上海市金山中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份上海市金山中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了已知集合，集合，则______，已知，则______，函数的导函数______等内容，欢迎下载使用。
2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，集合，则______.
2.已知，则______.
3.函数的导函数______.
4.已知直线和，若，则______.
5.已知为无穷等比数列，，，则的公比为______.
6.已知向量满足，与的夹角为，若，则______.
7.已知事件A与事件B互斥，若，则______.
8.在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为______.
9.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是______.
10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直轴的直线与交于，两点，且，若圆与的一条渐近线交于，两点，则______.
11.已知圆，点在抛物线上运动，过点引圆的切线，切点分别为，，则的取值范围为______.
12.棱长为的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为______
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ）
A.且 B.且
C.且 D.且
15．已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题：
①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；
②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．
则说法正确的选项是（ ）
A．命题①和②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题
C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①和②均为假命题
16.设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是
①可能为等差数列；②可能为等比数列；
③均能写成的两项之差；
④对任意，，总存在，，使得．
A．①③B．①④C．②③D．②④
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图, 在四棱锥 中, 已知 底面 , 底面 是正方形, .
(1) 求证: 直线 平面 ;
(2) 求直线 与平面 所成的角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知公差为正数的等差数列满足，，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前项和的最大正整数．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
图①是某中学的校门，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形．点在平面和上的射影分别为已知米，米，梯形的面积是面积的4倍．
（1）求屋顶面积关于的函数关系式；
（3）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．假设校门的总高度为，试问：当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低？
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，直线：与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点．
（1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长；
（2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值．
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知，其中.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值；
（3）当时，设，数列满足且，证明：.
2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期
3月月考数学试卷答案解析
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，集合，则______.
【答案】
【解析】
2.已知，则______.
【答案】
【解析】
3.函数的导函数______.
【答案】
【解析】
4.已知直线和，若，则______.
【答案】2
【解析】直线和，，
则，解得
5.已知为无穷等比数列，，，则的公比为______.
【答案】
【解析】因为无穷等比数列，，
则，，
又，
所以，
解得或（舍
6.已知向量满足，与的夹角为，若，则______.
【答案】
【解析】由题意得
7.已知事件A与事件B互斥，若，则______.
【答案】
【解析】
8.在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为______.
【答案】3
【解析】由余弦定理得：，
即，
所以，
所以
9.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是______.
【答案】
【解析】连续抛两次骰子得到的点数分别是，，
基本事件总数为，
其中点在直线上包含的基本事件有，，，，，其5个，
则点在直线上的概率是．
10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直轴的直线与交于，两点，且，若圆与的一条渐近线交于，两点，则______.
【答案】
【解析】设，
令，可得，即有，
可得，
解得，即有，
所以渐近线方程为，
由对称性，不妨取进行计算，
由圆心到直线的距离，
可得弦长
11.已知圆，点在抛物线上运动，过点引圆的切线，切点分别为，，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】依题意，圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点为，画出圆和抛物线的图象如下图所示，
设，，则，
，切线长，
由得，则，
垂直平分弦，则，
即
，
又，则，即，
则，则，
即，
所以的取值范围是
12.棱长为的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为 ______
【答案】
【解析】若水面至少与2条棱平行，且这两条棱不共面，即两条棱为对棱时，
如图所示，
若水面平行与，，不妨取特殊情况讨论，
记，，，中点分别为，，，，则，则四边形为平行四边形，
即水面形状为平行四边形，不符合题意；
则水面至少平行的2条棱相交共面，不妨设水面为，下求正四面体体积，
如图所示，
即中点为，连接，设平面，则是三等分点，
因为正四面体棱长为10，所以，
，
则，
所以，
如下图所示，正四面体容器倒放时，棱锥部分为水体部分，
设，
则，则，则，
所以水面面积；
如下图所示，正四面体容器正放时，棱台部分为水体部分，
设，
则，则，水面面积更大，不符合．
综上，水面面积的最小值为
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：．
14.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ）
A.且 B.且
C.且 D.且
【答案】B
【解析】对于A，且，则，故A不符合题意
对于B，一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，故B符合题意
对于C，且，则或或与相交，故不符合题意
对于D，且，则或或与相交，故D不符合题意
故选B
15．已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题：
①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；
②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．
则说法正确的选项是（ ）
A．命题①和②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题
C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①和②均为假命题
【答案】B
【解析】根据题意
对于①，若为奇函数且在定义域内可导，函数的图像关于原点对称，则其图像任意一点的切线斜率必定关于轴对称，即其导函数必为偶函数
反之，若为偶函数，则不一定为奇函数，如，其导函数为偶函数，故“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件，①是真命题；
对于②，若为严格增函数，但不一定严格增函数，，其导数，故“为严格增函数”不是“为严格增函数”的必要非充分条件，②是假命题， 故选B
16.设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是
①可能为等差数列；②可能为等比数列；
③均能写成的两项之差；
④对任意，，总存在，，使得．
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【解析】对于①，当数列为等差数列时，不妨令，所以其前项和为，
又因为必为偶数，所以必为整数，所以存在正整数，使得，故①正确；
对于②，若数列为等比数列，设其公比为，则当时，显然不满足要求；
当时，由题意可得：，，即，
，
两式相除得：．
若，则当为奇数时，，所以，
所以．
当充分大时，显然不成立；
若，则，，，
因为，所以当充分大时，可以使得，故不成立，故②不正确；
对于③，取，则，所以，
当时，，故③正确；
对于④，取数列，显然不存在，使得，故④不正确．
故选：．
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图, 在四棱锥 中, 已知 底面 , 底面 是正方形, .
(1) 求证: 直线 平面 ;
(2) 求直线 与平面 所成的角的大小.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)证明：因为平面，且平面，
所以在正方形中，，
而，故平面.
（2）以为坐标原点，分别以、、为、、 轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，从而，，，设平面的法向量为，，令，则，
设直线与平面所成的角为，则，
故与平面的所成角大小为.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知公差为正数的等差数列满足，，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前项和的最大正整数．
【答案】（1）；（2）5
【解析】
（1）等差数列的公差为，，，，，成等比数列．
，
故．
（2）由（1）知：，，则数列的首项、公比为3，
所以，则，
所以且，而，所以，
故最大正整数为5．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
图①是某中学的校门，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形．点在平面和上的射影分别为已知米，米，梯形的面积是面积的4倍．
（1）求屋顶面积关于的函数关系式；
（3）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．假设校门的总高度为，试问：当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低？
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意平面，．
又平面，．
在中，
因此的面积为．
则屋顶面积．
屋顶面积关于的函数关系式；
（2）在中，，主体高度为．
校门总造价为
令，则
令，得，又，所以
列表
所以当时，有最小值
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，直线：与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点．
（1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长；
（2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为3；（3），面积的最大值为1
【解析】（1）当时，椭圆，的周长为；
（2）当时，联立，消去y得：
设M(x1，y1)，N (x2，y2)，则，
由，，且点的横坐标为0，
得，. 从而，
=
，
为定值3；
（3）由题意得椭圆方程,联立，
消元得，
当△，即时，
则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时
，
又点到直线的距离，
，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时△成立，面积的最大值为1．
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知，其中.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值；
（3）当时，设，数列满足且，证明：.
【答案】（1）2；（2）1；（3）见解析
【解析】（1），由，得.
（2），
两异号实根，设为其正根，
则在上，在上，
即在上为严格减函数，
在上为严格增函数，
故，
的最小值，
令，
在上为严格增函数；在上为严格减函数，
的最大值在处取到，故，
综上：，的最大值为1.
（3）证明：，
在上为严格减函数，
在上为严格增函数，
所以，
又，所以，同理，
令，则对任意恒成立，故在上为严格减函数，
，，故，
得到，即，
由在为严格减函数，有，
即，
所以.
0
+
最小值