初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数巩固练习

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一、单选题
1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A．扩大为原来的两倍B．缩小为原来的 12
C．不变D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质可知三角形的边长扩大，角度不会发生改变，即锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
2．如图， ∠α 的顶点位于正方形网格的格点上，若 tanα=23 ，则满足条件的 ∠α 是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】A. tanα=32 ，故该选项不符合题意，
B. tanα=23 ，故该选项符合题意，
C. tanα=12 ，故该选项不符合题意，
D. tanα=13 ，故该选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据网格特点分别求出各选项中tanα的值，然后判断即可.
3．cs60°的值等于（ ）
A．1B．12C．22D．32
【答案】A
【解析】【解答】解：cs60°= 12
故答案为：A.
【分析】由特殊角的三角函数值可知。
4．如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（ ）
A．65B．56C．2102D．31020
【答案】A
【解析】【解答】解：利用三角函数的定义可知tan∠A= 65 ．
故选A．
【分析】根据三角函数的定义即可求出tan∠A的值．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= 23 ， 则tanB=（ ）
A．355B．53C．255D．52
【答案】D
【解析】【解答】解：∵sinA=BCAC=23，
∴设BC=2x，AB=3x，
由勾股定理得：AC=AB2−BC2=5x，
∴tanB=ACBC=5x2x=52
故答案为：D.
【分析】设BC=2x，AB=3x，由勾股定理求得AC=5x，代入tanB=ACBC求出即可.
6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，若AB=8，AD=5，则sinB等于（ ）
A．35B．45C．34D．58
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，
∴BC=2AD=2×5=10，
∵AB=8，
∴AC=BC2−AB2=102−82=6，
∴sinB=ACBC=610=35．
故答案为：A．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得BC=2AD=2×5=10，利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦的定义可得sinB=ACBC=610=35。
二、填空题
7．计算：4tan45°＝ ．
【答案】4
【解析】【解答】解：4tan45°=4×1=4．
故答案为：4．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
8．要使二次根式 x−sin30° 有意义，则 x 的取值范围为
【答案】x≥12
【解析】【解答】解：二次根式 x−sin30° 被开方数为 x−sin30°
∴x−sin30°≥0
又∵sin30°=12
∴x−12≥0 ，解得 x≥12
故答案为： x≥12 .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再结合特殊角三角函数值解答即可.
9．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为 ．
【答案】13
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB⊥BC，
∴DC⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠C=90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC，
∵CD=1，BC=3，
∴∠A的正切值为tanA=tan∠DBC= DCBC = 13 ，
故答案为： 13 ．
【分析】首先根据同角的余角相等可得∠A=∠DBC，在直角三角形BCD中求出tan∠DBC的值即为∠A的正切值。
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），连结DE，当△BDE是等腰三角形时，则AE的长为 .
【答案】8 或 12−43
【解析】【解答】解：∵△ABC中BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAD，
∴∠CBD=∠ABD=∠BAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°，
∵BC=6，
∴AB=2BC=12， AC=AB2−BC2=122−62=63 ，
BD=BCcs30°=632=43 ，
∴AD=BD=43 ，
CD=AC−AD=63−43=23 ；
（1）当 BE=BD=43 时，如图所示：
AE=AB−BE=12−43 ；
（2）当BE=DE时，如图所示：
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠ABD=30°，
∴∠AED=∠EDB+∠ABD=60°，
∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-60°-30°=90°，
∴△ADE为直角三角形，
∴AE=ADsin∠AED=43sin60°=8 ；
（3）当BD=DE时，点E与点A重合，不符合题意；
综上分析可知，AE的值为 12−43 或8.
故答案为：12−43 或8.
【分析】根据角平分线的概念得∠CBD=∠ABD，根据等腰三角形的性质得∠ABD=∠BAD，则∠CBD=∠ABD=∠BAD，结合内角和定理得∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=12，利用勾股定理求出AC，根据三角函数的概念得BD，然后根据CD=AC-AD求出CD；当BE=BD=43时，根据AE=AB-BE可得AE；当BE=DE时，∠EDB=∠ABD=30°，由外角的性质可得∠AED=∠EDB+∠ABD=60°，利用内角和定理可得∠ADE=90°，然后根据三角函数的概念进行计算；当BD=DE时，点E与点A重合，不符合题意，据此解答.
11．（3.14﹣π）0+2cs45°﹣|1﹣ 2 |+（ 12 ）﹣1= ．
【答案】4
【解析】【解答】解：原式=1+2× 22 ﹣ 2 +1+2=4，
故答案为：4
【分析】此题的运算顺序是：先算乘方运算，再算乘除运算，最后算加减法。易错点：|1﹣2 |=2-1≠1-2，（12）-1=2≠-2。
三、解答题
12．计算：（ 12 ）﹣2+（π﹣3.14）0﹣| 3−2 |﹣2cs30°．
【答案】解：原式=4+1﹣（2﹣ 3 ）﹣2× 32 =5﹣2+ 3 ﹣ 3 =3
【解析】【分析】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则计算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．
13．先化简，再求代数式x−4x2−9÷(1−1x−3)的值，其中x=2sin45°−3tan60°．
【答案】解：原式=x−4(x+3)(x−3)÷(x−3x−3−1x−3)
=x−4(x+3)(x−3)⋅x−3x−4
=1x+3；
∵x=2sin45°−3tan60°
=2×22−3×3
=2−3，
∴原式=1x+3
=12−3+3
=22．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
四、综合题
14．如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．
（1）由AB，BD， AD 围成的曲边三角形的面积是 ；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）求线段DE的长．
【答案】（1）252+25π4
（2）证明：由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB．
∵DE∥AB，∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：∵AB=10、AC=6，∴BC= AB2−AC2 =8． 过点A作AF⊥DE于点F，
则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，
∴tan∠EAF=tan∠CBA，
∴EFAF=ACBC ，即 EF5=68 ， ∴EF= 154 ，
∴DE=DF+EF= 154 +5= 354 ．
【解析】【解答】解：（1）如图，连接OD．
∵AB是直径，且AB=10，
∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5．
∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACD= 12 ∠ACB=45°，
∴∠AOD=90°，则曲边三角形的面积是
S扇形AOD+S△BOD= 90π×52360 + 12 ×5×5= 252+25π4 ．
故答案为 252+25π4 ；
【分析】（1）连接OD，由AB是直径知∠ACB=90°，结合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=45°，从而知∠AOD=90°，根据曲边三角形的面积=S扇形AOD+S△BOD可得答案；
（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB，根据DE∥AB可得OD⊥DE，即可得证；
（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四边形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA，即 EFAF=ACBC ，求得EF的长即可得．
15．如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以B，F为圆心，大于12BF的长为半径作弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为4，AE=3，则请直接写出csC的大小为 ．
【答案】（1）证明：由尺规作图可知，AB=AF，AE是∠BAF的角平分线，
∴∠EAB＝∠EAF，
在△AEB和△AEF中，
AB=AF∠BAE=∠FAEAE=AE，
∴△AEB≌△AEF（SAS），
∴BE=EF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠FAE，
∴∠AEB＝∠EAB，
∴BE＝AB，
∵EF=BE，AB=AF，
∴AB=BE=EF=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）12
【解析】【解答】解： (2)连接BF，交AE于G，如图所示：
∵菱形ABEF的周长为4，
∴AB=BE=EF=AF=1，
∵GA＝12AE=32，AE⊥BF，
在Rt△AGB中，GF=AF2−AG2=12−(32)2=12，
∴∠FAG＝30°，
∴∠BAF＝2∠BAG＝60°，
∴在▱ABCD中，∠C＝∠BAF＝60°，
∴csC=cs60°=12，
故答案为：12．
【分析】（1）利用菱形的判定方法求解即可；
（2）连接BF，交AE于G，先求出GF=AF2−AG2=12−(32)2=12，再求出∠C＝∠BAF＝60°，最后利用余弦的定义可得答案。
锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
注意：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，csA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cs与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°