2023-2024学年云南省红河州开远一中高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省红河州开远一中高二（下）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足(2−i)z=2，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|(x−1)(x+2)≥0}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1,2,3}B. {0,1,2,3}C. {1,2,3}D. {2,3}
3.已知直线x−y+1=0与圆x2+y2−4x−2y+m=0交于A，B两点，且|AB|=2 2，则实数m=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm，6cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为( )
A. 1483cm3B. 74cm3C. 148cm3D. 298cm3
5.已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则sina7=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
6.我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为( )
A. 47B. 328C. 1112D. 356
7.若f(x)=(x+a)ln2x−12x+1为偶函数，则a=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
8.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上除顶点外的一点，|PF1|=3|PF2|，且∠F1PF2>60°，则C的离心率的取值范围是( )
A. ( 72,2)B. ( 72,3)C. (1,2)D. ( 3,3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件
B. 命题“∀x>0，ex−lnx>2”的否定为∃x≤0，ex−lnx≤2”
C. 若cs2α+sin2β=1，则α=β
D. y=lg2(−x2+14)的最大值为−2
10.已知a>0，b>0，a+2b=1，则( )
A. 2a+3b的最小值为8+4 3B. ab的最小值为18
C. a2+b2的最小值为15D. 2a+4b的最小值为2 2
11.设函数f(x)=sinxcsx+ 3cs2x− 32，给出下列命题，正确的是( )
A. f(x)的图象关于点(π3,0)对称
B. 若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x1−x2|min=π
C. 把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象
D. 在(0,2π)内使f(x)=12的所有x的和为133π
12.已知函数f(x)=e|x|x2，则( )
A. f(x)为偶函数
B. f(x)的最小值为e24
C. 函数g(x)=f(x)−a(a>e24)有两个零点
D. 直线ex+y−2e=0是曲线y=f(x)的切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a，b是非零向量|a|=1，|b|= 2，(a+b)⊥a，则|a−b|= ______．
14.我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩X～N(105,σ2)，统计结果显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的70%，则此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生有______人.
15.(1x+2)(x−1)5的展开式中x3的系数为______(用数字作答)．
16.三棱锥P−ABC内接于球O，球O的表面积是24π，∠BAC=π3，BC=4，则三棱锥P−ABC的最大体积是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
△ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=2x2−x的图象上．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)令bn=1 an+ an+1，求数列(bn)的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
某校高三1000名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的一模考试数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(3)从一模数学成绩位于[90,110)，[110,130)的学生中采用分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，该2人中一模数学成绩在区间[90,110)的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
20.(本小题12分)
如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC= 2，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
(Ⅰ)若M是侧棱PB中点，求证：CM/​/平面PAD；
(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为12，且经过点A(−2,0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(32,0)且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：直线AM与直线AN的斜率之积为定值．
22.(本小题12分)
设函数f(x)=lnx+a(1−x)．
(1)当a=−1时，求曲线在(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论：f(x)的单调性；
(3)当f(x)有最大值，且最大值大于2a−2时，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=22−i=2(2+i)(2−i)(2+i)=4+2i4−i2=4+2i5，
故z在复平面内对应的点坐标为(45,25)，位于第一象限．
故选：A．
利用复数的除法法则得到z=4+2i5，得到z在复平面内对应的点坐标，得到答案．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为集合A={−1,0,1,2,3}，
B={x|(x−1)(x+2)≥0}={x|x≤−2或x≥1}，
所以A∩B={1,2,3}．
故选：C．
化简集合B，根据交集的定义运算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，圆x2+y2−4x−2y+m=0即圆(x−2)2+(y−1)2=5−m，
圆心为C(2,1)，半径r= 5−m(m<5)，
设C到直线x−y+1=0的距离为d，则|AB|=2 r2−d2=2 2，
即2 5−m−d2=2 2，解得d= 3−m，所以|2−1+1| 2= 3−m，解得m=1．
故选：D．
根据题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式加以求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及其应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意可得该香料收纳罐的容积为：
13×(82+62+ 82×62)×3=148．
故选：C．
根据台体的体积公式计算即可求解．
本题考查台体的体积的求解，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，数列{an}为等差数列，若a1+a7+a13=4π，
而a1+a13=2a7，则a7=4π3，
故sina7=sin4π3=− 32．
故选：D．
根据题意，由等差数列的性质求出a7的值，进而计算可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差中项的性质，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：在这8个数中任取3个数共有C83=56种取法，
能组成勾股定理关系的有(3,4,5)，(6,8,10)，(5,12,13)，共3组，
∴这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为P=356．
故选：D．
列举出能组成勾股定理关系组数，结合组合知识求概率．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由2x−12x+1>0，得x>12或x<−12，
由f(x)是偶函数，
∴f(−x)=f(x)，
得(−x+a)ln−2x−1−2x+1=(x+a)ln2x−12x+1，
即(−x+a)ln2x+12x−1=(−x+a)ln(2x−12x+1)−1=(x−a)ln2x−12x+1=(x+a)ln2x−12x+1，
∴x−a=x+a，得−a=a，
得a=0．
故选：B．
求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的定义建立方程，利用对数的运算法则进行化简是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：设|PF2|=m(m>0)，|PF1|=3m，∠F1PF2=θ，
显然60°<θ<180°，
则|F1F2|= m2+9m2−2×m×3m×csθ= 10m2−6m2csθ=m 10−6csθ，
所以C的离心率e=ca=2c2a=|F1F2||PF1|−|PF2|= 10−6csθ2，
由于60°<θ<180°，
所以csθ∈(−1,12)，所以 10−6csθ2的取值范围是( 72,2)．
故选：A．
设出|PF2|=m(m>0)，|PF1|=3m，∠F1PF2=θ，根据题意有60°<θ<180°，利用余弦定理表示出|F1F2|,e= 10−6csθ2，结合60°<θ<180°，求出离心率的取值范围．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由题意，A项，充分性：当a=1>b=−2时，a2必要性：当a2>b2时，a可以取−2，b可以取1，此时a故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，A正确；
B项，命题“∀x>0，ex−lnx>2”的否定为∃x0>0,ex0−lnx0≤2”，故错误；
C项，若cs2α+sin2β=1，则α=kπ±β(k∈Z)，故错误；
D项，在y=lg2x中函数单调递增，则当函数y=−x2+14最大时，函数y=lg2(−x2+14)的值最大，此时x=0，y=lg2(0+14)=−2，D正确．
故选：AD．
结合不等式的性质检验选项A；结合含有量词的命题的否定检验选项B；结合同角基本关系检验选项C；结合对数函数及二次函数的性质检验选项D．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：A：(2a+3b)⋅(a+2b)=2+4ba+3ab+6≥8+2 4ba3ab=8+4 3，
当且仅当4ba=3ab，即a= 3−12,b=3− 34取等号，故A正确；
B：a+2b=1≥2 a⋅2b⇒ ab≤12 2⇒ab≤18，
当且仅当a=2b=12时等号成立，故B错误；
C：a2+b2=(1−2b)2+b2=5b2−4b+1=5(b−25)2+15≥15，
当b=25,a=15时取等号，故C正确；
D：2a+4b≥2 2a×4b=2 2a+2b=2 2，
当且仅当2a=4b，即a=12,b=14时等号成立，故D正确．
故选：ACD．
根据基本不等式即可求解BD，由乘“1”法即可求解A，代换后利用二次函数的性质即可求解C．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：f(x)=12sin2x+ 32cs2x=sin(2x+π3)，
对于A：当x=π3时，f(x)=0，经检验(π3,0)是它的一个对称中心，故A正确；
对于B：若|f(x1)−f(x2)|=2，
则f(x1)和f(x2)一个为函数f(x)的最大值，一个为最小值，
可得|x1−x2|min=T2=π2，故B错误；
对于C：f(x)的图象向左平移π12个单位长度得到g(x)=cs2x，
由于g(x)为偶函数，故C正确；
对于D：令t=2x+π3，
因为x∈(0,2π)，
所以t∈(π3,13π3)，
sint=12在t∈(π3,13π3)的根分别为：t1=5π6，t2=13π6，t3=17π6，t4=25π6，
则有x1=π4，x2=11π12，x3=5π4，x4=23π12，
在(0,2π)内使f(x)=12的所有x的和为：x1+x2+x3+x4=13π3，故D正确．
故选：ACD．
对原函数使用辅助角公式，对于A选项，根据对称中心的定义即可；对于B选项，f(x1)和f(x2)一个为函数f(x)的最大值，一个为最小值即可求解；对于C选项，求出g(x)，根据偶函数的定义即可；对于D选项，令t=2x+π3，求出sint=12在t∈(π3,13π3)的根即可．
本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的图象变换以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：A项：函数f(x)的定义域为(−∞,0)⋃(0,+∞)，且f(−x)=e|−x|(−x)2=e|x|x2=f(x)，
故函数f(x)为偶函数，A正确；
B项：由A项可得f(x)为偶函数，
则f(x)在区间(−∞,0)与(0,+∞)的最值相等，
偶函数图象关于y轴对称，故对称轴任意一侧最值即为函数的最值．
故只需求f(x)在区间(0,+∞)的最值即可．
当x>0时，f(x)=exx2，f′(x)=ex(x−2)x3，
所以当0当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故f(x)在x=2时取得最小值，
所以f(x)的最小值为f(2)=e24，B正确；
C项：由A，B项可得，f(x)为偶函数，
当x>0时，f(x)在区间(0,2)单调递减，在区间(2,+∞)单调递增，且最小值为e24，
又x→0+时，f(x)→+∞，x→+∞时，f(x)→+∞，
所以f(x)的大致图象如图所示，
所以函数g(x)有四个零点，C错误；
D项：当x>0时，设切点为(x0,y0)，
由f′(x)=ex(x−2)x3可得切线斜率k=ex0(x0−2)x03，
若直线ex+y−2e=0与曲线y=f(x)相切，
则ex0(x0−2)x03=−e，解得x0=1，
则切点坐标为(1,e)，
故切线方程为ex+y−2e=0，D正确．
故选：ABD．
求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义判断选项A；根据函数的奇偶性，判断函数在(0,+∞)的最值即可判断选项B；根据函数的奇偶性和单调性，作出函数的图象即可判断选项C；利用导数的几何意义判断选项D．
本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】 5
【解析】解：因为|a|=1，|b|= 2，(a+b)⊥a，
所以(a+b)⋅a=a2+a⋅b=1+a⋅b=0，即a⋅b=−1，
所以|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 1−2×(−1)+2= 5．
故答案为： 5．
根据向量垂直的表示以及模的计算方法求解即可．
本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
14.【答案】640
【解析】解：由于正态分布曲线的对称轴为105，故P(X≥105)=0.5，
由题意可知P(X>80)=P(105>X>80)+P(X≥105)=70%，
∴P(105>X>80)=0.2，
根据对称性可得P(130>X>80)=2P(105>X>80)=2×0.2=0.4，
所以数学成绩在80分到130分之间的学生有1600×0.4=640．
故答案为：640．
根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
15.【答案】15
【解析】解：根据(x−1)5的展开式Tr+1=C5r⋅(−1)r⋅x5−r(r=0,1,2,3,4,5)，
①当与1x配对，r=1时，x3的系数为C51⋅(−1)=−5；
②当与2配对，r=2，x3的系数为2C52=20；
故x3的系数为20−5=15．
故答案为：15．
直接利用二项式的展开式及组合数的应用求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】16 23
【解析】解：设球的半径为R，球心为O，如图所示，
∵球O的表面积是24π，∴4πR2=24π，解得R= 6．
设△ABC的外心为O1，外接圆的半径为r，则O1B=r=12×4sinπ3=4 3，
∴OO1= OB2−O1B2= 63．
∴O1P= 6+ 63=4 63．
在△ABC中，由余弦定理可得：42=b2+c2−2bccsπ3，
化为b2+c2=bc+16≥2bc，∴bc≤16，当且仅当b=c=4时取等号．
∴三棱锥P−ABC的体积V=13×S△ABC×O1P=13×12bcsinπ3×4 63≤2 69× 32×16=16 23，
故答案为：16 23．
设球的半径为R，球心为O，如图所示，由球O的表面积是24π，可得4πR2=24π，解得R.设△ABC的外心为O1，外接圆的半径为r，则O1B=r=12×4sinπ3，可得OO1= OB2−O1B2.可得O1P= 6+ 63.在△ABC中，由余弦定理可得：42=b2+c2−2bccsπ3，利用基本不等式的性质可得bc≤16，利用三棱锥P−ABC的体积V=13×S△ABC×O1P，即可得出．
本题考查了三棱锥外接球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，
由正弦定理可得a2−b2−c2=bc，
即为b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，
由0(2)由题意可得a=3，
又B+C=π3，可设B=π6−θ，C=π6+θ，−π6<θ<π6，
由正弦定理可得3sin2π3=bsinB=csinC=2 3，
可得b=2 3sin(π6−θ)，c=2 3sin(π6+θ)，
则△ABC周长为a+b+c=3+2 3[sin(π6−θ)+sin(π6+θ)]
=3+2 3(12csθ− 32sinθ+12csθ+ 32sinθ)，
=3+2 3csθ，
当θ=0，即B=C=π6时，△ABC的周长取得最大值3+2 3．
【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角恒等变换和三角函数的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
(1)运用正弦定理得到a2−b2−c2=bc，再利用余弦定理可得所求角；
(2)可设B=π6−θ，C=π6+θ，−π6<θ<π6，运用正弦定理和三角恒等变换，将周长转化为关于θ的函数，结合余弦函数的性质，可得周长的最大值．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵点(n,Sn)(n∈N*)均在二次函数y=2x2−x的图象上，
∴Sn=2n2−n，
当n=1时，a1=1，
当n⩾2时，an=Sn−Sn−1=2n2−n−[2(n−1)2−(n−1)]=4n−3，
又a1=1=4×1−3
∴an=4n−3(n∈N*)．
(Ⅱ)∵bn=1 an+ an+1=1 4n−3+ 4n+1=14( 4n+1− 4n−3)，
∴Tn=b1+b2+b3⋯+bn=14[( 5− 1)+( 9− 5)+⋯+( 4n+1− 4n−3)]= 4n+1−14
=14( 4n+1−1)．
【解析】(Ⅰ)利用an与Sn的关系即可求解；
(Ⅱ)利用裂项法求和即可．
本题考查了an与Sn的关系，裂项法求和，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得，(0.0025+2a+0.0075+2×0.015)×20=1，解得a=0.0050．
(2)该1000名学生的数学成绩的平均分约为40×0.05+60×0.15+80×0.3+100×0.3+120×0.1+140×0.1=91．
(3)由(1)得，一模数学成绩在区间[90,110)与[110,130)的人数之比为3：1，
所以抽取的8人中数学成绩在区间[90,110)内的有33+1×8=6人，数学成绩在区间[110,130)内的有8−6=2人，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C60C22C82=128，P(X=1)=C61C21C82=37，P(X=2)=C62C20C82=1528，
所以X的分布列为：
E(X)=0×128+1×37+2×1528=32．
【解析】(1)利用频率分布直方图中频率之和等于1，列方程求解即可；
(2)根据平均数公式计算即可；
(3)求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，即可求得期望．
本题考查频率分布直方图及随机变量分布列，要求考生体会频率分布直方图在统计中的重要性及理解离散型随机变量的分布列．
20.【答案】证明：(1)在梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC= 2，AD⊥PB，
∴AB=2，PA=1，AD=1，
取PA的中点N，连接MN，AN，
则MN/​/AB/​/CD，且MN=CD=1，
则四边形MNDC为平行四边形，
则CM/​/DN，
∵CM⊄平面PAD，DN⊂平面PAD，
∴CM/​/平面PAD；
(2)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
面PAD∩面ABCD=AD，PA⊂面PAD
∴PA⊥面ABCD，
建立以A为坐标原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图：
则A(0,0,0)，D(1,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，
则PB=(0,2,−1)，DC=(0,1,0)，DP=(−1,0,1)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，
则由n⋅DC=y=0n⋅DP=−x+z=0，
令x=1，则z=1，
即n=(1,0,1)，
直线PB与平面PCD所成角的正弦值sinθ=|cs|=|n⋅PB|n||PB||=|−1 2× 5|=1 10= 1010．
【解析】(1)若M是侧棱PB中点，根据线面平行的判定定理即可证明CM/​/平面PAD； (2)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
本题主要考查线面平行的判定，以及直线和平面所成角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决线面所成角的常用方法．
21.【答案】解：(1)不妨设椭圆焦距为2c(c>0)，
因为椭圆E的离心率为12，
所以e=ca=12，①
因为椭圆E经过点A(−2,0)，
所以4a2=1，②
联立①②，
解得a=2，c=1，
则b= a2−c2= 3，
故椭圆E的方程为x24+y23=1；
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=32，
联立x=32x24+y23=1，
解得M(32, 214)，N(32,− 214)，
因为A(−2,0)，
所以kAM= 21432−(−2)= 2114，kAN=− 21432−(−2)=−2114，
则kAM⋅kAN= 2114⋅(− 2114)=−328；
当直线l的斜率存在时，
不妨设直线l的方程为y=k(x−32)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=k(x−32)x24+y23=1，消去y并整理得(3+4k2)x2−12k2x+9k2−12=0，
此时Δ=(−12k2)2−4(3+4k2)(9k2−12)=84k2+144>0，
由韦达定理得x1+x2=12k23+4k2，x1⋅x2=9k2−123+4k2，
所以kAM⋅kAN=y1x1−(−2)⋅y2x2−(−2)=k(x1−32)x1−(−2)⋅k(x1−32)x2−(−2)，
=k2[x1⋅x2−32(x1+x2)+94]x1⋅x2+2(x1+x2)+4，
因为x1+x2=12k23+4k2，x1⋅x2=9k2−123+4k2，
所以k2[x1⋅x2−32(x1+x2)+94]x1⋅x2+2(x1+x2)+4=k2(9k2−123+4k2−32⋅12k23+4k2+94)9k2−123+4k2+2⋅12k23+4k2+4=−328．
综上所述，直线AM与直线AN的斜率之积为−328．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
(2)对直线l的斜率是否存在进行讨论，当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程和M，N的坐标，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率公式再进行求证即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
22.【答案】解：(1)当a=−1时，f(x)=lnx−(1−x)=lnx+x−1，
所以f(1)=0，f′(x)=1x+1，
所以f′(1)=2，
故曲线在(1,f(1))处的切线方程为y=2(x−1)．
(2)由f(x)=lnx+a(1−x)，知f′(x)=1x−a，定义域为(0,+∞)，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)>0，则01a，f(x)在(1a,+∞)上单调递减；
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减．
(3)由(2)知，若f(x)有最大值，则a>0，且f(x)max=f(1a)=ln1a+a(1−1a)=−lna+a−1，
因为f(x)的最大值大于2a−2，
所以−lna+a−1>2a−2，即a+lna−1<0在a∈(0,+∞)上恒成立，
设g(a)=a+lna−1，问题转化为g(a)<0在a∈(0,+∞)上恒成立，
因为g′(a)=1+1a>0恒成立，所以g(a)在(0,+∞)上单调递增，
又g(1)=1+ln1−1=0，所以g(a)<0=g(1)，所以0故a的取值范围为(0,1)．
【解析】(1)将a=−1代入f(x)的解析式，求导，并分别计算f(1)和f′(1)的值，再由点斜式写出切线方程，即可；
(2)求导得f′(x)=1x−a，定义域为(0,+∞)，分a≤0和a>0两种情况，讨论f′(x)与0的大小关系，即可得解；
(3)结合(2)中所得，可知a>0，且f(x)max=f(1a)，再构造函数g(a)=a+lna−1，由g(a)<0在a∈(0,+∞)上恒成立，即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，切线方程等，理解函数的单调性与导数之间的联系是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．X
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