2023-2024学年湖南师大附中高一（下）入学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南师大附中高一（下）入学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=M∪N={x∈N|0⩽x⩽10}，M∩(∁UN)={1,3,5,7}，则集合N=( )
A. {x|0⩽x⩽10}B. {x∈N|0⩽x⩽10}
C. {0,2,4,6,8,9,10}D. {0,2,4,6,8,10}
2.若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的( )
A. 必要不充分条件B. 充要条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.为了得到函数y=csx5，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y=csx，x∈R上所有的点的( )
A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D. 纵坐标伸长到原来的15倍，横坐标不变
4.函数f(x)=(x−1)ln|x|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知实数a，b，满足(a−1)3+(b−1)3≥2−a−b恒成立，则a+b的最小值为( )
A. 2B. 1C. 14D. 4
6.已知cs(π2+α)=45，且|α|<π2，则sin2α1+cs2α=( )
A. 43B. 34C. −34D. −43
7.已知函数f(x)=lg( x2+1+x)，正实数a，b满足f(2a−2)+f(b)=0，则aba+2b的最大值为( )
A. 49B. 29C. 15D. 14
8.已知5−a=lna，b=lg43+lg917，7b+24b=25c，则以下关于a，b，c的大小关系正确的是( )
A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则( )
A. c2bdD. ca>db
10.已知函数f(x)=|2x−a|−kx−3，给出下列四个结论，其中正确的有( )
A. 若a=1，则函数f(x)至少有一个零点
B. 存在实数a，k，使得函数f(x)无零点
C. 若a>0，则不存在实数k，使得函数f(x)有三个零点
D. 对任意实数a，总存在实数k使得函数f(x)有两个零点
11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.已知某港口水深f(t)(单位：m)与时间t(单位：h)从0～24时的关系可近似地用函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)来表示，函数f(t)的图象如图所示，则( )
A. f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)
B. 函数f(t)的图象关于点(12,0)对称
C. 当t=5时，水深度达到6.5m
D. 已知函数g(t)的定义域为[0,6]，g(2t)=f(2t)−n有2个零点t1，t2，则tanπt1+t2= 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为______．
13.若θ∈(0,π2),tanθ=12，则sinθ−csθ= ______．
14.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|1≤3x≤27}，B={x|lg2x>1}．
(Ⅰ)求(∁RB)∪A；
(Ⅱ)已知集合C={x|1−a16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sinxcs(x+π4)+ 24．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(θ2−5π24)=−114，θ∈(0,π2)，求csθ的值．
17.(本小题15分)
如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下d则为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π2<φ<π2).
(1)求A，ω，φ，K的值；
(2)求盛水筒W出水后至少经过多长时间就可到达最高点？
(3)某时刻t0(单位：分钟)时，盛水筒W在过点O的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过π6分钟后，盛水筒W是否在水中？
18.(本小题17分)
若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1)判断函数g(x)=sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)已知函数h(x)=(x−a)2(a⩾43)在定义域[43,4]上为“依赖函数”，若存在实数x∈[43,4]，使得对任意的t∈R，不等式h(x)⩾−t2+(s−t)x+4都成立，求实数s的最大值．
19.(本小题17分)
已知e是自然对数的底数，f(x)=ex+1ex．
(1)判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性并证明你的判断是正确的;
(2)记g(x)=ln{(3−a)[f(x)−e−x]+1}−ln3a−2x，若g(x)≤0对任意的x∈[0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：全集U=M∪N={x∈N|0⩽x⩽10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
M∩(∁UN)={1,3,5,7}，
∴集合N中不包含1，3，5，7，
∴N={0,2,4,6,8,9,10]．
故选：C．
利用交集、并集、补集定义进行求解．
本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若f(0)=0，
则f(−x)=−f(x)不一定成立，所以y=f(x)不一定是奇函数．比如f(x)=|x|，
若y=f(x)为奇函数，则定义域关于原点对称，
∵f(x)是定义在R上的函数．
∴f(0)=0，
即“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件，
故选：A．
利用奇函数的定义，结合充分条件和必要条件进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用奇函数的定义和性质是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，由横坐标伸缩变换，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：将函数y=csx图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y=cs15x的图象．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】解：由f(x)=0，可得x−1=0或ln|x|=0，
解得x=±1，可排除选项B；
当00，可排除选项D；
由f(−2)=−3ln3<0，可排除选项C．
故选：A．
求得f(x)的零点，以及f(−2)的符号和0本题考查函数的图象的判断，运用排除法是迅速解题的关键，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为(a−1)3+(b−1)3≥2−a−b，
所以(a−1)3+(a−1)≥(1−b)3+1−b，
令f(x)=x3+x，则有f(a−1)≥f(1−b)，
易知函数f(x)=x3+x单调递增，
所以a−1≥1−b，即a+b≥2．
故选：A．
化简可得(a−1)3+(a−1)≥(1−b)3+1−b，再根据函数f(x)=x3+x单调递增判断即可．
本题考查了函数的单调性、转化思想，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵cs(π2+α)=−sinα=45，且|α|<π2，
∴sinα=−45，csα= 1−sin2α=35，
∴sin2α1+cs2α=2sinαcsα2cs2α=sinαcsα=−43．
故选：D．
由已知利用诱导公式可求sinα的值，根据同角三角函数基本关系式可求csα的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：易知函数f(x)定义域为R，且∵f(−x)=lg[ (−x)2+1+(−x)]=lg( x2+1−x)
=lg1 x2+1+x=−lg( x2+1+x)=−f(x)，
∴f(x)=lg( x2+1+x)为R上的奇函数，有f(−x)+f(x)=0，
由复合函数的单调性可知f(x)单调递增，
由f(2a−2)+f(b)=0，得2a−2+b=0，即2a+b=2，
∵a，b为正实数，则有aba+2b=11b+2a，而(1b+2a)(2a+b)=5+2ab+2ba≥5+2 4=9，
当且仅当a=b即a=b=23时等号成立，所以1b+2a≥92，则aba+2b的最大值为29．
故选：B．
先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出2a+b=2，再结合基本不等式计算即可．
本题考查了奇函数的定义，对数的运算，奇函数单调性的判断，基本不等式求最值的方法，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由a+lna−5=0，令f(a)=a+lna−5，则f(a)在定义域内单调性递增，
且f(3)=3+ln3−5=ln3−2<0，f(4)=4+ln4−5=ln4−1>0，
由零点存在性定理可得3b=lg43+lg917=lg32lg2+lg172lg3≥2 lg32lg2⋅lg172lg3= lg17lg2= lg217> lg216=2，
又b=lg43+lg9177b+24b=25c>72+242=625，可得c>2，
7b+24b=25c，7b25b+24b25b=25c25b，
(725)b+(2425)b<(725)2+(2425)2=1，
所以25c25b<1，25c<25b，所以c所以c故选：D．
根据零点存在性定理可求解2本题主要考查对数的运算性质，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：因为a>b>0>c>d，
所以c2当a=2，b=1，c=−1，d=−2时，B，C显然错误；
因为a>b>0，d所以ab>0，bc>bd>ad，
ca−db=bc−adab>0，即ca>db，D正确．
故选：AD．
结合不等式的性质，利用比较法检验选项A，C，D，举出反例检验选项B即可判断．
本题主要考查了比较法的应用在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A：当a=1时，f(x)=|2x−1|−kx−3，令f(x)=0，得|2x−1|=kx+3，
在同一坐标系中作出y=|2x−1|，y=kx+3的图像，如图所示：
由图像及直线y=kx+3过定点(0,3)知函数f(x)至少有一个零点，故A正确；
B：当a=−4，k=0时，作出y=|2x+4|，y=3的图像，
由图像知，函数f(x)无零点；故B正确；
C：当a=6,k=−12时，在同一坐标系中作出y=|2x−6|,y=−12x+3的图像，如图所示：
由图像知：函数f(x)有三个零点，故C错误；
D：当a=0时，
当a<0时，
当a>0时，
由图像知：对任意实数a，总存在实数k使得函数f(x)有两个零点，故D正确．
故选：ABD．
在同一坐标系中作出y=|2x−a|，y=kx+3的图像，利用数形结合法求解．
本题主要考查函数的零点和方程根的关系，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由图知，T=2πω=15−3=12，
∴ω=π6，
又A+b=8−A+b=2，故A=3，B=5，
由”五点作图法“知，π6×3+φ=π2，解得φ=0．
故f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)，A正确；
又f(12)=5≠0，函数f(t)的图象不关于点(12,0)对称，B错误；
f(5)=3sin5π6+5=32+5=6.5，即当t=5时，水深度达到6.5m，C正确；
∵g(t)的定义域为[0,6]，
∴0≤2t≤6，解得0≤t≤3．
令g(2t)=f(2t)−n=0，得n=f(2t)=3sinπ3t+5．
∴n−53=sinπ3t(0≤t≤3)，
∵π3t∈[0,π]，t1，t2为g(2t)=f(2t)−n的2个零点，
∴π3t1+π3t2=π2×2=π，
∴t1+t2=3，
∴tanπt1+t2=tanπ3= 3，D正确．
故选：ACD．
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象可确定其解析式为f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)，再对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查转化与化归思想及综合运算能力，属于中档题．
12.【答案】1.2
【解析】解：由题意可得：L=144mm，R=120mm，
∵L=Rθ，
∴θ=LR=144120=1.2rad．
故答案为：1.2．
由弧长公式L=Rθ直接可以算出．
本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．
13.【答案】− 55
【解析】解：因为θ∈(0,π2)，则sinθ>0，csθ>0，
又因为tanθ=sinθcsθ=12，则csθ=2sinθ，
且cs2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，
解得sinθ= 55或sinθ=− 55(舍去)，
所以sinθ−csθ=sinθ−2sinθ=−sinθ=− 55．
故答案为：− 55．
根据同角三角关系求sinθ，进而可得结果．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
14.【答案】45°
【解析】解：设AQ=x，AP=y，则DQ=1−x，PB=1−y，(0则tan∠DCQ=DQDC=1−x，tan∠BCP=1−y，tan(∠DCQ+∠BCP)=(1−x)+(1−y)1−(1−x)(1−y)=2−(x+y)x+y−xy ①．
在Rt△APQ中，PQ2=AQ2+AP2=x2+y2，又PQ=2−(x+y)，∴(2−x−y)2=x2+y2，即xy=2(x+y)−2 ②．
把②代入①可得tan(∠DCQ+∠BCP)=1，∴∠DCQ+∠BCP=45°，∴∠PCQ=45°．
故答案为：45°．
设AQ=x，AP=y，利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DCQ=DQDC=1−x，tan∠BCP=1−y，再由两角和的正切公式求得tan(∠DCQ+∠BCP)=1，可得∠DCQ+∠BCP=45°，从而求得∠PCQ=45°．
本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式的应用，属中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)集合A={x|1≤3x≤27}={x|0≤x≤3}，
B={x|lg2x>1}={x|x>2}，
∴∁UB={x|x≤2}，
∴(∁RB)∪A={x|x≤3}．
(Ⅱ)当C=⌀时，1−a≥1+a，即当a≤0时，C⊆A成立，
当C≠⌀时，要使C⊆A，则1−a<1+a1−a≥01+a≤3，解得0综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤1}．
【解析】(Ⅰ)求出集合A，B，进而求出∁UB，由此能求出(∁RB)∪A．
(Ⅱ)当C=⌀时，1−a≥1+a，当C≠⌀时，要使C⊆A，则1−a<1+a1−a≥01+a≤3，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查集合的运算，考查补集、并集、子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)f(x)=sinxcs(x+π4)+ 24
=sinx⋅(csxcsπ4−sinxsinπ4)+ 24
= 24sin2x− 22×1−cs2x2+ 24
=12( 22sin2x+ 22cs2x)
=12sin(2x+π4)，
故T=2π2=π；
(2)若f(θ2−5π24)=−114，
则12sin(θ−π6)=−114，即sin(θ−π6)=−17，
θ∈(0,π2)，
则θ−π6∈(−π6,π3)，
sin(θ−π6)=−17<0，
则θ−π6∈(−π6,0)，
所以cs(θ−π6)= 1−sin2(θ−π6)=4 37，
所以csθ=cs(θ−π6+π6)=cs(θ−π6)csπ6−sin(θ−π6)sinπ6=4 37× 32−(−17)×12=1314．
【解析】(1)根据已知条件，结合三角恒等变换公式，以及周期公式，即可求解；
(2)结合三角函数的同角公式，以及余弦的两角和公式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意，d=Asin(ωt+φ)+K，
由图可知d的最大值为6，最小值为−2，即A+K=6−A+K=−2，解得A=4，K=2，
∵每π分钟转1圈，
∴函数的周期为T=2πω=π，可得ω=2，可得d=4sin(2t+φ)+2，
∵依题意，可知当t=0时，d=0，即0=4sinφ+2，可得sinφ=−12，
由−π2<φ<π2，可得φ=−π6．
(2)由(1)可得d=4sin(2t−π6)+2，
令6=4sin(2t−π6)+2，得sin(2t−π6)=1，取2t−π6=π2，解得t=π3，
故经过π3分钟后盛水筒W出水后就可到达最高点．
(3)由题意，5=4sin(2t0−π6)+2，
可得sin(2t0−π6)=34，可得cs(2t0−π6)=− 74或 74(舍去)，
所以sin[2(t0+π6)−π6]=sin[(2t0−π6)+π3]=34×12+(− 74)× 32=3− 218，
所以再经过π6分钟，可得d=4×3− 218+2=7− 212>0，
故盛水筒不在水中．
【解析】(1)由图可知d的最大值为6，最小值为−2，由A+K=6−A+K=−2，解得A，K的值，求得函数的周期，利用周期公式可求ω，依题意，可知当t=0时，d=0，可得sinφ=−12，结合−π2<φ<π2，可得φ的值．
(2)令6=4sin(2t−π6)+2，得sin(2t−π6)=1，求解t的值即可得解．
(3)由题意，5=4sin(2t0−π6)+2，可得cs(2t0−π6)，利用两角和的正弦公式可求sin[2(t0+π6)−π6]的值，即可计算得解．
本题考查三角函数的应用，考查用三角函数解决一些简单实际问题，考查函数y=Asin(ωx+φ)+k的实际意义，属于拔高题．
18.【答案】解：(1)对于函数g(x)=sinx的定义域R内存在x1=π6，而g(x2)=2无解，故g(x)=sinx不是“依赖函数”．
(2)(1)若43≤a≤4，故h(x)=(x−a)2，
在[43,4]上最小值为0，此时不存在x2，舍去；
(2)若a>4，故h(x)=(x−a)2′在[43,4]上单调递减，
从而h(43)h(4)=1，解得a=1(舍)或a=133．
从而存在x∈[43,4]使得对任意的t∈R，有不等式(x−133)2≥−t2+(s−t)x+4都成立，即t2+xt+x2−(s+263)x+1339≥0对t∈R恒成立，则Δ=x2−4[x2−(s+263)x+1339]≤0，得4(s+263)x≤3x2+5329，
由存在x∈[43,4]，使4(s+263)≤3x+5329x能成立，
又y=3x+5329x在x∈[43,4]单调递减，故当x=43时，(3x+5329x)max=1453，
从而4(s+263)≤1453，解得s≤4112，
综上，故实数s的最大值为4112．
【解析】(1)由依赖函数的定义举例子判断即可；
(2)分类讨论解决函数不等式h(x)≥−t2+(s−t)x+4恒成立的问题，分离参数4(s+263)≤3x+5329x，转化为求函数y=3x+5329x在x∈[43,4]的最小值问题即可．
本题主要考查函数的恒成立，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈[0,+∞)，且x1∴f(x1)−f(x2)=(ex1+1ex1)−(ex2+1ex2)=(ex1−ex2)+(1ex1−1ex2)=(ex1−ex2)(1−1ex1ex2)，
∵x1，x2∈[0,+∞)，且x1ex1≥1，
∴ex1−ex2<0，ex1ex2>1，1−1ex1ex2>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[0,+∞)上单调递增．
(2)g(x)=ln[(3−a)ex+1]−ln3a−2x，
问题即为ln[(3−a)ex+1]≤ln3a+2x恒成立，由题意a>0，
首先(3−a)ex+1>0即任意x∈[0,+∞)成立，即a<1ex+3a>0，
∵x∈[0,+∞)，则3<1ex+3≤4，∴0其次，ln[(3−a)ex+1]≤ln3a+2x，即为(3−a)ex+1≤3ae2x，
即3ae2x+(a−3)ex−1≥0成立，亦即(3ex+1)(aex−1)≥0成立，
∵3ex+1>0，∴aex−1≥0对于任意x∈[0,+∞)成立，
即a≥(1ex)max，∴a≥1．
综上，实数a的取值范围是[1,3]．
【解析】(1)根据函数单调性的定义，任取x1，x2∈[0,+∞)，且x1(2)将g(x)≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立，转化为ln[(3−a)ex+1]≤ln3a+2x恒成立，即可求出a的取值范围．
本题考查函数的单调性、函数恒成立等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．