山东省潍坊市安丘市2023届高三下学期3月份过程检测数学试卷(含答案)

这是一份山东省潍坊市安丘市2023届高三下学期3月份过程检测数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设i为虚数单位,且,则的虚部为( )
A.B.2C.2iD.
3．已知函数,则( )
A.B.C.2D.
4．已知函数,则下列论述正确的是( )
A.,且,使
B.,,当时,有恒成立
C.使有意义的必要不充分条件为
D.使成立的充要条件为
5．在直三棱柱中,为等腰直角三角形,若三棱柱的体积为32,则该三棱柱外接球表面积的最小值为( )
A.B.C.D.
6．如图,将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形,第一次挖去中间的一个小正三角形,将剩下的三个小正三角形,再分别从中间挖去一个小正三角形,保留它们的边,重复操作以上做法,得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设是第n次挖去的小正三角形面积之和(如是第1次挖去的中间小正三角形面积,是第2次挖去的三个小正三角形面积之和),则( )
A.
B.是等差数列
C.
D.前n次挖去的所有小正三角形面积之和为
7．甲袋中装有4个白球,2个红球和2个黑球,乙袋中装有3个白球,3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,再从乙袋中随机取出一球.用,,分别表示甲袋取出的球是白球,红球和黑球,用B表示乙袋取出的球是白球,则( )
A.,,两两不互斥B.
C.与B是相互独立事件D.
8．函数,若,,,则( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.B.C.D.
10．已知函数是其中一个对称中心,且的最大值是2,则( )
A.的最小正周期为
B.将图象向左平移个单位长度,得到的图象关于原点对称
C.在区间上单调递减
D.在区间上有且仅有5个极大值点
11．已知,分别为双曲线的左右焦点,过C右支上一点作直线l交y轴于,交x轴于点M,则( )
A.C的离心率
B.点M的坐标为
C.l与C相切
D.四边形面积的最小值为4
12．如图,将一副三角板拼成平面四边形,将等腰直角沿BC向上翻折,得三棱锥,设,点E,F分别为棱BC,BD的中点,M为线段AE上的动点,下列说法正确的是( )
A.不存在某个位置,使
B.存在某个位置,使
C.当三棱锥体积取得最大值时,AD与平面ABC成角的正弦值为
D.当时,的最小值为
三、填空题
13．如图,在边长为2的正方形ABCD中,其对称中心O平分线段MN,且,点E为DC的中点,则______.
14．的展开式中项的系数为______.
15．已知抛物线,其焦点为F,PQ是过点F的一条弦,定点A的坐标是,当取最小值时,则弦PQ的长是______.
16．已知函数,则______;设数列满足,则此数列的前2023项的和为______.
四、解答题
17．如图,P为半圆(AB为直径)上一动点,,,,记.
（1）当时,求PO的长;
（2）当周长最大时,求.
18．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数）,例如:,.
（1）求,,;
（2）若数列满足,且,求数列的通项公式和前n项和.
19．如图,在三棱柱中,D为AC的中点,,.
（1）证明:;
（2）若,且满足:三棱柱的体积为,二面角的大小为,求二面角的正弦值.
20．2023年3月某学校举办了春季科技体育节,其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知这种球的质量指标(单位:g)服从正态分布,其中,.比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛,最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下(比赛采取5局3胜制):比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分,负队积1分.9轮过后,积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队,1班排球队积26分,2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队,设每局比赛1班排球队取胜的概率为.
（1）令,则,且,求,并证明:;
（2）第10轮比赛中,记1班排球队3:1取胜的概率为,求出的最大值点,并以作为p的值,解决下列问题.
(i)在第10轮比赛中,1班排球队所得积分为X,求X的分布列;
(ii)已知第10轮1班排球队积3分,判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后,无论最后一轮即第11轮结果如何,1班排球队积分最多）?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由.
参考数据:,则,,.
21．已知椭圆的焦距为2,离心率为如图,在矩形ABCD中,,,E,F,G,H分别为矩形四条边的中点,过E做直线交x轴的正半轴于R点,交椭圆于M点,连接GM交CF于点T
（1）求椭圆的标准方程;
（2）求证:.
22．已知函数.
（1）当时,讨论的单调性.
（2）设,当时,有,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以且,所以A错,B错,
,C错,
,D对,
故选:D.
2．答案：B
解析：由可得:,
则,所以的虚部为2.
故选:B
3．答案：B
解析：因为,
所以,
故,即,
所以.
故选:B.
4．答案：B
解析：在中,
对于A,,
若,当且仅当时,,A错;
对于B,
当时,增函数,而,
在上为增函数,
由复合函数单调性知,当时,函数单调递增,B正确;
对于C,
有意义,,
而为的真子集,
是的充分不必要条件,C错;
对于D,
令,则,
故,,
而为,的真子集,
故是成立的充分不必要条件,D错误.
故选:B.
5．答案：C
解析：设为等腰直角三角形的直角边为a,三棱柱的高为h,
则,所以,则,
外接圆的半径为,
所以棱柱外接球的半径为,
令,则,则,
在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,,
则该三棱柱外接球表面积最小值为.
故选:C.
6．答案：D
解析：原正三角形的面积为,由题意可知:第n次挖去个小正三角形,
且每次挖去的小三角形面积之和构成一个以为首项,以为公比的等比数列,
所以,故C不正确;,故A不正确;
是等比数列,故B不正确;
由等比数列的求和公式可得前n次挖去的所有小正三角形面积之和为:
,故D正确.
故选:D.
7．答案：B
解析：对于A,由题意可知,,不可能同时发生,
所以,,两两互斥,所以A不正确;
对于B,由题意可得,,
所以,所以B正确;
对于C,因为,,,
所以,所以与B不是相互独立事件,所以C错误;
对于D,由C选项可知D是错误的.
故选:B.
8．答案：A
解析：,
因为,
所以,
因为,
所以,
因此有,
,
所以函数是实数集上增函数,
因为,
所以,
故选:A
9．答案：AD
解析：对于A,,,故为奇函数,,故为定义域内的单调递增函数,故A正确,
对于B,,,故为非奇非偶函数,故B错误,
对于C,在定义域内不是单调增函数,故C错误,
对于D,,,,所以定义域内既是奇函数又是增函数,故D正确,
故选:AD
10．答案：AD
解析：,而的最大值是2,所以,
所以,是其中一个对称中心,则,,
所以,,因为,所以,
所以,
对于A,的最小正周期为,故A正确;
对于B,图象向左平移个单位长度得到,
得到的图象不关于原点对称,故B不正确;
对于C,,,所以在区间上单调有增有减,所以C不正确;
对于D,,,在区间上有5个周期,
所以在区间上有且仅有5个极大值点,故D正确.
故选:AD.
11．答案：ACD
解析：对于A,由已知可得,,,所以C的离心率为,
故A项正确;
对于B,设,则,整理可得,
又,所以,所以有,
所以点,故B项错误;
对于C,设直线l的方程为,与双曲线联立,
则,
①,
又因为,所以代入①化简可得:,
所以l与C相切,所以C项正确;
对于D,,
当且仅当,即时,等号成立.
所以,四边形面积的最小值为4,故D项正确.
故选:ACD.
12．答案：BD
解析：当平面ABC与平面BCD垂直时,
,平面ABC与平面BCD的交线为BC,平面BCD,
平面ABC,又AB,平面ABC,
,,故A错误,B正确;
对于C,当三棱锥体积取得最大值时,顶点A到底面距离最大,
即平面ABC与平面BCD垂直时,
由上面可知,平面ABC,故AD与平面ABC成角为,
因为,所以,,,
则,
,
即AD与平面ABC成角的正弦值为,故C错误;
对于D,当时,因为F为BD的中点,
所以,则,
又因E为BC的中点,所以,
又,所以,
所以,
如图将沿AE旋转,使其与在同一平面内,
则当C,M,F三点共线时,最小,
即的最小值为CF,
在中,,
则,
所以,
所以的最小值为,故D正确.
故选:BD.
13．答案：
解析：由题可知,,,
所以
.
故答案为:
14．答案：
解析：的通项公式为,
显然,展开式中要出现,必有,
令的通项公式为,
由,由,,,所以,,或,,
所以的系数为.
故答案为:.
15．答案：25
解析：抛物线的焦点,准线为,
如图,过点P作准线的垂线,垂足为,
则,
所以,当且仅当三点共线时取等号,
所以当取最小值时,,P点的横坐标为4,
当时,,即,
所以,
所以直线PQ方程为,
联立,消y得,解得或,
当时,,即,
所以.
故答案为:25.
16．答案：,
解析：已知,
则,
,
所以,
则,
已知数列,
,,
数列的前2023项的和,
且,
两式相加,得,
故答案为:;
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,,,
,,且O在以AB为直径的圆上,
,
在中,,,
由正弦定理,,解得.
（2）在中,,,
由余弦定理,
即,
,,
当且仅当时取等号,
,,
即当时,周长最大,此时
.
18．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）,,.
（2）,
,数列是以1为首项,以为公差的等差数列.
,,
,
,
.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在三棱柱中,由题意可得,,,
,
又,,
同时在中,,,
,,,平面,
平面,
又平面,
（2）,且,平面ABC,
平面ABC,,又,
为二面角的平面角,即
,,取BC的中点O,则,
,
又三棱柱的体积为,
如图所示,建立空间直角坐标系,
设平面的一个法向量为,且,,
则,令,则,,
故,
设平面的一个法向量为,
且,,则,
令,则,,故,
,故二面角的正弦值为.
20．答案：（1）,证明见解析
（2）(i)分布列见解析;
(ii)能,
解析：（1）,又,
所以.
因为,根据正态曲线对称性,
又因为,所以.
（2）,
.
令,得.
当时,,在上为增函数;
当时,,在上为减函数.
所以的最大值点.从而
(i)X的可能取值为3,2,1,0.
,,
,
X的分布列为
(ii)若,则1班10轮后的总积分为29分,2班即便第10轮和第11轮都积3分,
则11轮过后的总积分是28分,,所以,1班如果第10轮积3分,
则可提前一轮夺得冠军,其概率为.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意,
在椭圆中,椭圆的焦距为2,离心率为
,,
由,得:,
椭圆的方程为
（2）由题意及（1）得,
在椭圆中,,,
由已知,直线EM的斜率大于零,直线GM的斜率小于零,
故设直线,直线,
直线EM与直线GM相交于点M,
由得:.
又点M在椭圆上
,整理得:
直线交x轴的正半轴于R点
令得:,
故
又,
,
直线交CF于点T,
令得:,
故
又,
,
又,
.
22．答案：（1）f（x）在上单调递增,在上单调递减
（2）
解析：（1）当时,,,
设,
因为,得在R上递增,
即在R上递增,因为,
所以当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
（2）由得,,整理得,
设,
则
当时,即,t（x）在单调递增,单调递减,
则,得,a不存在;
当时,即,在单调递减,单调递增,单调递减,,只要即可,得,即;
当,即,在单调递减,单调递增,单调递减,
此时由2°得,所以成立;
综上所述,符合题意.
X
3
2
1
0
P