专题04《分式的运算》-2023-2024学年数学八年级下册专题真题汇编卷（苏科版）

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考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.47
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2022春•宿豫区期中）计算的结果为（ ）
A．B．C．x2y2D．y2
解：
＝
＝y2．
故选：D．
2．（2分）（2021秋•新田县期末）a、b为实数，且ab＝1，设P＝+，Q＝+，则P与Q的大小关系（ ）
A．P＝QB．P＜QC．P＞QD．无法确定
解：∵ab＝1，
∴P＝+＝＝＝1，
Q＝+＝＝＝1，
∴P＝Q，
故选：A．
3．（2分）（2021•章丘区模拟）计算﹣+，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：原式＝
＝
＝
＝，
故选：D．
4．（2分）（2022秋•江夏区校级期末）下列计算正确的是（ ）
A．（）2＝B．﹣＝1
C．+＝D．＝﹣1
解：（）2＝，故选项A错误；
＝，故选项B错误；
＝，故选项C错误；
＝﹣＝﹣1，故选项D正确；
故选：D．
5．（2分）（2023春•灌云县月考）若x﹣y＝3xy，则的值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．
解：∵﹣＝﹣
＝
＝﹣．
当x﹣y＝3xy时，
原式＝﹣＝﹣3．
故选：A．
6．（2分）（2022春•滨湖区期中）一次数学活动课上，聪明的王同学利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论推导出“式子x+（x＞0）”的最小值．则这个最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
解：∵x＞0，
∴在面积是4的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，
矩形的周长是2（x+）；
当矩形成为正方形时，就有x＝（x＞0），
解得x＝2，
这时矩形的周长2（x+）＝8最小，
因此x+（x＞0）的最小值是4．
故选：D．
7．（2分）（2022春•锡山区校级月考）若分式□运算结果为x﹣1，则在“□”中添加的运算符号为（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
解：A、+＝＝，故此选项不符合题意；
B、﹣＝＝＝x﹣1，故此选项符合题意；
C、×＝，故此选项不符合题意；
D、÷＝•＝，故此选项不符合题意；
故选：B．
8．（2分）（2023春•玄武区校级期中）已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
解：结论Ⅰ：当ab＝1，则M＝＝＝＝N．
∴当ab＝1时，M＝N，即结论Ⅰ正确．
结论Ⅱ：当a+b＝0时，则b＝﹣a．
∴M＝＝，N＝＝．
∴MN＝≤0．
∴结论Ⅱ正确．
综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．
故选：A．
9．（2分）（2023春•江都区期中）已知m2﹣3m﹣2＝0，则值为（ ）
A．10B．11C．15D．16
解：∵m2﹣3m﹣2＝0，
∴m2﹣3m＝2．
∴原式＝m2﹣3m+m2+＝+2．
∵m2﹣3m﹣2＝0，
∴m2﹣2＝3m，
∵m≠0，
∴将上式两边除以m得：
m﹣＝3．
两边平方得：
m2﹣2m+＝9，
∴＝13．
∴原式＝2+13＝15．
故选：C．
10．（2分）（2023春•江都区期中）已知+＝3，则代数式的值为（ ）
A．3B．﹣2C．﹣D．﹣
解：+＝＝3，即a+2b＝6ab，
则原式＝＝＝﹣，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023春•天宁区校级期中）若n﹣m＝2，则代数式的值是 ﹣4 ．
解：原式＝，
＝2（m﹣n），
∵n﹣m＝2，
∴m﹣n＝﹣2，
∴原式＝2（m﹣n）
＝2×（﹣2）
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．（2分）（2015春•扬州校级月考）已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为 12 ．
解：＝＝＝
式子的值是整数，则x﹣3＝±2或±1．
则x＝5或1或4或2．
则所有符合条件的x值的和为12．
故答案为：12．
13．（2分）（2022春•兴化市月考）已知a+b＝5，ab＝3，＝ ．
解：当a+b＝5、ab＝3时，
原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
14．（2分）（2021春•玄武区校级期中）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝ ﹣ ．
解：
＝（a2﹣a）•﹣a×1
＝a（a﹣1）•﹣a
＝﹣a
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（2分）（2023春•邗江区校级期末）化简：＝ ．
解：•（﹣）
＝﹣•
＝．
故答案为：．
16．（2分）（2023春•海陵区校级月考），则A+B＝ 2 ．
解：＝．
∵，
∴A（x+3）+B（x﹣1）＝2x﹣5．
∴（A+B）x+3A﹣B＝2x﹣5．
∴A+B＝2，3A﹣B＝﹣5．
∴A＝，B＝．
∴A+B＝2．
故答案为：2．
17．（2分）（2023春•工业园区期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝ ．
解：，
∴，
∴，
故答案为：．
18．（2分）（2021春•江都区月考）已知+＝，且A、B为常数，则A+3B＝ 0 ．
解：方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：A（x+2）+B（x﹣2）＝2x+8，
∴（A+B）x+2（A﹣B）＝2x+8，
∴，
解得，
∴A+3B＝3+3×（﹣1）＝3+（﹣3）＝0．
故答案为：0．
19．（2分）（2022春•南京期末）化简的结果是 ﹣3a﹣b ．
解：原式＝﹣
＝
＝﹣3a﹣b．
故答案为：﹣3a﹣b．
20．（2分）（2022春•锡山区校级月考）若3x﹣4y﹣z＝0，2x+y﹣8z＝0，则的值为 2 ．
解：∵解方程组，解得，
∴原式＝＝＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023春•吴江区校级月考）先化简再求值（x+1﹣）÷，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
解：（x+1﹣）÷
＝
＝•
＝•
＝，
要使分式有意义，必须x﹣1≠0且x﹣2≠0，
所以x不能为1和2，
取x＝3，
当x＝3时，原式＝＝5．
22．（6分）（2017春•灌南县校级月考）÷（﹣）．
（1）化简已知分式；
（2）从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
解：（1）÷（﹣）
＝
＝
＝；
（2）当x＝2时，原式＝．
23．（8分）（2023春•高港区期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如：；
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 ①②③ （填序号）；
①②③④
（2）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）求当x为何整数时，分式也为整数．
解：（1）∵①＝1+，
②＝＝3﹣，
③＝1+，
④化不成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，
∴上列分式中，属于“和谐分式”的是①②③，
故答案为：①②③；
（2）
＝
＝2+；
（3）∵
＝
＝x+4+为整数，x也为整数，
∴x﹣1＝±1，
∴x＝0或2．
24．（8分）（2023春•宝应县期中）小明同学在完成“先化简，再求值：，其中x＝﹣2．”时将“x＝﹣2”代入成“x＝2”，但最后得到的答案未受影响，请你帮助他解释其原因．
解：原式＝[+]•
＝•
＝x2，
当x＝±2时，原式＝4．
所以将“x＝﹣2”代入成“x＝2”，但最后得到的答案未受影响，
25．（8分）（2023春•鼓楼区期中）定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．
（1）下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有 ②③ （只填序号）；
（2）求分式的“美妙分式”；
（3）若分式与互为“美妙分式”，且a、b均为不等于0的实数，求分式的值．
解：（1）①||＝||≠3；②||＝||＝3；③||＝||＝|﹣3|＝3；
故答案为：②③．
（2）设分式的“美妙分式”为A，则|A﹣|＝3，
所以，A＝+3，或A＝﹣3．
当A＝+3时，A＝+3＝+＝；
当A＝﹣3时，A＝﹣3＝﹣＝＝；
故的“美妙分式”为或．
（3）由题意可得：，
即||＝3．
所以，＝3，或者＝﹣3．
当＝3时，化简得3b2+ab＝0，即b（3b+a）＝0，
又因为a，b均不等于0，所以，3b+a＝0，即a＝﹣3b，
所以，＝＝＝．
当＝﹣3时，化简得6a2﹣3b2+ab＝0，即ab＝﹣（6a2﹣3b2），
所以，＝＝＝．
故的值为或．
26．（8分）（2023春•高邮市月考）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和雅式”，这个常数称为A关于B的“和雅值”．
如分式，，，则A是B的“和雅式”，A关于B的“和雅值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否为D的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出C关于D的“和雅值”；
（2）已知分式M＝，N＝，M是N的“和雅式”，且M关于N的“和雅值”是1，求a+b的值；
（3）已知分式，，P是Q的“和雅式”，且P关于Q的“和雅值”是1，x为整数，且“和雅式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和．
解：（1）C不是D的“和雅式”；
理由：∵C﹣D＝﹣
＝
＝
＝﹣1＜0，
∴C不是D的“和雅式”；
（2）由题意得：M﹣N＝1，
∴﹣＝1，
∴（2﹣a+b）x＝b，
∴2﹣a+b＝b＝0，
解得：a＝2，b＝0，
∴a+b＝2；
（3）由题意得：P﹣Q＝1，
∴﹣＝1，
∴E＝3x+9，
∵＝为整数，x为整数，
∴3﹣x的值为：±1或±3，
∴x的值为：0，2，4，6，
∴0+2+4+6＝12，
所以所有符合条件的x的值之和为12．
27．（8分）（2022春•江都区校级月考）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；
再如：＝x+1+
解决下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式的形式为 1﹣ ；
（3）把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值．
解：（1）是真分式，故答案为：真；
（2）＝＝1﹣．
故答案为：1﹣；
（3）＝＝＝2﹣；
∵的值为整数，且x为整数；
∴x+1为3的约数，
∴x+1的值为1或﹣1或3或﹣3；
∴x的值为0或﹣2或2或﹣4．
28．（8分）（2023春•鼓楼区期中）若a＞0，M＝，N＝
（1）当a＝1时，M＝ ，N＝ ；当a＝3时，M＝ ，N＝ ；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
解：（1）当a＝1时，M＝＝＝，N＝＝＝，
当a＝3时，M＝＝＝，N＝＝＝，
故答案为：，，，；
（2）M＜N，理由是：
M﹣N＝﹣，
＝，
＝﹣，
∵a＞0，
∴（a+1）（a+2）＞0，
∴﹣＜0，
即M﹣N＜0，
∴M＜N