2023-2024学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十九两；牛二，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个数中，是负数的是( )
A. |−4|B. −(−4)C. (−4)2D. −42
2.已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是( )
A. 3.1536×106B. 3.1536×107C. 31.536×106D. 0.31536×108
3.下面运算正确的是( )
A. 7a2b−5a2b=2B. x8÷x4=x2
C. (a−b)2=a2−b2D. (2x2)3=8x6
4.如图所示物体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知点P(a,2)与点Q(−3,2)关于y轴对称，则a的值为( )
A. 3B. −3C. 2D. −2
6.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 18°
D. 30°
7.下列命题中，假命题是( )
A. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B. 矩形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形D. 对角线相等的菱形是正方形
8.已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是( )
A. 48πcm2B. 36πcm2C. 24πcm2D. 12πcm2
9.我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为( )
A. 5x+2y=192x+3y=12B. 5x+2y=122x+3y=19C. 2x+5y=193x+2y=12D. 2x+5y=123x+2y=19
10.若点A(−2,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在抛物线y=2(x−1)2+m上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：5x2−5y2= ______．
12.为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是______．
13.已知关于x的一元二次方程x2−2x+a2−1=0有一个根是x=0，则另外一个根是______．
14.一个多边形的内角和为1440°，则它的边数为______．
15.若正比例函数y=−2x与反比例函数y=kx的图象交于(1,−2)，则另一个交点坐标为______．
16.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算： 8−(2019−π)0−4cs45°+(−13)−2
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
先化简再求值：4(m+1)2−(2m+5)(2m−5)，其中m=−3．
19.(本小题6分)
科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向．
(1)求点B到AC的距离．
(2)求AC的长度．
20.(本小题8分)
某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组(x表示成绩，单位：分)，A组：75≤x<80；B组：80≤x<85；C组：85≤x<90；D组：90≤x<95；E组：95≤x<100.并绘制出如图两幅不完整的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加初赛的选手共有______名，请补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
(3)学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
21.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．
22.(本小题9分)
数学源于生活，寓于生活，用于生活.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用.为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．
(1)求每套《什么是数学》的价格；
(2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？
23.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
(1)求证AE平分∠BAC；
(2)若OA=5，EC=4，求AD的长．
24.(本小题10分)
定义：若直线l：y=kx+b与函数G交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，将|AB|叫做函数G在直线l上的弦长，且|AB|= 1+k2|xA−xB|，其中|xA−xB|叫做函数G在直线l上的截距．
(1)求出y=ax2−5ax+6a在x轴上的截距；
(2)若直线过定点(0,14)，抛物线y=12x2−14在该直线上的弦长等于8，求直线的解析式；
(3)若二次函数y=x2+(a+17)x+38−a与反比例函数y=56x在第一象限交于点A，在第三象限交于B、C两点．
①若B、C两点的横纵坐标均为整数，请直接写出正整数a的值；
②若−125.(本小题10分)
已知直线y=−x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B的坐标为(5,1)．
(1)求∠BAC的度数；
(2)如图，连接AB、AC、BC，点E在直线AC上运动，若△ABC和△ABE相似，求点E的坐标；
(3)点E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)，经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△AEF面积最大时，求出面积的最大值及此时点F的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了绝对值，相反数，有理数的乘方，掌握−42表示42的相反数是解题的关键．
根据绝对值的定义计算A选项；根据相反数的定义计算B选项；根据有理数的乘方计算C，D选项，从而得出答案．
【解答】
解：A选项，原式=4，故该选项不符合题意；
B选项，原式=4，故该选项不符合题意；
C选项，原式=16，故该选项不符合题意；
D选项，原式=−16，故该选项符合题意；
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式以及积的乘方的知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化．
利用合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式以及积的乘方的知识，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】
解：A、7a2b−5a2b=2a2b，故本选项错误；
B、x8÷x4=x4，故本选项错误；
C、(a−b)2=a2−2ab+b2，故本选项错误；
D、(2x2)3=8x6，故本选项正确．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查几何体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．
【解答】
解：左视图为：
，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：点P(a,2)与点Q(−3,2)关于y轴对称，则a的值为3，
故选：A．
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a的值．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
因为AB//CF，
所以∠ABD=∠EDF=45°，
所以∠DBC=∠ABD−∠ABC=45°−30°=15°．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；
B、矩形的对角线相等，是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
故选：C．
根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8.【答案】C
【解析】解：底面周长是2×4π=8π，
则圆锥的侧面积是：12×8π×6=24π(cm2).
故选：C．
已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
9.【答案】A
【解析】解：∵5头牛，2只羊共19两银子，
∴5x+2y=19；
∵2头牛，3只羊共12两银子，
∴2x+3y=12．
∴可列方程组为5x+2y=192x+3y=12．
故选：A．
根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=2(x−1)2+1，
∴对称轴为直线x=1，
∴点A到对称轴的距离为：1−(−2)=3，
点B到对称轴的距离为：2−1=1，
点C到对称轴的距离为：3−1=2，
∵a=2>0，
∴函数开口向上，
∵1<2<3，
∴y2故选：C．
先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小．
11.【答案】5(x+y)(x−y)
【解析】解：原式=5(x2−y2)=5(x+y)(x−y)，
故答案为：5(x+y)(x−y)．
提公因式后再利用平方差公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
12.【答案】3
【解析】解：因为这组数据中3出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是3，
故答案为：3．
根据众数的概念求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
13.【答案】2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+a2−1=0有一个根是x=0，
∴a2−1=0，
解得a2=1，
∴原方程为x2−2x=0，
解得x1=0，x2=2，
故方程的另一个根为2．
故答案为：2．
把x=0代入方程即可求得a2的值，然后把a2的值代入原方程代入原方程即可求得另一根．
本题考查了一元二次方程的解，根据方程的一个根求出a2的值是解答本题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：设此多边形的边数为n，由题意，有
(n−2)⋅180°=1440°，
解得n=10．
即此多边形的边数为10．
故答案为10．
根据n边形的内角和是(n−2)⋅180°，即可列方程求解．
本题主要考查了多边形的内角和公式，是一个基础题，比较简单，牢记n边形的内角和公式是解题的关键．
15.【答案】(−1,2)
【解析】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是(1,−2)，
∴另一个交点的坐标是(−1,2)．
故答案为：(−1,2)．
反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
16.【答案】30°
【解析】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵∠A=120°，
∴∠ODC=180°−∠A=60°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
∴∠DOC=180°−2×60°=60°，
∴∠P=90°−∠DOC=30°；
故答案为：30°．
连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP=90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC=180°−∠A=60°，由等腰三角形的性质得出∠OCD=∠ODC=60°，求出∠DOC=60°，由直角三角形的性质即可得出结果．
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2 2−1−2 2+9
=8．
【解析】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
18.【答案】解：4(m+1)2−(2m+5)(2m−5)，
=4(m2+2m+1)−(4m2−25)，
=4m2+8m+4−4m2+25，
=8m+29，
当m=−3时
原式=8×(−3)+29=−24+29=5．
【解析】根据完全平方公式，平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．
主要主要考查了完全平方公式，平方差公式，去括号以及合并同类项．去括号时，注意符号的处理．
19.【答案】解：(1)过点B作BD⊥AC，垂足为D，

在Rt△ABD中，∠BAD=60°，AB=4千米，
∴BD=AB⋅sin60°=4× 32=2 3(千米)，
∴点B到AC的距离为2 3千米；
(2)在Rt△ABD中，∠BAD=60°，AB=4千米，
∴AD=AB⋅cs60°=4×12=2(千米)，
在Rt△BCD中，∠CBD=90°−45°=45°，BD=2 3千米，
∴CD=BD⋅tan45°=2 3(千米)，
∴AC=AD+CD=(2+2 3)千米，
∴AC的长度为(2+2 3)千米．
【解析】(1)过点B作BD⊥AC，垂足为D，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，即可解答；
(2)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】(1)40；
；
(2)C组对应的圆心角度数是：360°×1240=108°，
E组人数占参赛选手的百分比是：640×100%=15%；
(3)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为812=23．
【解析】【分析】
此题考查了树状图法与列表法求概率以及频率分布直方图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；
(2)用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：(1)参加初赛的选手共有：8÷20%=40(人)，
B组有：40×25%=10(人)．
频数分布直方图见答案；
故答案为40；
(2)(3)见答案．
21.【答案】(1)证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
(2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，
∴BDBA=BABC，
∴BD6=610，
∴BD=3.6．
【解析】(1)根据已知条件得出∠BDA=∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；
(2)根据相似三角形的性质即可求出BD的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是2.5x元，
根据题意得：5000x−50002.5x=60，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
答：每套《什么是数学》的价格是50元；
(2)2.5×50=125(元)，
设可以购进m套《古今数学思想》，则购进(70−m)套《什么是数学》，
根据题意得：0.8×125m+0.8×50(70−m)≤4000，
解得：m≤20，
∴m的最大值为20．
答：《古今数学思想》最多能买20套．
【解析】(1)设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是2.5x元，利用数量=总价÷单价，结合5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出每套《什么是数学》的价格，再将其代入2.5x中，即可求出每套《古今数学思想》的价格；
(2)设可以购进m套《古今数学思想》，则购进(70−m)套《什么是数学》，利用总价=单价×数量，结合总价不超过4000元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、数学常识以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：连接OE，
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ，
∵AC⊥PQ，
∴OE//AC，
∴∠OEA=∠EAC，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠OAE=∠EAC，即AE平分∠BAC；
(2)解：过点O作OF⊥AC于F，
则AD=FD=12AD，
∵OE⊥PQ，AC⊥PQ，OF⊥AC，
∴四边形OECF为矩形，
∴OF=EC=4，
在Rt△AOF中，AF= OA2−OF2= 52−42=3，
∴AD=2AF=6．
【解析】(1)连接OE，根据切线的性质得到OE⊥PQ，根据平行线的性质得到∠OEA=∠EAC，根据等腰三角形的性质得到∠OEA=∠OAE，等量代换证明结论；
(2)过点O作OF⊥AC于F，根据勾股定理求出AF，根据垂径定理解答即可．
本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24.【答案】解：(1)令y=ax2−5ax+6a=0，
解得：x=2或3，
则截距=|3−2|=1；
(2)设直线的表达式为：y=kx+14，
联立直线和抛物线的表达式得：kx+14=12x2−14，即x2−2kx−1=0，
则x1+x2=2k，x1x2=−1，
则弦长= 1+k2|x1−x2|= 1+k2× (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2× (2k)2−4×(−1)=8，
解得：k=± 3，
则直线的表达式为：y=± 3x+14；
(3)①联立两个函数表达式得：x2+(a+17)x+38−a=56x，
整理得：(x−1)[x2+(a+18)x+56]=0，
∵两个函数在第三象限交于B、C两点，则x2+(a+18)x+56=0，
∵若B、C两点的横纵坐标均为整数，则x=−7或−8，
则a+18=15，
解得：a=−3；
②由①知，xB+xC=−(a+18)，xBxC=56，
设二次函数在直线BC上的截距=|xB−xC|= (xB+xC)2−4xBxC= (−a−18)2−4×56= a2+36a+100，
∵−1则 65<|xB−xC|<4 11．
【解析】(1)令y=ax2−5ax+6a=0，解得：x=2或3，即可求解；
(2)联立直线和抛物线的表达式得：kx+14=12x2−14，即x2−2kx−1=0，则x1+x2=2k，x1x2=−1，由弦长公式即可求解；
(3)①联立两个函数表达式并整理得：(x−1)[x2+(a+18)x+56]=0，两个函数在第三象限交于B、C两点，则x2+(a+18)x+56=0，即可求解；
②由①知，xB+xC=−(a+18)，xBxC=56，由截距的公式即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，综合性强，难度适中．
25.【答案】解：(1)当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
当y=0时，x=4，
∴A(4,0)，
∴AB= 2，AC=4 2，BC= 34，
∴BC2=AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°；
(2)设E(t,−t+4)，
∴AE= 2|4−t|，
当∠EBA=∠ACB时，△ABC∽△BEA，
∴ABBE=BCAE=ACAB，
∴ 2 2|t−4|=4 2 2，
解得t=154或t=174，
∴E(154,14)或(174,−14)；
当∠BEA=∠BCA时，C点与E点关于A点对称，
∴E(8,−4)；
综上所述：E点坐标为(154,14)或(174,−14)或(8,−4)；
(3)设经过A、E、O三点的圆的圆心为M，
∵M点在OA的垂直平分线上，
∴M点横坐标为2，
设M(2,m)，E(t,−t+4)，
∴AM=ME，
∴4+m2=(t−2)2+(m+t−4)2，
整理得m=2−t，
∵F点与E点关于M点对称，
∴F(4−t,−t)，
∴AE= 2(4−t)，AF= 2t，
∴S=12× 2t× 2(4−t)=−t2+4t=−(t−2)2+4，
当t=2时，△AEF的面积有最大值为4，此时F(2,−2)．
【解析】(1)利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形即可；
(2)设E(t,−t+4)，则AE= 2|4−t|，当∠EBA=∠ACB时，△ABC∽△BEA，利用相似比可求E(154,14)或(174,−14)；当∠BEA=∠BCA时，C点与E点关于A点对称，可求E(8,−4)；
(3)设经过A、E、O三点的圆的圆心为M，设M(2,m)，E(t,−t+4)，根据AM=ME，可得m=2−t，再由F点与E点关于M点对称，求出F(4−t,−t)，则S=−(t−2)2+4，当t=2时，△AEF的面积有最大值为4，此时F(2,−2)．
本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理及逆定理，三角形外接圆的性质是解题的关键．