甘肃省武威市三校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份甘肃省武威市三校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．将分别标有“文”“明”“宁“安”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，平行四边形中，，，，则的长为（ ）
A．B．8C．10D．16
4．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为，钢珠上顶端离零件上表面的距离为，如图，则这个零件小孔的宽口等于．（ ）
A．4B．6C．7D．8
5．已知抛物线与轴交于两点，，则为时，．（ ）
A．B．或C．或D．
6．小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点是角顶点，是光盘与直尺的公共点，测得，则此光盘的直径为（ ）
A．3B．C．D．
7．已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ）
A．点在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．随的增大而减小
D．若点在它的图象上，则点也在其图象上
8．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．B．C．D．
9．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积是，则四边形的面积为________．
12．一个圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是________．
13．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点、、在同一条直线上，，则的度数是________．
14．如图是反比例函数在第二象限内的图象，若图中的矩形的面积为4，则等于________．
15．如图，以边长为的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的莱洛三角形（图中阴影部分）的面积是________（圆周率用表示）
16．三边长分别是，，的三角形的内切圆半径为________．
17．如图，要使与相似，则需添加一个适当的条件是________（只添一个即可）．
18．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离是________．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若为负整数，求此时方程的根．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．（本小题8分）
解下列方程：
（1）（2）．
21．（本小题7分）
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出绕点逆时针旋转后的；
（2）写出点，的坐标；
（3）求出（1）中点旋转到点所经过的路径长．（结果保留）
22．（本小题7分）
如图，一次函数的图象与反比例（为常数，且）的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值．
23．（本小题6分）
为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（：书法，：绘画，：摄影，：泥塑，：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）张老师调查的学生人数是________名．
（2）补全条形图．
（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
24．（本小题10分）
某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用80元．
（1）请直接写出与之间的函数关系式；
（2）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
25．（本小题10分）
如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过作于点，交的延长线于点，过点作于．
（1）求证：；
（2）求证：直线是的切线．
26．（本小题12分）
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交于点，交轴于点，交抛物线于点，连接．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求线段长度的最大值；
（3）过点作于点，当时，求的长．
答案和解析
1．答案：D
解析：解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2．答案：B
解析：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的结果数为2，
所以两次摸出的球上的汉字组成“长垣”的概率．
故选：B．
画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上的汉字组成“宁安”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法，掌握概率公式是解题的关键．
3．答案：C
解析：解：
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故选C．
根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明，再根据相似三角形的对应边成比例可解得的长，而在中，，问题得解．
本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及平行四边形的性质，注意对应边的比不要弄错是解题的关键．
4．答案：D
解析：解：连接，过点作于点，则，
钢珠的直径是，
钢珠的半径是，
钢珠顶端离零件表面的距离为，
，
在中，
，
．
故选：D．
先求出钢珠的半径及的长，连接，过点作于点，则，在中利用勾股定理即可求出的长，进而得出的长．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．答案：B
解析：解：（1）抛物线与轴交于两点，，
，
抛物线的解析式为：
抛物线如图所示：
当或时，．
故选：B．
首先利用待定系数法中交点式求函数解析式，然后利用已知两点坐标，再结合函数图象得出的取值范围．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，同时也利用了二次函数的性质及数形结合的数学思想．
6．答案：D
解析：解：设直角三角板的斜边与光盘相切于点，连接、、，
则，，
，
由题意得：，
，
，
此光盘的直径为，
故选：D．
连接、、，根据切线的性质得到，根据正切的定义计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7．答案：D
解析：解：A、把代入得：左边，右边，故本选项错误，不符合题意；
B、，其图象位于第二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、，在每个象限内，随的增大而增大，故本选项错误，不符合题意；
D、，
点在它的图象上，则点也在其图象上，
故本选项正确，符合题意；
故选：D．
把代入即可判断；根据反比例函数的性质即可判断、、．
本题主要考查对反比例函数的性质的理解和掌握，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
8．答案：B
解析：【分析】本题考查正多边形与圆的关系．正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
【解答】解：设圆的半径是，则多边形的外接圆半径是，
则内接正三角形的边长是，
内接正方形的边长是，
正六边形的边长是，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为．
故选：B．
9．答案：A
解析：解：当时，函数的图象开口向上，但当时，，故B不可能；
当时，函数的图象开口向下，但当时，，故C、D不可能．
可能的是A．
故选：A．
本题只有一个待定系数，且，根据和分类讨论．也可以采用“特值法”，逐一排除．
讨论当时和时的两种情况，用了分类讨论的思想．
10．答案：C
解析：解：根据图象可知：
①，
，正确；
②顶点坐标横坐标等于，
，
正确；
③顶点坐标纵坐标为1，
；
，正确；
④当时，，错误．
正确的有3个．
故选：C．
根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．
本题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．
11．答案：
解析：解：在中，点、分别是、的中点，
，且，
，
的面积：的面积，
的面积：四边形的面积，
的面积是，
四边形的面积是，
故答案为：．
由都是中点，可得是的中位线，则，则，且相似比是，则的面积和的面积比是，则的面积：四边形的面积，结合已知条件，可得结论．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形中位线的定理，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
12．答案：
解析：解：设圆锥侧面积展开图的扇形圆心角为，
圆锥的底面圆的周长为：，
圆锥侧面积展开图的扇形弧长为，
则，
解得：，
则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角为，
故答案为：．
根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆的周长，得到圆锥侧面积展开图的扇形弧长，根据扇形弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形弧长公式是解题的关键．
13．答案：
解析：解：根据旋转的性质可知，，
，
．
．
故答案为．
根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可．
本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题关键是找准旋转角，利用旋转的性质等量转化角或线段．
14．答案：
解析：解：因为反比例函数，且矩形的面积为，
所以，即，
又反比例函数的图象在第二象限内，，
所以．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积是个定值，再由反比例的函数图象所在象限确定出的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
15．答案：
解析：解：过作于，
是边长为的对边三角形，
，，
，
，
，
的面积，
阴影部分的面积是，
故答案为：．
过作于，根据等边三角形的性质得出，，求出，，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可．
本题考查了扇形的面积计算和等边三角形的性质，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
16．答案：2
解析：解：，
此三角形为直角三角形，
这个三角形的内切圆半径．
故答案为2．
先利用勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形，然后利用直角三角形内切圆的半径（其中、为直角边，为斜边）进行计算．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．直角三角形内切圆的半径（其中、为直角边，为斜边）．
17．答案：（答案不唯一）
解析：解：要使与相似，则需添加一个适当的条件是：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
根据相似三角形的判定定理即可求解．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
18．答案：4.5
解析：解：如图，把点纵坐标代入中得：
（舍去负值），
即，
所以．
令解：把代入中得：
，（舍去），
米．
故答案为：4.5．
如图，实际是求的距离，而已知，所以只需求出即可；而的长，又是点的横坐标，所以把点的纵坐标3.05代入解析式即可解答．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
19．答案：解：（1）由题意知，，，，，
，
解得：；
（2）且为负整数，
，
则方程为，
即或，
解得：，．
解析：本题考查了根的判别式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出；（2）将代入原方程，利用因式分解法解一元二次方程．
（1）由方程有两个不相等的实数根知，据此列出关于的不等式，解之可得；
（2）由所得的范围，结合为负整数得出的值，代入方程，再利用因式分解法求解．
20．答案：解：（1），
，即，
则，
；
（2），
，
则，
或，
解得或．
解析：（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．答案：解：（1）如图，为所作，
（2）、、三点的坐标分别为，，；
（3），
所以点旋转到点所经过的路径长
解析：（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点、、，
（2）写出它们的坐标；
（3）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点旋转到点所经过的路径长．
本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22．答案：解：（1）把点代入一次函数，
得，
解得，
，
点代入反比例函数，
得，
反比例函数的表达式，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得，，
点坐标；
（2）作点作关于轴的对称点，交轴于点，连接，交轴于点，此时的值最小，
，
，
，
的最小值为．
解析：（1）把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标；
（2）作点作关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得．
本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；轴对称最短路线问题；解题关键在于点的坐标的灵活运用．
23．答案：50
解析：解：（1）张老师调查的学生人数为：（名），
故答案为：50名；
（2）泥塑的人数（名），
（3）把2人选修书法的记为、，1人选修绘画的记为，1人选修摄影的记为，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所选人都是选修书法的结果有种，
所选2人都是选修书法的概率为．
（1）由的人数除以所占百分比即可；
（2）用总人数减去其它项目的人数求得泥塑人数，补全统计图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
24．答案：解：（1）与之间的函数关系式为；
（2）由题意，得，
整理，得，
解得，．
，
．
答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；
（3）由题意得：
，
，
当时，有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
解析：本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．
（1）设，
将，；，分别代入，
得解得
则与之间的函数关系式为；
（2）（3）见答案．
（1）根据每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据每天获得160元的利润列出方程，解方程并结合即可求解；
（3）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
25．答案：证明：（1），，
，
，
以为直径的交于点，
，即，
，
，且，
；
（2）连结．
，，
是的中位线，
，
又，
，
直线是的切线．
解析：（1）根据圆周角定理得到，得到，根据两角相等的两个三角形相似证明；
（2）证明是的中位线，得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明．
本题考查的是相似三角形的判定、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理是解题的关键．
26．答案：解：（1）根据题意，得，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，，
，
，，
当时，取最大值，最大值为2，
线段长度的最大值为；
（3）如图：
当时，．
，
，
，
，
，
即，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，，
，
，，
，
，
，
的长为．
解析：（1）把，坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，求出点坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，设，则，然后求出，根据函数性质求最值；
（3）当时，，，可得，证明，有，可得，求解符合要求的的值，进而可得、、的值，在中，由勾股定理得，解得的值，由，，可证，有，计算求解即．
本题考查了二次函数解析式、最值，二次函数与线段综合，三角形相似，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识灵活运用．
销售单价（元）
3.5
5.5
销售量（袋）
280
120