只需,即需.
当时,,只需取,则有.
又,由零点存在定理及在上单调递增,
可得存在唯一的,使得.
所以当时,,,在上单调递增,
所以,这与题设条件矛盾,所以不符合题意.
综上所述,实数的取值范围为.
对空间站开展的公益活动感兴趣
对空间站开展的公益活动不感兴趣
合计
男生
120
女生
60
合计
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
对空间站开展的公益活动感兴趣
对空间站开展的公益活动不感兴趣
合计
男生
120
30
150
女生
90
60
150
合计
210
90
300
X
0
1
2
3
P