2023-2024学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|−1A. A=BB. B⊆AC. A∈BD. A⊆B
2.命题p：∃x∈(0,2)，x3>x6.命题q：每个大于2的质数都是奇数．关于这两个命题，下列判断正确的是( )
A. p是假命题B. ￢p：∀x∈(0,2)，x3C. q是假命题D. ￢q：存在一个大于2的质数不是奇数
3.已知−10，则下列大小关系正确的是( )
A. ab4.设x，y∈R，下列说法中错误的是( )
A. “x>1”是“x2>1”的充分不必要条件
B. “xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件
C. “x>1，y>1”是“x+y>2，xy>1”的充要条件
D. “x>y”是“x2>y2”的既不充分也不必要条件
5.设a=lg36，b=lg520，则lg215=( )
A. a+b−3(a−1)(b−1)B. a+b−2(a−1)(b−1)C. a+2b−3(a−1)(b−1)D. 2a+b−3(a−1)(b−1)
6.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深CD=2− 3，锯道AB=2，则图中ACB与弦AB围成的弓形的面积为( )
A. π2− 32B. 2π3− 3C. π3− 32D. π3− 33
7.已知f(x)=2x,01，若f(n)<2022(n∈N+)，则n的最大值为( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
8.已知定义在R上的函数f(x)的图像连续不断，若存在常数λ∈R，使得f(x+λ)+λf(x)=0对于任意的实数x恒成立，则称f(x)是“回旋函数”.若函数f(x)是“回旋函数”，且λ=2，则f(x)在[0,2022]上( )
A. 至多有2022个零点B. 至多有1011个零点
C. 至少有2022个零点D. 至少有1011个零点
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式成立的是( )
A. 0.20.3<0.30.2B. lg0.320.20.9
10.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. f(x)= x2−1与g(x)= x+1⋅ x−1
B. f(x)=|x|与g(x)= x2
C. f(x)=|x|x,x≠01,x=0与g(x)=1,x≥0−1,x<0
D. f(x)=(13)2x−1与g(t)=(13)2t−1
11.已知x，y>0，x+2y+xy−6=0，则( )
A. xy的最大值为 2B. x+2y的最小值为4
C. x+y的最小值为4 2−3D. (x+2)2+(y+1)2的最小值为16
12.若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a+b)=f(a)f(b)，且f(1)=2，则下列判断正确的有( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)在定义域上单调递增
C. 当x∈(0,+∞)时，函数f(x)<1
D. f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+(2016)f(2015)+f(2018)f(2017)+f(2020)f(2019)=2020
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.换算：180°= ______rad．
14.幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm2−6m+6在(0,+∞)上单调递减，则m的值为______．
15.若sinθ−csθ=13，则sin3θ−cs3θ= ______．
16.已知函数f(x)定义域为(0,12]，恒有f(x+4)=4f(x)，x∈(0,4]时f(x)=|2x−2−2|；若函数g(x)=f2(x)+t⋅f(x)有4个零点，则t的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)求值：0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+( 2×33)6；
(2)已知a12+a−12=3(a>0)，求值：a2+a−2+1a+a1+1．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|x2+x−2<0}，B={x|2m+1≤x≤m+3}(m∈R)．
(1)当m=−1时，求A∩B，A∪B；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知α是第三象限角，且f(α)=sin(π−α)cs(2π−α)tan(−α+2π)tan(−α+π)sin(3π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若sinα=−35，求f(α)；
(3)若α=−1860°，求f(α)．
20.(本小题12分)
某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v(单位：千米/小时)和车流密度x(单位：辆/千米)所满足的关系式v=60,0(1)若车流密度为50辆/千米．求此时的车流速度；
(2)若车流速度v不小于40千米/小时．求车流密度x的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)，对任意a，b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)−1，且当x>0时，有f(x)>1．
(Ⅰ)求f(0)；
(Ⅱ)求证：f(x)在R上为增函数；
(Ⅲ)若关于x的不等式f[2(lg2x)2−4]+f(4t−2lg2x)<2对于任意x∈[18,12]恒成立，求实数t的取值范围．
22.(本小题12分)
已知f(x)，g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=ex．
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2)若关于x的不等式2f(x)−ag2(x)≥0在(0,ln3)上恒成立，求正实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合的包含关系的应用，考查了学生的求解能力，属于基础题．
根据已知求出集合A，然后根据集合的包含关系即可判断求解．
【解答】
解：因为集合A={x∈N|−1所以集合A={0,1,2,3,4}，又B={0,1,2,3,4,5}，
所以A⊆B，
故选D．
2.【答案】D
【解析】解：令x=12，满足x3>x6，故命题p为真命题，故A错误，
￢p：∀x∈(0,2)，x3≤x6，故B错误，
每个大于2的质数都是奇数，故命题q为真命题，故C错误，
￢q：存在一个大于2的质数不是奇数，故D正确．
故选：D．
先求出命题p，q的真假，再结合命题否定的定义，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵−10，∴a+1>0，a−1<0，
∴ab<0，a2b>0，∴a2b>ab，
又∵a2b−b=b(a2−1)=b(a+1)(a−1)<0，∴a2b∴ab故选：D．
利用不等式的性质，结合作差法比较大小即可．
本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，因为x2>1的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件，选项A正确；
对于B，“xy=0”时，“x2+y2=0”不一定成立，反之“x2+y2=0”成立时，“xy=0”一定成立，所以“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件，选项B正确；
对于C，“x>1，y>1”时，“x+y>2，xy>1”一定成立，反之“x+y>2，xy>1”成立时，x>1，y>1不一定成立，如x=12，y=4，所以“x>1，y>1”是“x+y>2，xy>1”的充分不必要条件，选项C错误；
对于D，当x=1，y=−2时，满足“x>y”，但不满足“x2>y2”；当x=−2，y=−1时，满足“x2>y2”，但不满足“x>y”，所以“x>y”是“x2>y2”的既不充分也不必要条件，选项D正确．
故选：C．
根据充分条件，必要条件的概念判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了充分条件和必要条件的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：a=lg36=lg26lg23=1+lg23lg23；
∴lg23=1a−1；
b=lg520=lg220lg25=2+lg25lg25；
∴lg25=2b−1；
∴lg215=lg23+lg25=1a−1+2b−1=2a+b−3(a−1)(b−1)．
故选：D．
根据a=lg36，b=lg520，则可求出lg23=1a−1，lg25=2b−1，从而得出lg215=1a−1+2b−1，通分即可得出答案．
考查对数的运算性质，对数的换底公式．
6.【答案】B
【解析】解：现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，
用锯去锯这木材，若锯口深CD=2− 3，锯道AB=2，
设圆的半径为r，则OD=r−CD=r−(2− 3),AD=12AB=1，
由勾股定理可得OD2+AD2=OA2，即[r−(2− 3)]2+1=r2，
解得r=2，所以OA=OB=2，AB=2，
所以∠AOB=π3，因此S弓形=S扇形AOB−S△AOB=12×π3×22− 34×22=2π3− 3．
故选：B．
设圆的半径为r，利用勾股定理求出r，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得．
本题考查了扇形的面积及三角形面积公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为当x>1时，f(x)=2f(x−1)+1，
所以f(9)=2f(8)+1=2(2f(7)+1)+1=4f(7)+3=8f(6)+7=16f(5)+15=32f(4)+31=64f(3)+63=128f(2)+127=256f(1)+255，
又f(1)=2，所以f(9)=2×256+255=767，
所以f(10)=2f(9)+1=1535，
f(11)=2f(10)+1=3071，
f(12)=2f(11)+1=6143，
所以若f(n)<2022(n∈N+)，
则n的最大值为10，
故选：B．
根据分段函数的解析式依次求f(9)，f(10)，f(11)，f(12)即可．
本题考查了分段函数的求值计算，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为f(x+2)+2f(x)=0对任意的实数x恒成立，令x=0，得f(2)+2f(0)=0．
若f(0)≠0，则f(2)与f(0)异号，即f(2)⋅f(0)<0，由零点存在定理得f(x)在(0,2)上至少存在一个零点．由于f(k+2)+2f(k)=0，得到f(2k)≠0(k∈Z)，进而f(k+2)f(k)=−[f(k)]2<0，所以f(x)在区间(2,4)，(4,6)，…，(2020,2022)内均至少有一个零点，所以f(x)在[0,2022]上至少有1011个零点．
构造函数f(x)=1−x,0≤x<2−2f(x−2),2k≤x<2k+2(k∈Z)，满足f(x+2)+2f(x)=0对任意的实数x恒成立，是“回旋函数”，在[0,2022]上恰好有1011个零点．
若f(0)=0，则f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=⋅⋅⋅=f(2022)=0，此时f(x)在[0,2022]上至少有1012个零点．
综上所述，f(x)在[0,2022]上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
可能零点个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于A，[解法一]取函数f(x)=0，满足f(x+2)+2f(x)=0，但f(x)在[0,2022]上处处是零点，故A错误．
[解法二]构造函数f(x)=x(x−1),0≤x<2−2f(x−2),2k≤x<2k+2(k∈Z)，满足f(x+2)+2f(x)=0对任意的实数x恒成立，是“回旋函数”，在[0,2022]上恰好有2023个零点，故A错误．
故选：D．
根据已知可得f(2)+2f(0)=0，当f(0)≠0时利用零点存在定理，可以判定区间(0,2)内至少有一个零点，进而判定(2,4)，(4,6)，…，(2020,2022)上均至少有一个零点，得到f(x)在[0,2022]上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当f(0)=0时，可以得到f(0)=f(2)=⋅⋅⋅=f(2022)=0，此时f(x)在[0,2022]上至少有1012个零点．从而排除BC，判定D正确；举特例函数f(x)=0，或者构造函数f(x)=x(x−1),0≤x<2−2f(x−2),2k≤x<2k+2(k∈Z)，可以排除A．
本题考查函数的零点，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为0.20.3<0.20.2<0.30.2，A正确；
因为y=lg0.3x在(0,+∞)上单调递减，
所以lg0.32>lg0.33，B错误；
因为lg21.3>lg21.2>0，
所以1lg21.3<1lg21.2，即lg1.32因为y=0.2x在R上单调递减，
所以0.21.1<0.20.9，D错误．
故选：AC．
由已知结合指数函数，幂函数，对数函数的单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：A.f(x)的定义域为{x|x≤−1或x≥1}，g(x)的定义域为{x|x≥1}，定义域不同，不是同一函数；
B.f(x)=|x|，g(x)=|x|，定义域都是R，定义域和解析式都相同，是同一函数；
C.f(x)=1,x≥0−1,x<0，g(x)=1,x≥0−1,x<0，定义域和解析式都相同，是同一函数；
D.f(x)与g(t)的定义域都是R，解析式相同，是同一函数．
故选：BCD．
判断每个选项的两函数的定义域和解析式是否都相同，都相同的为同一函数，否则不是．
本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：判断定义域和解析式是否都相同，考查了计算能力，属于容易题．
11.【答案】BCD
【解析】解：A，由x+2y+xy−6=0，得x+2y=6−xy≥2 2xy，当且仅当x=2y时等号成立，
令 xy=t(t>0)，则t2+2 2t−6≤0，解得0所以 xy≤ 2，即xy≤2.所以xy的最大值为2，A错误，
B，由基本不等式得x+2y≥2 2xy，则(x+2y)28≥xy，又x+2y+xy−6=0，得xy=6−(x+2y)，
所以(x+2y)28≥6−(x+2y)，所以(x+2y)2+8(x+2y)−48≥0，解得x+2y≥4或x+2y≤−12(舍去)，
当且仅当x=2、y=1时等号成立，则x+2y的最小值为4，B正确，
C，令x+y=m，则m>0，所以y=m−x，故x+2y+xy−6=0可化为x+2(m−x)+x(m−x)−6=0，整理得x2+(1−m)x+6−2m=0，
由Δ≥0，得(1−m)2−4×(6−2m)≥0，即m2+6m−23≥0，解得m≥4 2−3或m≤−4 2−3(舍去)，C正确，
D，∵(x+2)2+(y+1)2≥2(x+2)(y+1)=2(xy+x+2y+2)=16，当且仅当y=x+1时等号成立，D正确，
故选：BCD．
利用基本不等式判断AB，利用换元法，再借助判别式判断C，利用重要不等式判断D．
本题主要考查基本不等式的运用，注意换元法的应用，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：对于选项A，令a=0，b=1，则f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)，
即2=2f(0)，f(0)=1，f(x)不可能是奇函数，选项A不正确；
证明，对于任意x∈R，f(x)≠0．
假设存在x0∈R，使得f(x0)=0，
则f(0)=f(x0+(−x0))=f(x0)f(−x0)=0，与f(0)=1矛盾，
故对于任意x∈R，f(x)≠0，
所以对于任意x∈R，f(x)=f(x2+x2)=f(x2)f(x2)=[f(x2)]2>0，
因为f(1)=2>1，
所以对任意正整数n，f(1)=f(1n+1n+…+1n)=fn(1n)=2，
所以f(1n)=n2>1，
同理f(n)=f(1+1+⋯+1)=f(1)f(1)⋯f(1)=2n>1，
对任意正有理数p，显然有p=mn(m,n是互质的正整数)，
则f(p)=f(mn)=[f(1n)]m>1，
对任意正无理数q，可得看作是某个有理数列p1，p2，p3，⋯的极限，
而f(pi)>1，i∈N*，所以f(q)与f(pi)的极限，所以f(q)>1，
综上对所有正实数x，有f(x)>1，选项C不正确，
设x10，所以f(x2−x1)>1，
则f(x2)=f(x1+(x2−x1))=f(x1)⋅f(x2−x1)>f(x1)，
所以f(x)在定义域上是增函数，选项B正确；
由已知f(2n)=f(2n−1+1)=f(2n−1)f(1)=2f(2n−1)，
所以f(2n)f(2n−1)=2(n∈N*)，
所以f(2)f(1)+f(4)f(3)+…+f(2020)f(2019)=2×1010=2020，选项D正确．
故选：BD．
利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出f(1)判断A；先利用f(1)=2>1证明所有有理数p，有f(p)>1，然后用任意无理数q都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得f(q)>1，这样可判断C，由此再根据单调性定义判断B，根据定义计算f(2n)f(2n−1)(n∈N*)，然后求得D中的和，从而判断D．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性在抽象函数中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】π
【解析】解：因为180°所对应的弧长为πr，
弧长为πr对应圆心角为α=πrr=π，
所以S=4πR2=12πrad．
故答案为：π．
利用弧度制公式求解．
本题主要考查弧度制，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm2−6m+6在(0,+∞)上单调递减，
∴m2−3m+3=1m2−6m+6<0，解得m=2，
故答案为：2．
由幂函数的定义和性质求解．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
15.【答案】1327
【解析】解：若sinθ−csθ=13，
则sinθcsθ=12×(1−19)=49，
则sin3θ−cs3θ=(sinθ−csθ)(sin2θ+sinθcsθ+cs2θ)=13×(1+49)=1327．
故答案为：1327．
由同角三角函数的关系，结合立方差公式求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了立方差公式，属基础题．
16.【答案】[−32,−28]
【解析】解：因为f(x+4)=4f(x)，
所以f(x)=4f(x−4)，
又因为x∈(0,4]时，f(x)=|2x−2−2|，
所以x∈(4,8]时，f(x)=4|2x−6−2|，
x∈(8,12]时，f(x)=16|2x−10−2|，
作出函数f(x)在(0,12]上的图像：
若函数g(x)=f2(x)+t⋅f(x)有4个零点，
所以f2(x)+t⋅f(x)=0有四个根，
即f(x)[f(x)+t]=0有四个根，
所以f(x)=0或f(x)=−t共有四个根，
由图可知f(x)=0有三个根，
所以f(x)=−t只能有一个根，
所以28≤−t≤32，
所以−32≤t≤−28，
故答案为：[−32,−28]．
作出函数f(x)在(0,12]上的图像，若函数g(x)=f2(x)+t⋅f(x)有4个零点，则f(x)=0或f(x)=−t共有四个根，结合图像可得f(x)=−t只能有一个根，即可得出答案．
本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=(18)−13−1+23+( 2)6⋅(33)6，
=2−1+8+72，
=81，
(2)∵a12+a−12=3(a>0)，
∴a+a−1=(a12+a−12)2−2=7，
∴a2+a−2=(a+a−1)2−2=47，
则a2+a−2+1a+a1+1=47+17+1=6．
【解析】(1)根据指数幂的运算性质即可求出；
(2)根据指数幂的运算性质即可求出．
本题考查了指数幂的运算性质，考查了运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当m=−1时，A={x|x2+x−2<0}={x|−2B={x|−1≤x≤2}，
A∩B={x|−1≤x<1}，A∪B={x|−2(2)∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
∴2m+1≤−2m+3≥1，解得m∈[−2,−32].
【解析】(1)当m=−1时，求得集合A，B，再利用集合的运算求解即可；
(2)x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式求解即可．
本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)根据诱导公式有：f(α)=sin(π−α)cs(2π−α)tan(−α+2π)tan(−α+π)sin(3π−α)
=sinαcsαtan(−α)tan(−α)sinα
=csα；
(2)因为sinα=−35，α是第三象限角，
所以csα=− 1−sin2α=− 1−(−35)2=−45，
所以f(α)=csα=−45；
(3)因为α=−1860°，
所以f(α)=f(−1860°)
=cs(−1860°)
=cs1860°
=cs(5×360°+60°)
=cs60°
=12．
【解析】(1)根据诱导公式化简求解；
(2)利用同角三角函数的基本关系以及余弦在各象限的符号进行求解；
(3)利用诱导公式进行大角化小角，负角化正角，再利用特殊角的余弦值进行求解．
此题考查了诱导公式的作用以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意知当x=120(辆/千米)时，v=0(千米/小时)，
代入v=80−k150−x，得0=80−k150−120，解得k=2400，
所以v=60,0当x=50时，v=80−2400150−50=56，
故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时．
(2)∵v=60,0当0当30所以，若车流速度v不小于40千米/小时，则车流密度x的取值范围是(0,90]．
【解析】(1)将x=120，v=0代入函数第二段，得到0=80−k150−120，解出k值，再代入x=50，得到v值；
(2)根据(1)中得到的分段函数解析式，在各自范围内解不等式即可，最后取并集．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，在f(a+b)=f(a)+f(b)−1中，
令a=b=0，则f(0)=2f(0)−1，则有f(0)=1；
(Ⅱ)证明：任取x1，x2∈R，且设x10，f(x2−x1)>1，
又由f(a+b)=f(a)+f(b)−1，
则f(x2)=f[(x2−x1)+x1]=f(x2−x1)+f(x1)−1>1+f(x1)−1=f(x1)，
则有f(x2)>f(x1)，
故f(x)在R上为增函数．
(Ⅲ)根据题意，f[2(lg2x)2−4]+f[4t−2lg2x]<2，
即f[2(lg2x)2−4]+f[4t−2lg2x]−1<1，则f[2(lg2x)2−2lg2x+4t−4]<1，
又由f(0)=1，则f[2(lg2x)2−2lg2x+4t−4]又由f(x)在R上为增函数，则2(lg2x)2−2lg2x+4t−4<0，
令m=lg2x，∵x∈[18,12]，则−3≤m≤−1，
则原问题转化为2m2−2m+4t−4<0在m∈[−3,−1]上恒成立，
即4t<−2m2+2m+4对任意m∈[−3,−1]恒成立，
令y=−2m2+2m+4，只需4t而y=−2m2+2m+4=−2(m−12)2+92，m∈[−3,−1]，
当m=−3时，y最小值=−20，则4t<−20．
故t的取值范围是t<−5．
【解析】(Ⅰ)根据题意，由特殊值法分析：令a=b=0，则f(0)=2f(0)−1，变形可得f(0)的值，
(Ⅱ)任取x1，x2∈R，且设x10，结合f(a+b)=f(a)+f(b)−1，分析可得f(x2)>f(x1)，结合函数的单调性分析可得答案；
(Ⅲ)根据题意，原不等式可以变形为f[2(lg2x)2−2lg2x+4t−4]本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，注意特殊值法求出f(0)的值．
22.【答案】解：(1)因为f(x)，g(x)分别为R上的偶函数和奇函数，f(x)+g(x)=ex①，
所以f(−x)+g(−x)=e−x，即f(x)−g(x)=e−x②，
联立①②可解得f(x)=ex+e−x2，g(x)=ex−e−x2．
(2)不等式2f(x)−ag2(x)≥0可化为ex+e−x−a⋅(ex−e−x)24≥0，
因为x∈(0,ln3)，则ex−e−x>0，故a≤4(ex+e−x)(ex−e−x)2，
设ex+e−x=t，则(ex−e−x)2=(ex+e−x)2−4=t2−4，故a≤4tt2−4=4t−4t，
因为t=ex+e−x，令0则t1−t2=ex1+e−x1−ex2−e−x2=(ex1−ex2)+ex2−ex1ex1ex2=(ex1−ex2)(1−1ex1ex2)，
由ex1−ex2<0，1−1ex1ex2>0，故t1故t=ex+e−x在(0,ln3)上是增函数，则t∈(2,103)，
又y=t−4t在t∈(2,103)时是增函数，
所以0158，
因为a≤4(ex+e−x)(ex−e−x)2在x∈(0,ln3)恒成立，所以a≤158．
所以正实数a的取值范围是(0,158]．
【解析】(1)由奇偶性有f(x)+g(x)=ex、f(x)−g(x)=e−x，即可求解析式；
(2)问题化为x∈(0,ln3)上a≤4(ex+e−x)(ex−e−x)2恒成立，应用换元法及函数单调性求不等式右侧取值范围，即可得参数范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

2023-2024学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

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