宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试理科数学试卷

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又因为，所以，
又由，可得，解得，
所以，所以，
2．由z1+i=1−1i=1+i，得z=1+i2=2i，则z=−2i，所以z=2.故选：C.
3．A
4．【答案】C【解析】 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到K2＝eq \f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．
5.【答案】B
【解析】对于A，若，则有，所以，A错误；
对于B，若，则有，所以，B正确；
对于C，，所以，解得或，C错误；
若与的夹角为钝角，则，即，且与不能共线且反向，
由A选项可知，当时，，此时与共线且反向，
所以若与的夹角为钝角，则且，D错误，故选:B.
6．【答案】A
【详解】由点在单位圆上，则，解得，
由锐角，即，则，故，
.故选A.
7.【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.
【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），
在上的最大值为，与图象不符，A错误；
对于B，当时，，与图象不符，B错误；
对于C，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述：与图象相符，C正确；
对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.故选：C.
8.【答案】B
【详解】由题意，点且满足，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
其中，可得，则，
可得双曲线的渐近线方程为，
又因为点满足方程，即，
结合双曲线的几何性质，可得，即的取值范围是.故选：B.
9.【答案】A
解：“，，”，取，则，
为等比数列．
反之不成立，为等比数列，设公比为，则，，只有时才能成立满足．
数列满足，则“，，”是“为等比数列”的充分不必要条件．
10.【答案】D
设切点．因为，所以，所以点处的切线方程为，
又因为切线经过点，所以，即.
令，则与有且仅有1个交点，，
当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，则，即．综上，或．故选：D
11. 【答案】B
12.【答案】C
对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公
式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项
需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径
为，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而此半径即为该勒洛
四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.
【详解】对于A
故A错误，截面示意图如下：
对于B，由对称性知,勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心,如图：
正外接圆半径,正四面体的
高,令正四面体的外接球半径为,
在中,，解得,
此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：
图中取正四面体中心为,连接交平面于点，交
于点，其中与共面，其中即为正四面体外接球半径，设勒洛四面体内切球半径为，则由图得，故B错误；
对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体
某三个顶点的截面，由对A的分析知，故
C正确；
对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个
弧面都相切,即为勒洛四面体内切球,所以勒洛四面体能
够容纳的最大球的半径为，故D错误.故选：C．
13.π3
14.54
由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
先排乙，有第二、三、四名3种情况，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，
其他三名同学排在三位置全排列有种，
由分步乘法计数原理可知共有种，故答案为：.
15. 【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则又两式相减得，则.设圆心为C（5，0），则kOM=，因为直线l与圆相切，所以，解得，代入得
16．先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果
【详解】因为，
其中，，
由于函数的图象关于对称，所以，
即，化简得，
所以，即，
所以
，
故选：C.
（1），
，且，
数列是以每一项均为的常数列，则，即；
（2）由（1）得，，
.
18.（1）证明：菱形中，，设，交于点，连接，，
则，，又，平面，平面，
所以平面；又平面，所以；
（2）因为菱形边长为，，所以，则，
又，所以，则，
所以；在中，，，
则，
所以，
所以；
设点到平面的距离为，由题意，
即，
则.
19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，
所以，，，，所以随机变量的分布列为：
所以，，故每件产品的平均销售利润为4元；
（2）（i）由得，，
令，，，则，
由表中数据可得，，
则，所以，，
即，因为，所以，
故所求的回归方程为；
（ii）设年收益为万元，则，设，，
则，当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，当，即时，有最大值为768，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
20.【小问1详解】
因为的焦点坐标为，所以，
所以．因为，所以，化简可得，
又，解得，所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】由（1）可知，可知过点的直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，
由，化简可得，
设，则，，
由，解得．
根据弦长公式可得
．
因为的面积为的面积为，
设点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，
所以，
因此，
因为，所以，则，
从而，
所以的取值范围是．
21．【解析】（1）由有两个零点，得方程有两个解，
设，则，
由，可得，单调递增，由，可得，单调递减，
所以的最大值为，当时，当时，，
所以可得函数的大致图象，
所以，解得，
所以，有两个零点时，的取值
范围是；
设，
即，则恒成立，
由，，可得，
下面证明当时，，即证，
令，则证，，
令为开口向上的二次函数，对称轴为，
由（1）可知，故在时单调递增，
则，
下面只需证明即可，即证，
令，则，
令，则，
所以函数单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，从而不等式得证，
综上，的取值范围是．
22.【答案】解：(1)依题意，曲线C1:x−22+y2=4，即x2+y2−4x=0,故ρ2−4ρcsθ=0，即ρ=4csθ,
因为ρ2=41+3sin2α，故ρ2+3ρ2sin2α=4.即x2+4y2=4，即x24+y2=1.
将θ=θ0代入ρ2=41+3sin2α得，ρQ2=41+3sin2θ0.
将θ=θ0代入ρ=4csθ得，ρP=4csθ0.
由|OQ|=|PQ|，得ρP=2ρQ，即4csθ02=161+3sin2θ0.解得sin2θ0=23，则cs2θ0=13
又0<θ0<π2，故ρQ=41+3sin2θ0=233，ρP=4csθ0=433
故△PMQ的面积S△PMQ=S△OMP−S△OMQ=12⋅|OM|⋅(ρP−ρQ)⋅sinθ0=12⋅233⋅63=23.
23. 【详解】（1），
，
当且仅当时取等号，
，要证，只要证，
由柯西不等式得，
当且仅当时取等号，．
（2）由基本不等式得，
以上三式当且仅当时同时取等号，将以上三式相加得
，即．
1.5
3.5
5.5
0.15
0.45
0.4