2023-2024学年上海交大附中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海交大附中高一（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.对于实数a，b，c，“ac2>bc2”是“a>b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x)，那么当x<0时，f(x)的解析式是( )
A. x(1+x)B. x(1−x)C. −x(1−x)D. −x(1+x)
3.若对任意角θ，都有csθa+sinθb=1，则下列不等式恒成立的是( )
A. a2+b2≤1B. a2+b2≥1C. 1a2+1b2≤1D. 1a2+1b2≥1
4.给定集合A和定义域为R的函数f(x)，如果对于任意x1、x2∈R及x1−x2∈A均成立f(x1)−f(x2)∈A，则称函数f(x)是“A关联”的.对于下列两个命题：
①若f(x)是“{1}关联”的，则f(x)一定是“{k}关联”的(k为正整数)
②若f(x)是“[a,b]关联”的(a、b为正整数)，则f(x)一定是“{a}关联”的
判断正确的是( )
A. ①、②都是真命题B. ①、②都是假命题
C. ①真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合A={−1,0,1}子集的个数是______．
6.函数y=lg(3x+2)的零点是______．
7.若幂函数y=xa的图像经过点(2,2 2)，则a=______．
8.在直径为6的圆中，25弧度的圆心角所对的弧长为______．
9.已知sinα=45(0<α<π2)，则ctα= ______．
10.已知实数ω>0，函数f(x)=sinωx+ 3csωx的最小正周期为π，则ω= ______．
11.已知对任意实数x，不等式ax2+ax+1>0恒成立，则实数a的取值范围是______．
12.若cs2x1+sin2x=15，则tanx= ______．
13.已知f(n)=2csnπ3，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)= ______．
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b− 22c=acsC，则∠A= ______．
15.已知函数f(x)=3x,x≤a,−x2+4,x>a的值域为(−∞,3a]，则实数a的取值范围是______．
16.已知x,y∈(0,π2)，且tanxtany+tanxsiny−sinx≤1，则x2−2(y−1)2的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知α、β均为第二象限角，且cs(α−π2)= 55，sinβ= 1010．
(1)求csα的值；
(2)求tan(α+β)的值．
18.(本小题15分)
设a为实数，函数f(x)=2x2+(x−a)|x−a|
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值．
19.(本小题15分)
为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动.经测量，边界AB与AD的长度都是14米，∠BAD=60°，∠BCD=120°．
(1)若DC的长为6米，求BC的长；
(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=lgax−1x+1(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)若当a=12时，函数g(x)=f(x)−b在(1,+∞)有且只有一个零点，求实数b的范围；
(3)是否存在实数a，使得当f(x)的定义域为[m,n]时，值域为[1+lgan,1+lgam]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.(本小题16分)
已知函数y=f(x)的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在x0，使得f(x0)=f(x0+m)，则称函数y=f(x)在区间D上具有性质P(m)．
(1)判断函数f(x)=x2在区间[−1,1]上是否具有性质P(12)，并说明理由；
(2)若函数f(x)=sinx在区间(0,n)(n>0)上具有性质P(π4)，求n的取值范围；
(3)已知函数y=f(x)的图像是连续不断的曲线，且f(0)=f(2)，求证：函数y=f(x)在区间[0,2]上具有性质P(13).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
【解答】
解：若ac2>bc2，则c≠0，则不等式等价为a>b，即充分性成立，
若c=0，若a>b，则ac2>bc2不成立，即必要性不成立，
故，“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件，
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：设x<0，可得−x>0，
故可得f(−x)=−x(1−x)，
又y=f(x)是奇函数，
则−f(x)=f(−x)=−x(1−x)，
故可得f(x)=x(1−x)，
故选：B．
设x<0，可得−x>0，代入已知式子，由函数的奇偶性可得．
本题考查函数对称区间的解析式，涉及函数的奇偶性，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：设x=csθ，y=sinθ则xa+yb=1
对任意角θ，都有csθa+sinθb=1，可看成直线xa+yb=1与单位圆有交点
d=|ab| a2+b2≤ 1，化简得1a2+1b2≥1，
故选D．
先换元，对任意角θ，都有csθa+sinθb=1，可转化成直线xa+yb=1与单位圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径建立不等关系即可．
本题主要考查了基本不等式，转化成直线和圆恒有交点，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：对①，因为f(x)是“{1}关联”的，
∴当x1−x2=1时，f(x1)−f(x2)=1，
从而可得自变量增加的倍数与相应函数值增加的倍数相同，
∴f(x)一定是“{k}关联”的(k为正整数)，∴①正确；
下证②也是真命题：
对于任意x，我们估计f(x+ab)−f(x)的范围．
一方面，考虑自变量每次增量为a，共增了b次，
则f(x+ab)−f(x)∈[ab,b2](*)；
另一方面，考虑自变量每次增量为b，共增了a次，
则f(x+ab)−f(x)∈[a2,ab]．
由此可得f(x+ab)−f(x)=ab，
此时(*)中不等式取等号，只能f(x+a)−f(x)=a，
即f(x)一定是“{a}关联”的．
故选：A．
根据题意可得：新概念刻画了在任意x处，函数的自变量增量和相应函数值增量之间的关系，再根据新定义分别求解即可．
本题考查命题真假的判断，新定义的应用，属中档题．
5.【答案】8
【解析】解：集合A={−1,0,1}子集的个数是：23=8．
故答案为：8．
集合A中如果有n个元素，则集合A有2n个子集．
本题考查集合的子集个数的求法、考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】−13
【解析】解：根据题意，若lg(3x+2)=0，必有3x+2=1，解可得x=−13．
故函数的零点为x=−13．
故答案为：−13．
根据题意，解方程lg(3x+2)=0，求出x的值，即可得答案．
本题考查函数的零点，注意函数零点的定义，属于基础题．
7.【答案】32
【解析】解：有题意可知，2a=2 2，
∴a=32，
故答案为：32．
把点坐标代入幂函数解析式，即可求出a的值．
本题主要考查了幂函数的定义，是基础题．
8.【答案】65
【解析】解：直径为6的圆中，25弧度的圆心角所对的弧长为：62×25=65．
故答案为：65．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
9.【答案】34
【解析】解：由题意知csα=35，ctα=34．
故答案为：34．
由已知结合同角基本关系即可直接求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
10.【答案】2
【解析】解：根据题意得f(x)=sinωx+ 3csωx=2sin(ωx+π3)，可得f(x)的最小正周期T=2π|ω|=π，结合ω>0解得ω=2．
故答案为：2．
根据两角和与差的三角函数公式，化简得f(x)=2sin(ωx+π3)，再由三角函数的周期公式，算出ω的值．
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、三角函数的周期公式等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
11.【答案】[0,4)
【解析】解：a=0时，不等式ax2+ax+1>0化为1>0，对任意实数x不等式恒成立，满足条件；
a≠0时，根据一元二次不等式恒成立的条件，应满足a>0△<0，
即a>0a2−4a<0，
解得0∴实数a的取值范围是[0,4)．
故答案为：[0,4)．
讨论a=0时和a≠0时不等式恒成立的条件是什么，从而求出实数a的取值范围．
本题考查了利用判别式求不等式恒成立的问题，是基础题．
12.【答案】−1或23
【解析】解：原式=cs2x−sin2xcs2x+sin2x+2sinxcsx=1−tan2x1+tan2x+2tanx=15
解得：tanx=−1或23
故答案为：−1或23．
首先利用二倍角公式化简，然后分子分母同除以cs2x，即可得出结果．
本题主要考查了二倍角公式及同角的平方关系的应用，解题的关键是分子分母同时添上1并且对1进行的变化
13.【答案】2
【解析】解：f(n)=2csnπ3，
易知f(n)以6为周期，枚举得f(1)=2csπ3=1，f(2)=−1，f(3)=−2，f(4)=−1，f(5)=1，f(6)=2，
所以f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(6)=0.又2025=337×6+3，所以f(0)+f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(2024)=337×0+f(0)+f(1)+f(2)=2．
故答案为：2．
根据已知条件，结合枚举法，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
14.【答案】π4
【解析】解：∵在△ABC中，b− 22c=a⋅csC，
∴由正弦定理得：sinB− 22sinC=sinAcsC，又A+C=π−B，
∴sin(A+C)− 22sinC=sinAcsC，
即sinAcsC+csAsinC− 22sinC=sinAcsC，
∴csAsinC= 22sinC，
∵sinC≠0，
∴csA= 22，又A为△ABC的内角，
∴A=π4．
故答案为：π4．
利用正弦定理将已知条件中的“边”转化为边所对角的正弦，再利用三角函数间的关系即可求得答案．
本题考查正弦定理的应用，考查三角函数间的关系式及三角函数中的恒等变换，考查转化与运算能力，属于中档题．
15.【答案】[1,2)
【解析】解：因为0<3x<3a，f(x)值域为(−∞,3a]，
所以对于−x2+4，x>a时的函数值范围应包含(−∞,0]，
若函数值含有正数，则正数部分不超过3a，
根据图像可知a∈[1,2)．
故答案为：[1,2)．
分别求出函数在两段上的值域，跟值域对比求实数a的取值范围．
本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了数形结合思想，属于基础题．
16.【答案】π22−2π+2
【解析】解：因tanxtany+tanxsiny−sinx≤1，
则tany+siny≤1+sinxtanx=1tanx+csx=tan(π2−x)+sin(π2−x)，
因函数y=sinx，y=tanx均在(0,π2)上单调递增，
则函数y=tanx+sinx在(0,π2)上单调递增，
故有：0设x+y=m，其中0则x2−2(y−1)2=(m−y)2−2(y−1)2=−y2+(4−2m)y+m2−2=−[y−(2−m)]2+2(m−1)2≤2(m−1)2，
当且仅当y=2−m时取等号，
则此时0<2−m<π2，得2−π2又函数f(m)=2(m−1)2在(2−π2,1)时单调递减，在(1,π2]时单调递增，
f(2−π2)=f(π2)，则f(m)=2(m−1)2≤f(π2)=π22−2π+2，
此时y=2−π2，x=π−2．
故答案为：π22−2π+2．
由tanxtany+tanxsiny−sinx≤1，通过研究函数y=tanx+sinx单调性可得0本题考查了转化思想、三角函数的性质、不等式的性质、二次函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由诱导公式可知sinα=cs(α−π2)= 55，
所以csα=−2 55；
(2)由第一问可知tanα=−12，同理tanβ=−13，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−1．
【解析】(1)利用诱导公式求解．
(2)利用同角三角函数关系式、正切加法定理能求出结果．
本题考查诱导公式、同角三角函数关系式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)若f(0)≥1，则：−a|−a|≥1⇒a<0a2≥1⇒a≤−1．
(2)当x≥a时，f(x)=3x2−2ax+a2，∴f(x)min=f(a),a≥0f(a3),a<0=2a2,a≥023a2,a<0，如图所示：
当x≤a时，f(x)=x2+2ax−a2，∴f(x)min=f(−a),a≥0f(a),a<0=−2a2,a≥02a2,a<0．
综上所述：f(x)min=−2a2,a≥023a2 a<0．
【解析】(1)不等式即−a|−a|≥1，故有a<0，且a2≥1，解不等式组求a的取值范围．
(2)分类讨论，去掉绝对值，转化为二次函数的最小值问题，借助二次函数的对称轴及单调性．
本题考查取绝对值的方法，二次函数在区间上的最小值的求法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想．
19.【答案】解：(1)连接BD，由题意△ABD是等边三角形，所以BD=14，
在△BCD中，由余弦定理得，
|BD|2=|BC|2+|CD|2−2|BC|⋅|CD|cs∠BCD，
即|BC|2+6|BC|−160=0，解得|BC|=10(含去|BC|=−16)，
故BC的长为10米；
(2)设∠BDC=θ，∠CBD=π3−θ，
在△BCD中，CDsin∠CBD=BCsin∠BDC=BDsin∠C=14 32=28 3，
所需篱笆的长度为f(θ)=28+28 33[sinθ+sin(π3−θ)]
=28+28 33(sinθ+ 32csθ−12sinθ)
=28+28 33sin(θ+π3)≤28+28 33，
则当θ=π6时，所需篱笆的最大长度为28+28 33米．
【解析】(1)在△BCD中，根据余弦定理，即可求得；
(2)设∠BDC=θ，将所需篱笆的长度表示成关于θ的函数，利用正弦函数的范围即可求得最大值．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查解三角形，属中档题．
20.【答案】解：(1)由x−1x+1>0，得x>1或x<−1，
∴f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)；
(2)令t(x)=x−1x+1=1−2x+1，任取x1，x2∈(1,+∞)，x1则t(x1)−t(x2)=(1−2x1+1)−(1−2x2+1)=2x2+1−2x1+1=2(x1−x2)(x2+1)(x1+1)，
∵x1−x2<0，x1+1>0，x2+1>0，
∴t(x1)−t(x2)=2(x1−x2)(x2+1)(x1+1)<0，
即函数t(x)=1−2x+1在(1,+∞)上单调递增；
又a=12∈(0,1)，
∴f(x)在(1,+∞)上单调递减，
且当x趋于1，f(x)趋于+∞；x趋于+∞，f(x)趋于0，
函数g(x)=f(x)−b在(1,+∞)有且只有一个零点，
即f(x)=b在(1,+∞)有且只有一个解，
∵函数f(x)在(1,+∞)的值域为(0,+∞)，如图所示，

∴b的取值范围是(0,+∞)；
(3)假设存在这样的实数a，使得当f(x)的定义域为[m,n]时，值域为[1+lgan,1+lgam]，
由m又由(1)t(x)=1−2x+1在(1,+∞)上为增函数，y=lgax在(1,+∞)上为减函数．
则f(x)在(1,+∞)上为减函数，
得f(m)=lgam−1m+1=1+lgam=lga(am)f(n)=lgan−1n+1=1+lgan=lga(an)，
即x−1x+1=ax在(1,+∞)上有两个互异实根，
由x−1x+1=ax，得ax2+(a−1)x+1=0，
即g(x)=ax2+(a−1)x+1有两个大于1的相异零点．
由0则Δ=(a−1)2−4a>0g(1)=2a>0−a−12a>1，解得0故存在这样的实数a∈(0,3−2 2)符合题意．
【解析】(1)由x−1x+1>0求出x的取值范围，即可得到f(x)的定义域；
(2)令t(x)=x−1x+1=1−2x+1在(1,+∞)上单调递增，则f(x)在(1,+∞)上单调递减，即b的范围就是f(x)在(1,+∞)上的值域；
(3)由题可得0本题主要考查了对数函数、二次函数的性质，考查了复合函数的单调性及数形结合思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=x2在区间[−1,1]上具有性质P(12)，
若x02=(x0+12)2，则x0=−14，
因为−14∈[−1,1]，且−14+12=14∈[−1,1]，
所以函数f(x)=x2在区间[−1,1]上具有性质P(12).
(2)由题意，存在x0∈(0,n)，使得sinx0=sin(x0+π4)，
由正弦线的定义得x0+π4=x0+2kπ(舍)或x0+π4=2kπ+π−x0(k∈Z)，
则得x0=kπ+3π8，
因为x0=kπ+3π8>0，所以k∈N，
又因为x0=kπ+3π8∈(0,n)且x0+π4=kπ+5π8∈(0,n)(k∈N)，
所以n>5π8，即所求n的取值范围是(5π8,+∞)．
证明：(3)设g(x)=f(x)−f(x+13)，x∈[0,53]，
则有g(0)=f(0)−f(13)，g(13)=f(13)−f(23)，g(23)=f(23)−f(1)，…，g(k−13)=f(k−13)−f(k3)，…，g(53)=f(53)−f(2)，(k∈{1,2,3,…,6})，
以上各式相加得g(0)+g(13)+…+g(k−13)+…+g(53)=f(2)−f(0)，
即g(0)+g(13)+…+g(k−13)+…+g(53)=0，
(i)当g(0)、g(13)、…、g(n−13)、…、g(53)中有一个为0时，不妨设g(i−13)=0，i∈{1,2,3,…,6}，
即g(i−13)=f(i−13)−f(i3)=0，即f(i−13)=f(i−13+13)，i∈{1,2,3,…,6}，
所以函数y=f(x)在区间[0,2]上具有性质P(13).
(ii)当g(0)、g(13)、…、g(n−13)、…、g(53)中均不为0时，由于其和为0，
则其中必存在整数和负数，不妨设g(i−13)>0，g(j−13)<0，
其中i≠j，i，j∈{1,2,3,…,6}，
由于函数y=g(x)的图像是连续不断的曲线，所以当ij时，至少存在一个实数x0∈(j−13,i−13))，
其中i，j∈{1,2,3,…,6}，使得g(x0)=0，即g(x0)=f(x0)−f(x0+13)=0，
即存在x0，使得f(x0)=f(x0+13)，
所以函数y=f(x)在区间[0,2]上也具有性质P(13)，
综上所述，函数y=f(x)在区间[0,2]上具有性质P(13).
【解析】(1)若x02=(x0+12)2，则x0=−14，显然函数f(x)=x2在区间[−1,1]上具有性质P(12).
(2)由题意，存在x0∈(0,n)，使得sinx0=sin(x0+π4)，由三角函数的性质可得x0=kπ+3π8，又因为x0=kπ+3π8∈(0,n)且x0+π4=kπ+5π8∈(0,n)(k∈N)，从而求出n的取值范围．
(3)设g(x)=f(x)−f(x+13)，x∈[0,53]，则有g(0)=f(0)−f(13)，g(13)=f(13)−f(23)，g(23)=f(23)−f(1)，…，g(k−13)=f(k−13)−f(k3)，…，g(53)=f(53)−f(2)，(k∈{1,2,3,…,6})，以上各式相加得g(0)+g(13)+…+g(k−13)+…+g(53)=0，再对其中是否有为0的数，分情况讨论，结合性质P(13)的定义，即可证得函数y=f(x)在区间[0,2]上具有性质P(13).
本题主要考查了新定义问题，考查了函数性质的应用，同时考查了学生分析问题和转化问题的能力，是中档题．