专题11 二次函数图象性质与应用（共44题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（北京专用）

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1．（2022·北京·统考中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．
2．（2020·北京·统考中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．
3．（2023·北京西城·统考一模）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法，如图2，点O处由一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙，建立如图所示的平面直角坐标系，已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并说明理由．
(2)某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：
A.； B.；
C.； D.．
其中正确的不等式是__________．（填上所有正确的选项）
4．（2023·北京东城·统考一模）已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系.
乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如下表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
(2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．
5．（2023·北京朝阳·统考一模）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种． 测得一些数据如下：
(1)s是t的 函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；
(2)求s关于t的函数表达式；
(3)已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则___（填“<”，“=”或“>”）．
6．（2023·北京海淀·统考二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．

通过测量得到球距离台面高度（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离（单位：dm）的相关数据，如下表所示：
表1 直发式
表2 间发式
根据以上信息，回答问题：
(1)表格中________，________；
(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则________（填“>”“=”或“<”）．
7．（2023·北京海淀·统考一模）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据：
根据上述数据，回答下列问题：
①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________，最大竖直高度为_________；
②求满足条件的抛物线的解析式；
(2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填“能”或“不能”）跃过篱笆．
8．（2023·北京房山·统考二模）排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．

(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②判断该运动员第一次发球能否过网___________（填“能”或“不能”）．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
9．（2023·北京丰台·统考一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：）与到点O的水平距离x（单位：）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．
(1)水面的宽度_______；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
10．（2023·北京石景山·统考一模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
(1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式；
③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；
(2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 ．
11．（2023·北京门头沟·统考一模）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系．比赛中，甲同学连续进行了两次发球．
(1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下：
根据以上数据，回答下列问题：
①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是______m；
②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球______（填“是”或“否”）可以过网；
③求出满足的函数关系；
(2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则______0（填“”“”或“”）
12．（2023·北京通州·统考一模）如图，是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．
(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表，
结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程的长度．
(2)为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程米，求此水流距离地面的最大高度．
13．（2023·北京昌平·统考二模）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值：

小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小梅的探究过程，请补充完整：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；

解决问题：
(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________；
(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计）
14．（2023·北京平谷·统考一模）如图所示，某农场的小麦收割机正在收割小麦，脱离后的谷粒沿着喷射管道飞出，飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，谷粒从喷射出到着陆的过程中，谷粒的竖直高度y（单位：m）与距离喷射口的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
(1)谷粒距离喷射口的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下：
根据上述数据，若用货车接运谷粒，保证和喷射口在同一平面的情况下，谷粒落下过程中恰好落到车厢的中心点．若货车车厢的中心点距地面1.9米，则货车车厢的中心点应距离喷射口几米？
(2)谷粒喷出的同时石子等较重的杂质会跟随谷粒一起在重力作用下沿抛物线①被分离出来，谷皮和颗粒等较轻的杂质也会跟着谷粒一起沿抛物线②被分离出来，若已知两条抛物线的解析式分别为A：；B：，则A、B对应的抛物线分别为A：______；B：______（写①或②即可）．
15．（2023·北京朝阳·统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为，曲线是抛物线的一部分，顶点C在的垂直平分线上，且到的距离为．以中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．
16．（2023·北京·统考一模）某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，弹珠从箱外投入箱子，弹珠的飞行轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系（正方形为箱子正面示意图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行）．某同学将弹珠从点处抛出，弹珠的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．
下面是弹珠的水平距离与竖直高度的几组数据：
(1)直接写出弹珠竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)若点的坐标为，，则该同学抛出的弹珠__________投入箱子（填“能”或“不能”）．
17．（2023·北京房山·统考一模）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．
(1)拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系．
(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）．
18．（2023·北京朝阳·清华附中校考模拟预测）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
19．（2023·北京大兴·统考一模）羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系.
某次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
请根据上述数据，解决问题：
(1)直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球_________（填“能”或“不能”）越过球网.
20．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考二模）为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
小石进行了两次训练．
(1)第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；
(2)第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩为，则___________（填“>”，“=”或“＜”）．
21．（2023·北京西城·北师大实验中学校考模拟预测）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米（精确到0.1）；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
22．（2023·北京顺义·统考一模）铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），由电子监测获得的部分数据如下：
(1)根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；
(3)请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．
23．（2023·北京丰台·二模）学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌，要求矩形的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形的边上．为了设计面积最大的矩形，兴趣小组对矩形的面积与它的一边的长之间的关系进行研究．

具体研究过程如下，请补充完整．
(1)建立模型：
以的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过研究发现，抛物线满足函数关系．设矩形的面积为，的长为，则另一边的长为_______m（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：_________；
(2)探究函数：
列出S与a的几组对应值：
在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；

(3)解决问题：
结合函数图象得到，的长约为__________m时，矩形面积最大．
24．（2023·北京延庆·统考一模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，建立平面直角坐标系，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系．
小明训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，解决下列问题：
(1)直接写出实心球竖直高度的最大值是______；
(2)求出满足的函数关系；
(3)求实心球从出手到落地点的水平距离．
25．（2023·北京门头沟·二模）如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米．

(1)在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接；

(2)结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；
(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．
26．（2023·北京平谷·统考二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：

根据以上数据回答下列问题：
(1)求主桥洞的函数表达式；
(2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长．
27．（2023·北京石景山·统考二模）2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．

某跳水运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
②运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）．
28．（2023·北京顺义·统考二模）某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下：
(1)根据上述数据，求出满足的函数关系式；
(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？
29．（2023·北京大兴·统考二模）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系．

某中学一名运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，则________(填“”“”或“”)．
30．（2023·北京西城·北京市第十三中学校考模拟预测）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
31．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，并且可以360°旋转喷水，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线.现对某个方向喷水的路径测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为米．
(1)在网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
(3)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留）
32．（2023·北京海淀·首都师范大学附属中学校考一模）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，北京地铁（）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
(1)建立模型
①收集数据
②建立平面直角坐标系
为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设，因为时，，所以，则．
请根据表格中的数据，求，的值．
验证：把，的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
(2)应用模型
列车从减速开始经过________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米．
33．（2023·北京海淀·北京交通大学附属中学校考模拟预测）一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
(2)若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B与抛出点O的水平距离为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
(3)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
34．（2023·北京海淀·校考三模）天桥中幡是第一批被正式列入非遗名录的杂技艺术，2023年的春晚舞台上，中幡杂技表演《龙跃神州》成为一大亮点，其中有一个环节，若干个杂技演员等距排成一列，由第一位杂技演员将中幡向后高高抛出，最后一位杂技演员用头部接住中幡，中幡底部在空中运动的路线可以看作是抛物线的一部分．以第一位杂技演员的立足点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，中幡从抛出到被接住的过程中，中幡底部的竖直高度y（单位：m）和水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．

某次训练，中幡底部的水平距离x和竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，回答下列问题：
(1)表格中的______．
(2)求满足条件的抛物线的解析式；
(3)若这次训练相邻两位演员的间距都为，最后一位演员身高为，当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次训练成功，则舞台上至少______位演员．
35．（2023·北京·校联考一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地面最大高度为5米时，与点A所在y轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1米．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)已知人梯米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次表演能否成功（接触到人梯则代表表演成功）？请说明理由．
36．（2023·北京·校考模拟预测）某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第月至第月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第月之间存在如图（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第月之间存在如图（一段抛物线）所示的变化趋势．
(1)分别求函数和的表达式；
(2)销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
37．（2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为
(1)是否存在的值，使得矩形的面积是；
(2)为何值时，有最大值？最大值是多少？
38．（2023·北京海淀·校考模拟预测）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；
(3)求所画图象对应的函数表达式；
(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．
39．（2023·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：
(1)根据表中数据预测足球落地时，s= m；
(2)求h关于s 的函数解析式；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
40．（2023·北京西城·校考模拟预测）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米，下面的表中记录了与的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
(2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由结果保留一位小数．
41．（2023·北京海淀·北京市师达中学校考模拟预测）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为（）．

(1)在某次安装调试过程中，测得与的部分对应值如下表：
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是______m；
②求出与满足的函数解析式（）；
(2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为；
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，水柱落地时与池中心的距离为．则比较与的大小关系是：______（填“”或“”或“”）
42．（2023·北京海淀·人大附中校考三模）广场修建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为米，距地面的高度为米．测量得到如表数值：
小庆根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．下面是小庆的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图像；
(2)结合函数图像，出水口距地面的高度为______米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为______米；
(3)若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图像，估计出水口至少需要（填“升高”或“降低”）______米（结果保留小数点后一位）．
43．（2023·北京·北京师大附中校考三模）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．
请你解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
(3)求起跳点A距离地面的高度；
(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？
二、填空题
44．（2023·北京海淀·清华附中校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为 （用“<”表示）.水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
0
1
2
3
0
1
x
0
2
6
10
12
14
16
y
0
0.88
2.16
2.80
2.88
2.80
2.56
水平距离/
竖直高度/
滑行时间t/s
0
1
2
3
4
滑行距离s/m
0
2
6
12
20
m
n
水平距离
0
1
2
竖直高度
0
0
水平距离
0
2
4
6
11
12
竖直高度
2.48
2.72
2.8
2.72
1.82
1.52
水平距离
竖直高度
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/m
1
2.4
3.4
4
4.2
4
3.4
水平距离x/米
0
0.5
1
2
3
4
竖直高度y/米
1.5
1.71875
1.875
2
1.875
1.5
0
1
2
4
5
1
水平距离
0
2
3
4
5
竖直高度
3.5
4.3
4.4
4.3
4.0
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度



水平距离
2
3
6
8
10
12
竖直高度
4
5.4
7.2
6.4
4
0
x（米）
0
2
4
6
8
y（米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0
水平距离
0
2
4
6
8
…
竖直高度
1
1
…
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
7
8
竖直高度
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
0
（米）
0
1
2
3
4
…
（米）
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
水平距离x/m
0
3
6
9
12
15
18
…
竖直高度y/m
2.00
4.25
5.60
6.05
5.60
4.25
2.00
…
…
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
…
…
0.49
0.94
1.29
1.50
1.52
1.31
0.82
…
水平距离/m
竖直高度/m
1.8
2.43
2.88
3.15
3.24
3.15
(米)
(米)
水平距离
0
竖直高度
滑行时间x/s
滑行距离y/m
水平距离
0
1
1.5
2
2.5
3
竖直高度
0
0.75
0.9375
1
0.9375
0.75
x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.37
y/m
2.44
3.15
3.49
3.45
3.04
2.25
1.09
0
（米）
…
0
1
2
3
…
（米）
…
0.9
2.1
2.5
2.1
…
（秒）
（米）
水平距离x/m
0
0.8
2
2.8
4
4.8
p
竖直高度y/m
2
2.96
3.8
3.96
3.6
2.96
2
d（米）
0
1.0
3.0
5.0
7.0
h（米）
3.2
4.2
5.0
4.2
1.8
s/m
…
9
12
15
18
21
…
h/m
…
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…
米
米
水平距离
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
竖直高度
2.25
2.8125
3
2.8125
2.25
1.3125
0
米
0
1
2
3
4
4.4
米
2.5
3.3
3.3
2.5
0.9
0
d（米）
…
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
…
h（米）
…
3.40
4.15
4.60
4.75
4.60
4.15
…